等效原理和时空弯曲

第三章　等效原理和时空弯曲牛顿引力的超距作用和瞬时作用是和狭义相对论相矛盾的. 狭义相对论的物理定律只有在没有惯性力和引力的惯性系中成立. 然而，只要有物质，就存在引力场. 爱因斯坦的广义相对论是关于引力的理论. 广义相对论的思想来自等效原理，或者说等效原理是广义相对论的最重要的实验基础. 等效原理并不复杂，爱因斯坦以他天才的洞察力认识这条原理的物理内涵，构造了广义相对论.3.1 等效原理弱等效原理传说伽利略在比萨塔上将一个大球图 3.1: 1775年复制的伽利略斜面装置.和一个小球同时松手落下，两个球同时落到地面，球下落的时间不仅与球的质量无关，而且与构成球的物质成分无关. 没有证据能说明伽利略是否作过这样的实验，但他确实用光滑的斜面做过类似的实验. 图3.1是伽利略斜面的一个复制品.现在用牛顿的语言来解释实验的结果. 假定有一个引力场的场强为 g，记一个物体在引力的作用下产生的加速度为 a，按牛顿的力学定律mIa = mGg,(3.1)这里 mI和 mG分别表示物体的惯性质量和引力质量. 当 mG/mI与组成物体的成分无关，不同的物体将获得同样的加速度，在初始条件相同时所有的物体都将以相同的时间落到地面. 选取适当的单位，上述事实可表述为：任何物体的引力质量与惯性质量相等，即mI= mG(3.2)称为弱等效原理.均匀引力场下面来进一步讨论弱等效原理的物理内涵. 设想有一个在均匀引力场中自由下落且与外界完全隔绝的密封电梯. 电梯中一位物理学家试图作各种力学实验以决定电梯的运动状态. 因惯性质量与引力质量相等，电梯里的物理学家受到的引力和惯性力相互抵消，该物理学家感觉不到电梯里有引力存在，这时在电梯里无论做哪种力学实验，电梯里的观测者都不能区分自己是静止在一个没有引力场的惯性系里还是在引力场中自由下落的一个加速系里.类似地，设想这一电梯在一个没有引力场的空间里匀加速运动，电梯中的物理学家会觉得在每一瞬间都有一个均匀的力场在作用. 身处密封电梯中的他并不能区分自己是在没有引力场的空间里做匀加速运动还是在均匀的引力场中保持静止.弱等效原理造成的结论是均匀引力场是可以消除的. 只要选取一个在引力场中自由下落的参考系，在其中不会感觉到引力场的存在. 弱等效原理使得均匀引力场和惯性力等效. 弱等效原理也使得无法用力学实验来区分“惯性系”和“加速系”. 在那个处于均匀引力场中自由下落而没有了引力的电梯里，所有的力学定律和在惯性系中完全一样.不均匀引力场牛顿建立的引力定律表明引力是一种中心力，其大小按与距离的平方成反比的规律衰减，所以除非物质分布绝对均匀，引力场不可能是均匀的. 在地面做自由下落的电梯里，只有把空1
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2第三章　等效原理和时空弯曲间和时间都限制在足够小的范围里才能近似地把引力场看成是均匀的. 对于不均匀的引力场，我们能够发现引力和惯性力的明显区别. 电梯的加速度造成的惯性力在电梯里的各处都是相同的，是一个严格均匀的力场，而电梯里的引力场却是不均匀的，两者不能完全抵消. 我们可以选择电梯的加速度以消除电梯中某处的引力，例如消除电梯质心处的引力. 这时电梯中的物理学家在电梯中某处感受到的引力是该处的引力和电梯质心处的引力之差，称之为潮汐力，就像海洋的潮汐来自月球和太阳在地面处的引力加速度和在地心处的引力加速度之差.然而，弱等效原理告诉我们，对于非均匀引力场，引力虽然不能全局地消除，却可以局部地消除.也就是说，在引力场中的任一点都存在一个在引力场中自由下落的参考系，在其中引力被局部地消除，任何的力学实验不能将它与惯性系相区分.爱因斯坦等效原理上面关于弱等效原理的讨论是在牛顿力学的框架中进行的，得到的在引力场中自由下落的参考系等价于惯性系的结论也是在牛顿关于惯性系的概念下得出的. 在牛顿力学里，惯性系可以定义为是牛顿力学定律在其中成立的参考系. 在狭义相对论里，惯性系可以定义为狭义相对论的物理定律在其中成立的参考系. 当然，惯性系里不能有引力，因为狭义相对论的物理中没有引力. 爱因斯坦进一步假定，在引力场中自由下落的参考系等价于狭义相对论中的惯性系，不仅是力学实验不能区分引力场中自由下落的参考系和惯性系，而且任何物理实验都不能区分. 这就扩展了弱等效原理，称为爱因斯坦等效原理，可以叙述成：在4维时空中的任何一点都存在一个在引力场中自由下落的局部惯性系，在其中狭义相对论的物理定律全成立. 这一假定现在已经为大量的实验在很高的精度上证实. 关于等效原理的更精确的阐述，讨论及其实验验证，将在第九章进一步展开.局部惯性系的一个实例是无动力飞行的宇宙飞船. 这个飞船必须足够高，不受大气阻力的作用.飞船的表面积必须足够小，可以忽略太阳光压的作用. 此外，飞船应当没有自转. 总之飞船应当只在地球，月球，太阳和其他天体的引力作用下运动. 这时飞船中的宇航员处于完全失重的状态，感觉不到任何引力或惯性力的作用. 这是一个惯性系. 与传统的观念相反，与地面固连的参考系不是惯性系，即使不考虑地球的自转，地球引力场的存在表明这不是一个严格的惯性系.可以用一个简单的办法来判断一个参考系是不是惯性系，那就是看其中存不存在引力或惯性力. 因为只要有物质，就会有引力，而且引力场一般都是不均匀的，引力无法全局地消除，只存在局部惯性系，就是在引力场中自由下落的参考系，但是不存在全局的在整个时空都成立的惯性系.时空弯曲爱因斯坦等效原理表明在时空的每一点都存在一个局部惯性系，在其中狭义相对论的物理定律成立. 狭义相对论的时空中没有引力，是平直的闵可夫斯基时空. 上面也论证了整个时空中不存在全局的惯性系，含有引力场的时空不应当是平直的闵可夫斯基时空. 这样就很容易想到引力使得时空弯曲，但在每一时空点的无穷小领域，局部的时空可以用在该点的平直的切空间来近似. 这样一个引力几何化的理论正好和等效原理的结论相对应.在惯性系里，狭义相对论告诉我们不受任何力作用的自由粒子在4维时空中的路径(世界线)是直线.“直线”不是与坐标系无关的一种描绘. 事实上，这一路径是相邻两点间距离取极值的路径，称为测地线.这样的描绘是坐标系无关的，因为相邻两点间的距离 ds 是与坐标系无关的标量.在存在引力的时空里，应当把除引力外不受任何其它力作用的粒子称为自由粒子. 这里用“粒子”表示其大小和质量能量都可以忽略的物体，亦即是点状的且自引力可以忽略的物体. 用“自由”表示该粒子除引力外不受任何其它力的作用. 因为可以选取局部惯性系以局部地消除引力，自由粒子的路径是测地线，这一结论不受坐标系选取的影响.
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§3.2 测地线方程3不均匀的引力场是不是使时空产生了弯曲图 3.2: 初始静止且处于同一水平面上的两个自由粒子A和B的世界线，用以说明不均匀的引力场造成时空弯曲.呢？图3.2 表示地面上方两个开始位于同一水平面处的物体A和B在引力场中自由下落，看作是两个自由粒子. 图中标出了时间 t 轴和水平方向的空间 x 轴，其它两个空间方向没有画出. 图中画出了A和B的世界线，它们是时空的测地线. 假定地球对这两个粒子是完全透明的，它们可以一直下落至地心而在某一时刻撞到一起，这两条世界线将在O点相交. 在t = t0时，A和B处于静止状态，它们的世界线的切向应当与 t 轴指向一致. 如果假定时空是平直的，两条初始方向平行的测地线应当始终保持平行，不会相交. 对于均匀的引力场，情况也确实如此. 现在初始平行的测地线发生了相交，这显然不是平直时空的性质. 可以断言这时的时空是弯曲的. 我们将在第五章中讨论生活在弯曲时空中的测量者如何来判断自己的时空是否弯曲.3.2 测地线方程广义相对论的度规在广义相对论的理论框架里，物质的质量和能量产生引力，而引力表现为时空的弯曲，在选定了一个时空坐标系 {xα} 后，时空的弯曲用度规ds2= gµν(xα)dxµdxν(3.3)来表示. 这里对称的度规张量 gµν是时空点坐标 xα的函数，共有10个独立的分量. 等效原理表明在每一个时空点 gµν都可以通过坐标变换变换成闵可夫斯基度规 ηµν，然而在整个时空却不存在坐标变换使 gµν全局地变换成 ηµν.欧拉-拉格朗日方程在广义相对论中，自图 3.3: 一自由粒子在时空点A和B之间的可能路径.粗线为实际的路径，它的4维弧长达到极值.由粒子沿时空的测地线运动. 图3.3 表示自由粒子在时空中的两个给定点A和B之间的可能的路径.粗实线表示实际的测地线路径，它使从A到B的路径的4维弧长达到极值，满足δ∫BAds = 0.(3.4)注意这里 d 表示沿着路径的微分，而 δ 是真实路径和相邻路径间的变分. 两者的算符可以交换，即 dδ = δd.引入参数 λ 和拉格朗日函数L =12(dsdλ)2=12gµν˙xµ˙xν,(3.5)
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4第三章　等效原理和时空弯曲其中 ˙xµ= dxµ/dλ，实际的路径为测地线 xµ(λ)，邻近的路径为 xµ(λ) + δxµ(λ). (3.4)式可写为∫BA12√|L|δLdλ = 0.(3.6)注意对于类时和类空测地线，分别有 L 0. 进一步选择参数 λ，使它和测地线的4维弧长 s 成正比，称为仿射参数. 在(3.6)式中，位于变分号外的 L 应当取测地线处的值，对于仿射参数为常数，此时 δL 前的因子可略去.于是当 λ 为仿射参数，测地线满足∫BAδL(xα, ˙xα)dλ =∫BA(∂L∂xαδxα+∂L∂ ˙xαδ ˙xα)dλ = 0.(3.7)对上式的第二项进行分部积分，即∫BA∂L∂ ˙xαδ ˙xαdλ =∫BA∂L∂ ˙xαd(δxα) =(∂L∂ ˙xαδxα)BA−∫BAddλ(∂L∂ ˙xα)δxαdλ = 0.如图3.3 所示，在端点A和B处 δxα为零. 测地线方程就是著名的由拉格朗日函数 L 决定的欧拉-拉格朗日方程ddλ(∂L∂ ˙xα)−∂L∂xα= 0.(3.8)上面用引入仿射参数来推导测地线方程一般形式的做法对于自由光子的路径是有疑问的. 自由光子的路径是零测地线，它的 ds 永远为零，因此就无法引入与4维弧长成比例的仿射参数. 第四章中将用另一种方式引入测地线方程，结果表明本节得到的测地线方程的形式在适当选择仿射参数后对零测地线也适用.克里斯朵夫符号将拉格朗日函数的具体形式(3.5)代入欧拉-拉格朗日方程(3.8)，得到ddλ(gαβ˙xβ)−12∂gµν∂xα˙xµ˙xν= 0.(3.9)利用 gµαgαβ= δµβ从上式中解出 xµ，得到用度规及其对坐标的一阶偏导数表示的测地线方程xµ+ Γµαβ˙xα˙xβ= 0,(3.10)其中Γµαβ=12gµν(gαν,β+ gβν,α− gαβ,ν).(3.11)这里和以后用逗号表示对坐标的偏导数，即 gµν,β= ∂gµν/∂xβ.量 Γµαβ称为克里斯朵夫(Christoffel)符号，今后简称克氏符号. 它对下标 α 和 β 为对称，因此一共有40个独立的分量. 它是度规对坐标的一阶偏导数的线性齐次函数.从(3.9)式可见，当度规 gµν不显含坐标 xα，也就是说时空的弯曲有某种对称性，这时有 gαβ˙xβ守恒. 对于类时测地线，取原时 τ 为仿射参数 λ，立即得到自由粒子4速度的协变坐标分量 uα守恒.下面以2维欧氏空间为例来计算克氏符号. 2维欧氏空间在极坐标下的度规是ds2= dr2+ r2dθ2.可以用两种途径进行计算. 一是从度规张量出发，用克氏符号的定义(3.11)式计算. 另一是通过推导测地线方程. 下面给出第二种算法.
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§3.3 水星近日点进动5给出拉格朗日函数L =12(˙r2+ r2˙θ2).可以从欧拉-拉格朗日方程(3.8)式推出测地线方程为r− r˙θ2= 0,θ+2r˙r˙θ = 0.(3.12)与测地线方程(3.10)相对比，得到克氏符号如下：Γrθθ= −r,Γθθr= Γθrθ=1r,(3.13)其余的为零. 用这种办法可以避免计算那些为零的克氏符号.克氏符号的物理意义从测地线方程(3.10)可见，如果把 xµ看作是加速度，按照牛顿力学的概念，克氏符号与引力或惯性力有关. 然而应当注意，即使在牛顿框架内，只有在坐标为直角坐标时 xµ才代表加速度. 例如，当选取平面极坐标时，牛顿力学里的径向加速度不是 r，而是 r − r˙θ2. (3.12)式正是牛顿力学中不受任何力作用的粒子的运动方程，方程左边是粒子加速度在径向和横向的加速度分量的表达式. 注意这时虽然没有引力或惯性力，(3.13)式列出的克氏符号却不全为零. 综合上面所述，克氏符号既和引力或惯性力有关，也和坐标系的选取有关. 即使在一时空点的局部惯性系里. 在该点引力已经消除，只有选取直角坐标系时，在该点的克氏符号才能全为零.如果说克氏符号与引力有关，而(3.11)式表明克氏符号是度规对坐标的一阶偏导数的线性齐次函数，则度规可看作类似于引力势，当然其坐标分量的形式与坐标系的选取有关.3.3 水星近日点进动历史背景按照经典的天体力学，水星在具有球对称的太阳的引力作用下，轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点. 考虑了其它大行星的引力摄动，这个椭圆的拱线，也就是它的长轴在转动，造成水星的近日点指向在空间不是固定的，而是在轨道面上转动，称为近日点进动. 19世纪的天体力学家用天体力学的理论精密地计算了水星的近日点进动. 在考虑了所有的大行星摄动后，他们发现水星近日点进动的观测数据与理论不符，仍有大约每世纪43秒的残余进动无法用理论解释∗. 这实际上是19世纪末和20世纪初压在牛顿力学上的一朵乌云. 当然，这有可能用太阳的非球形来解释. 太阳的扁率可能解释这一残余的进动. 太阳的气体性质和异常的明亮使得准确测定它的扁率有困难. 到了20世纪末，已经测定太阳的扁率在 10−7左右，根本不可能造成水星每世纪43秒的近日点进动. 爱因斯坦推导了在广义相对论框架下水星近日点应有的理论进动，发现球形太阳的引力造成的时空弯曲使水星环绕太阳的轨道不是一个固定的椭圆，轨道的近日点在不断进动，其数值恰好与牛顿力学不能解释的观测数据相符†. 这是广义相对论创建时的一个重要的胜利. 本节讲述用测地线方程进行水星近日点进动的理论推导，可以看作是测地线方程的一个应用实例.施瓦西度规假设水星作为自由粒子在球对称太阳的引力作用下运动. 球对称太阳引起周围时空的∗是法国天体力学家勒威耶第一个在1859年9月12日向法国科学院报告了存在水星近日点的这一残余进动，当时的数值为每世纪38秒. 在这之后天文学家一直认为可能在水星轨道附近存在未知的小行星群或是牛顿的引力定律需要修正. 请参阅派斯著《爱因斯坦传》中译本p.364-365.†爱因斯坦是在得到他的引力场方程的最终形式(见第五章)之前一周，即1915年11月18日发表了他用广义相对论定量解释水星近日点残余进动的结果，之后对引力场方程的修改并不影响他这一计算的正确性.
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6第三章　等效原理和时空弯曲弯曲用著名的施瓦西度规表示：ds2= −(1 −2Mr)c2dt2+ (1 −2Mr)−1dr2+ r2(dθ2+ sin2θdφ2).(3.14)关于施瓦西度规的更为全面的认识将在第七章讲述. 式中的 M = Gm/c2，其中 G 是牛顿引力常数，而 m 可看作是太阳的质量. 坐标 (ct, r, θ, φ) 称为施瓦西标准坐标，简称为标准坐标. 显然，施瓦西度规决定的弯曲时空与平直时空的差别由无量纲量 2M/r 表示. 对于太阳 M ≃ 1.5 公里. 在地球处，2M/r ≃ 2 × 10−8. 在水星处这个量约为 0.8 × 10−7. 在太阳表面，约为 4 × 10−6. 这些是太阳系内广义相对论效应的大致量级.测地线方程选水星的原时 τ 为仿射参数，拉格朗日函数L =12c2(dsdτ)2= −12(1 −2Mr)˙t2+12c2(1 −2Mr)−1˙r2+12c2r2(˙θ2+ sin2θ˙φ2)(3.15)不显含坐标 t 和 φ，从欧拉-拉格朗日方程(3.8)可知存在两个守恒量(1 −2Mr)˙t = E,(3.16)r2sin2θ˙φ = h.(3.17)它们是测地线方程的两个积分，含有两个积分常数 E 和 h，起到了测地线方程降阶的作用.坐标 θ 对应的测地线方程为ddτ(r2˙θ) − r2sin θ cos θ˙φ2= 0.它有特解 θ ≡ π/2. 考虑到引力场的球对称性，可以选取水星的轨道面为 θ ≡ π/2 面，在以后的推导中，θ 恒取为 π/2.坐标 r 对应的测地线方程比较复杂. 可以用积分 L = −1/2 代替. 在这一等式中引入守恒量(3.16)和(3.17)，再化简得到E2−1c2˙r2−h2c2r2(1 −2Mr)= 1 −2Mr.(3.18)近日点进动现在来推导在广义相对论框架中水星环绕太阳的轨道. 它是 r 和 φ 之间的关系. 所以要用(3.17)式将上式中的 τ 消去. 此外,在牛顿近似下轨道是一个椭圆，引入 u = 1/r 可使方程更简单. 这样˙r =drdududφdφdτ= −hdudφ.代入(3.18)式后对 φ 再微商一次，得到d2udφ2+ u =Mc2h2+ 3Mu2.(3.19)因为 M = Gm/c2是 O(c−2) 级的小量，(3.19)式中右边第一项是牛顿项，而第二项是广义相对论的修正项. 采用逐次近似的方法来解微分方程(3.19). 先忽略右端第二项,得到牛顿的椭圆解u =1 + e cos φ¯p,
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§3.4 局部惯性系的建立7其中¯p =h2Mc2,椭圆的偏心率 e 是积分常数，而且已取极轴为近日点方向.这个解的误差是 O(c−2). 将它代入(3.19)式右端的第二项，引起的误差是 O(c−4). 进一步忽略O(c−2e2)量级的项，得到d2udφ2+ u =1p+6Me cos φp2,其中1p=1¯p+3M¯p2.在以上精度下得到水星的相对论轨道方程为r =p1 + e cos[(1 −3Gmc2p)φ].(3.20)这时水星每两次经过近日点，角度 φ 并不是增加 2π，而是还要转过角度 6Gmπ/c2p. 这个角度就是广义相对论效应造成的水星每一圈近日点进动的角度. 代入太阳的质量和水星的轨道数据，算得水星近日点每世纪进动43.5角秒，与观测相符.最后来看广义相对论框架中得到的太阳引力和牛顿的平方反比定律的差别. 将(3.18)式对 τ 再微商一次，并利用(3.17)式，得到径向加速度的表达式r− r˙φ2= −Gmr2−3Gmh2c2r4.(3.21)上式右端第一项为牛顿引力产生的加速度，第二项为相对论对牛顿引力的修正. 显然，广义相对论使得太阳的引力加强了.3.4 局部惯性系的建立局部惯性系的条件在§3.2中已经说到克氏符号的物理意义，在一定程度上它相当于引力或惯性力. §3.1说等效原理表明在弯曲时空的任何一点都存在局部惯性系，在其中狭义相对论的物理定律成立，也就是说在该点不存在引力或惯性力. 综合起来，用数学的语言来表述，就是在时空的任一点，存在坐标变换使度规在该点为闵可夫斯基形式，而且在该点的所有的克氏符号均为零.有两点应当提请注意. 一是从(3.11)式可见克氏符号是度规一阶偏导数的线性齐次函数，当度规为常数的闵可夫斯基度规时，克氏符号自然为零，这两个条件似乎不必要并提. 需要注意在给定点的度规是闵可夫斯基形式时，在其邻域的其它点一般不能同时变换成闵可夫斯基形式，因而度规不是常数度规，其一阶偏导数不一定为零. 对于给定点A，这两个条件可以写成gαβ(A) = ηαβ,gαβ,γ(A) = 0.(3.22)另一点要注意的是条件(3.22)是局部惯性系的充分条件而不是必要条件. 对于狭义相对论的平直时空，只有取直角坐标系时(此时切空间的基底为正交归一基底) 度规才有闵可夫斯基形式. 所以度规为ηαβ并不是平直时空的必要条件. 同样，对于平直时空，如果不选取直角坐标系，克氏符号也不全为零.克氏符号在坐标变换下的变换规律为了实现条件(3.22)来建立局部惯性系，需要知道克氏符号在坐标变换下的变换规律.
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8第三章　等效原理和时空弯曲设从坐标系 {xα} 变换到坐标系 {xα}，至少可以用两种方法来推导这一变换规律. 一是直接对克氏符号的定义(3.11)式进行坐标变换. 另一种方法是对测地线方程(3.10)进行坐标变换. 得到的结果是Γµα β=∂xµ∂xµ∂xα∂xα∂xβ∂xβΓµαβ+∂xµ∂xµ∂2xµ∂xα∂xβ=∂xµ∂xµ∂xα∂xα∂xβ∂xβΓµαβ−∂2xµ∂xα∂xβ∂xa∂xα∂xβ∂xβ.(3.23)上式的证明留作习题.(3.23)式表明克氏符号在坐标变换下的变换规律不是线性齐次而是线性非齐次的，所以克氏符号不是张量. 这个结果并不出乎意外. 考虑到克氏符号的物理意义与引力有关，而引力在一给定的时空点是可以消除的，也就是说在局部惯性系里当选择直角坐标系时克氏符号应当全为零，但是一个零张量在任何坐标系里的所有坐标分量都应当是零，所以克氏符号不可能是张量.局部测地线坐标系假定在时空点A处选取局部惯性系，并选用直角坐标而满足条件(3.22)，这时在A点的所有克氏符号均为零. 根据(3.10)式，经过A点的任何一条测地线在A点满足d2xαdλ2= 0.(3.24)这里 λ 是仿射参数，与4维弧长 s 成比例. 看以A为原点的 xα坐标线，其数学表达式可写为 xα= as + b且 xβ= 0 (β = α)，其中 a 和 b 为常数，s 是该坐标线的弧长. 显然该坐标线满足(3.23)式而是过A点的一条测地线. 所以，满足条件(3.22)的在A点的局部惯性系的坐标轴是以A为原点的1条类时测地线和3条类空测地线，而且这4条测地线在A点的切向相互正交. 这一结果是在预料之中的，因为在A点的局部惯性系是该点处在引力场中自由下落的参考系，该参考系的时间轴是作自由下落的粒子的世界线，那是一条类时测地线. 注意以上的讨论仅在A点的无穷小时空领域适用. 我们称这样的局部惯性系为局部测地线坐标系，简记为LGS.建立局部惯性系如前所述，克氏符号在时空点A全为零并不是A点处的局部参考系为局部惯性系的必要条件，但却是充分条件. 可以用这一条件来建立局部惯性系.设在某一坐标系 {xµ} 中的时空度规 gαβ在A点的克氏符号 Γµαβ(A) 不全为零. 不失一般性选择A为坐标系的原点. 现在来寻找坐标变换 {xµ} → {xµ}，使得在新坐标系中所有的克氏符号 Γµα β(A) 全为零.观察克氏符号在坐标变换下的变换规律(3.23)式，容易看出这一坐标变换应当是xµ= δµµxµ+12δµµΓµαβ(A)xαxβ.(3.25)3.5 弯曲时空中的对钟原时和坐标时在第二章中讲到粒子的原时可以用与粒子固连的钟来度量，因而有明确的物理意义. 然而粒子的原时只在自己的世界线上有定义，当要讨论一个系统的全局性态和行为时需要在整个时空中有定义的坐标时. 例如在计算太阳系中天体的运动或综合处理不同地点不同时间的观测资料时都需要坐标时，人类的社会生活同样需要一个全局的坐标时.对于狭义相对论的平直时空，当选取直角坐标而度规为闵可夫斯基度规 ηαβ时，坐标时的增量 dt与坐标系中静止观测者的原时对应增量 dτ 相等，坐标时有明确的物理意义. 广义相对论的时空是弯曲的，度规一般是 gαβ而不能全局地变换成 ηαβ. 坐标系中静止观测者的原时和对应的坐标时的关系是dτ =√−g00dt，而 g00依赖于坐标系的选择，坐标时的物理意义就不那么清晰了.爱因斯坦同时性和坐标同时性如上所述，狭义相对论中惯性系的坐标时的钟速和该惯性系中静止钟原时的钟速相等，因而可以用静止钟的原时间隔来记录坐标时的间隔，但是如果要量度发生在不同
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§3.5 弯曲时空中的对钟9地点的2个事件的时间间隔，就必须实现各地钟的时间同步，也就是建立所谓的同时性. 只有建立了同时性，坐标时才有可能完全确定.狭义相对论中1个惯性系的坐标时可以用以下的方式来建立. 设想A和B都是该惯性系中的静止观测者，A持有一个理想的标准钟和一个信号发生器，B则持有一面反射镜. A在自己的原时 τ1发射信号，在τ3收到B的反射镜反射回来的信号. 根据光速在所有地点和所有方向上数值都相同，A告诉B: 你收到信号的时刻是 τ2= (τ1+ τ3)/2，或者说A处的 τ2时的事件与B处收到A信号的时刻同时. 这种同时性称为爱因斯坦同时性. A可以源源不断地向B发信号，B就建立了自己这个地方的时间，这是用爱因斯坦同时性建立起来的坐标时. 狭义相对论中讨论同时性的相对性正是建筑在爱因斯坦同时性的基础上的. 对于弯曲的时空，可以用完全相同的方式定义爱因斯坦同时性.可以从另一个角度去建立同时性. 设对时空中的每个点都用4个数来予以标记，不同的点对应的4个数不能完全相同. 不去讨论这种标记的细节，这里说的实际上是用纯数学的方法建立了1个时空坐标系(ct, xi). 在不同地点A和B发生的两个事件对应的坐标时分别为 tA和 tB，当 tA= tB，称这两个事件为同时发生的事件. 这样定义的同时性称为坐标同时性.对于平直的时空，且度规为闵可夫斯基度规，坐标同时性和爱因斯坦同时性完全等价. 在狭义相对论课程和教材中讲解同时性的相对性时都有明确的说明，只是不一定用了这里的术语. 然而对于弯曲的时空，两者并不一定等价. 这一点在下面要进一步予以讲述. 首先来看这两种同时性之间的一个本质区别. 爱因斯坦同时性是用纯实验的方法来建立的，与坐标系的选取无关. 坐标同时性则强烈地依赖于坐标系的选择. 用前者建立起来的全局的坐标时有明确的物理意义.在广义相对论中，就物理规律而言所有的坐标系都是平等的，不存在优越的坐标系. 设对坐标系(ct, xi) 定义了坐标同时性. 进行下面的坐标变换ct = f(ct, xi),xi= xi.(3.26)这样的坐标变换并没有改变坐标系的中的静止观测者，也就是说没有改变参考系的实质，只是变更了每一空间点坐标钟的速率. 然而立即可以看到在老坐标系中为坐标同时的两个事件在新坐标系中不一定再坐标同时. 所以坐标同时性有很强的人为的因素.问题是对于弯曲的时空，能否用爱因斯坦同时性建立起全局的坐标时. 换一种说法，就是能否用爱因斯坦同时性自洽地对钟. 令人沮丧的结论是不一定. 下面进行这一探讨.定态和静态的度规在探讨这一问题之前，先讲述定态度规和静态度规的概念. 如果度规 gαβ不显含坐标时 t 而仅仅是空间坐标 xi的函数，称度规为定态(stationary)度规. 显然，在定态度规对应的坐标系中引力场是恒定的，不随时间改变. 施瓦西度规(3.14)和爱因斯坦转盘度规(3.43) 都是定态度规. 一个定态度规若它的时空交叉坐标分量 g0i全为零，则称为静态(static)度规. 显然，施瓦西度规是静态度规，爱因斯坦转盘度规则不是.用爱因斯坦同时性自洽对钟的条件在弯曲时空中选择坐标系 (ct, xi) 后，设时空度规为定态的gαβ. 设A和B为坐标系中无穷小邻近的2个静止观测者，其坐标差为 (cdt, dxi). 他们用爱因斯坦同时性进行对钟. 现在用广义相对论的理论进行讨论.光脉冲的路径符合 ds2= 0，亦即g00c2dt2+ 2g0icdtdxi+ gijdxidxj= 0
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10第三章　等效原理和时空弯曲从上式解出光脉冲从A到B所需的时间cdt =−g0idxi±√(g0idxi)2− g00gijdxidxjg00.(3.27)注意当 g0i= 0，因 g00 --------------------------------------------------------------------------------
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§3.6 弯曲时空中的观测量理论113.6 弯曲时空中的观测量理论弯曲时空中的观测和测量爱因斯坦曾经指出弯曲时空和平直时空中关于测量的概念有实质的区别. 在平直时空中空间坐标和时间坐标可以进行直接的度量，也就是可以用直尺和时钟来测量，这些坐标量通常有明确的物理意义. 例如，在§2.2 中说到狭义相对论中1个惯性系中的坐标时和该惯性系中的静止钟的原时的钟速相同，这种坐标时可以直接测量和记录. 然而在弯曲时空里空间坐标和时间坐标一般没有明确的物理意义，它们不是张量，也不是张量的1个分量. §3.5已经论证了坐标时 t 在一般情况下不能用与理论和坐标系选择无关的方式来建立.需要说明这里讲的观测和测量的含义. 我们指的是原始数据的观测和测量，例如1个钟记录的钟面时的时间间隔，望远镜焦平面上显示的2颗星之间的距离，光谱仪测得的谱线对应的波长和频率，光度仪测到的辐射强度等等. 这些观测和测量可以称之为直接测量，观测者(例如钟或望远镜的终端设备等)量度观测对象(例如原时或入射的光子等)得到了作为观测量的原始数据. 在得到大批的原始数据后，科学家运用物理理论和数学方法进行处理去解算所需的物理量，例如得到行星的质量，位置，轨道根数，宇宙里普通物质，暗物质和暗能量的比例等等. 这些物理量的获得相当程度上与物理的理论，物质的模型，甚至和坐标系有关，它们不是直接测量的结果. 本书和本节中观测量的理论所讨论的是前者而不是后者. 因此，观测量本身与采用什么理论框架无关，也与坐标系的选取无关，只依赖于观测对象和观测者. 在创立1个物理理论后，应当在这个理论框架内给出计算观测量的公式，以便和实际的观测结果相比较以验证理论是否正确，也为进一步的数据处理做好准备.在广义相对论中，时空的弯曲和坐标系的任意性使得观测量的理论显得分外重要. 下面将通过实例来说明这一点.瞬时观测者和观测对象在§2.3节中指出，每一次观测存在1个观测对象和1个瞬时观测者. 当坐标系选定后，后者可以用它的坐标和4速度 (xα, uα) 来表示. 前者姑且假定是1个1阶张量 Tα. 当然观测对象可以是1个高阶张量，下面的原理和方法同样适用.该瞬时观测者自然地将其邻近的局域时空分解为自己的1维时间和3维空间，他的4速度 uα指向时间增加的方向，而他的3维空间中的任一矢量与 uα相垂直. 将观测对象 Tα进行分解，Tα= Tα+ Tα⊥.(3.31)其中 Tα是该观测者测量到的观测对象的时间部分，也就是说与4速度 uα平行的部分，Tα⊥是余下的空间部分.用与第2.3节中同样的方法，得到用矢量和坐标分量形式表示的观测对象的时间部分为Tα= −(uβcTβ)uαc=(−1c2uαuβ)Tβ.(3.32)上式第一个等号后的式子表明矢量 Tα沿着观测者4速度的方向,其大小为 −Tβuβ/c，而第二个等号后的式子则将与观测者和与观测对象有关的量进行分离，与观测者有关的量放在圆括号内.观测者测量到的观测对象的空间分量的计算式如下Tα⊥= Tα− Tα=(δαβ+1c2uαuβ)Tβ.(3.33)
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12第三章　等效原理和时空弯曲上式中也做了观测者和观测对象的分离.时间和空间投影度规将与观测者和观测对象有关的量进行分离，(3.32)和(3.33)两式可写成Tα= παβTβ,Tα⊥= hαβTβ,(3.34)其中παβ= −1c2uαuβ,hαβ= δαβ+1c2uαuβ.(3.35)分别称为观测者的时间投影算符和空间投影算符. (3.34)式表明，将它们作用在观测对象上得到观测对象在观测者的时间和空间里的投影向量.παβ和 hαβ都是2阶张量的混变坐标分量，相应的协变坐标分量为παβ= −1c2uαuβ,hαβ= gαβ+1c2uαuβ.(3.36)类似地可写出它们的逆变坐标分量.前面提到瞬时观测者对自己的邻域进行了局部的时空分离，下面说明 παβ和 hαβ分别是观测者的1维时间和3维空间的度规. 这可以从下面两式看出.gαβTαKβ= (παβ+ hαβ)TαKβ= παβTαKβ,(3.37)gαβTα⊥Kβ⊥= (παβ+ hαβ)Tα⊥Kβ⊥= hαβTα⊥Kβ⊥,(3.38)上两式说明在计算观测者处切空间中的时间矢量之间的内积时，可以用 παβ作为度规. 类似地在计算观测者空间矢量之间的内积时可用 hαβ作为度规. 自然也有πανhνβ= 0.(3.39)成立. 此式不难用(3.35)和 uαuα= −c2予以验证.静止观测者的空间投影度规对于时空坐标系 {xα} 中的静止观测者，从度规可得到其4速度的逆变坐标分量为u0=c√−g00,ui= 0.(3.40)对应的协变坐标分量为u0= −c√−g00,ui=cg0i√−g00.(3.41)于是静止观测者的空间投影度规是h00= h0i= 0,hij= gij−g0ig0jg00.(3.42)下面用两个重要的例子来看观测量理论的应用.爱因斯坦转盘的圆周率重写转盘度规(2.18)如下ds2= −(1 −ω2r2c2)c2dt2+ dr2+ r2dθ2+ dz2+2ωr2ccdtdθ.(3.43)当转盘的角速度 ω 足够大时，相对论效应会显著，这里不来讨论现实中能否实现这样的转盘. 爱因斯坦把快速转动的转盘作为他的一个思想实验，并论证转盘上的静止观测者通过测量转盘的圆周和直径，将
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§3.6 弯曲时空中的观测量理论13得到转盘上的圆周率大于 π，因而该静止观测者所生活的3维空间是弯曲的∗. 这里再次强调这不等于转盘问题的4维时空也是弯曲的. 由于忽略了转盘的质量和能量，4维时空是平直的，但是不同的观测者的时间和空间的分离有所不同，对于转盘上的静止观测者，空间弯曲了.我们不去重复爱因斯坦的论证，而是用观测量的理论来计算这一圆周率. 先来量度 r = R 的圆周的直径. 直径上的一个线元为 dr 而其余坐标的增量为零，即dxα(r)= (0, dr, 0, 0). 它的长度的平方是hαβdxα(r)dxβ(r)= hrrdrdr = dr2,其中用了静止观测者空间投影度规的表达式(3.42) 和转盘的度规(3.43). 于是直径的量度结果应当是2∫R0dr = 2R.而 r = R 的圆周上的线元 dxα(θ)= (0, 0, dθ, 0) 的长度的平方应当按下式计算hαβdxα(θ)dxβ(θ)= hθθdθdθ =R21 − ω2R2/c2dθ2.得到静止观测者对圆周的量度的结果为∫2π0R√1 − ω2R2/c2dθ =2πR√1 − ω2R2/c2.最后得到圆周率为 π/√1 − ω2R2/c2，大于 π.施瓦西场测地线解中常数 E 的物理意义施瓦西度规(3.14)的测地线方程有一个积分(3.16)，含有一个积分常数 E. 为了弄清 E 的物理意义，讨论施瓦西标准坐标系中静止观测者测量到的自由粒子所具有的能量值.从(3.14)和(3.41)式可知施瓦西标准坐标系的静止观测者的4速度的协变坐标分量为uα= (−c√1 − 2M/r, 0, 0, 0).(3.44)不失一般性设自由粒子的静止质量为1，则其4动量为 pα= (c˙t, ˙r,˙θ,˙φ), 其中 ˙ = d/dτ，而 τ 为粒子的原时.一静止观测者测量到的与其交会的自由粒子的能量就是粒子的4动量在观测者时间方向的分量的大小乘以 c. 根据(2.17)或(3.32)式，测量到的能量 En 应等于En = −pαuα= −u0p0= c2√1 −2Mrdtdτ.而 dt/dτ 可用(3.16)表为积分常数 E 的函数，最后得到En =Ec2√1 −2Gmc2r.(3.45)当 r → ∞，En = Ec2，亦即若自由粒子到达无穷远处，那里在施瓦西标准坐标系中的静止观测者测量到的粒子单位静止质量所具有的能量就是 Ec2. 从(3.45)式可以看出，En 永远大于 Ec2，而且随着 r∗Albert Einstein, The meaning of relativity, fifth edition, 1954, Princeton University Press, p.59-61
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14第三章　等效原理和时空弯曲的增大，En 不断减小. 注意 En 对应粒子的动质量，借用牛顿力学的语言它大约是粒子的静止能量和动能的总和. 在 r 增加的过程中，粒子要克服引力的束缚，En 应当不断减小.以上的论断对自由光子同样成立. 对于光子有 En = hν. 于是当 r 增加时，测量到的光子的频率不断变小，也就是出现了红移. 所以当光源处于引力场较强处，而观测者处于引力场较弱处，会观测到辐射的红移，相反则出现紫移. 这是著名的引力红移现象.3.7 第三章习题3.1 电学中的库仑力也是平方反比定律，讨论为什么库仑力不能像引力一样变成时空的弯曲.3.2 证明克氏符号在坐标变换下的变换规律(3.23)式.3.3 宇宙学的Robertson-Walker度规为ds2= −c2dt2+ R2(t)(dr21 − kr2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2),(3.46)其中 k 为常数. (1)给出自由粒子运动的守恒量. (2)给出所有的克氏符号. (3)讨论自由粒子能否在所选坐标系中保持静止. (参考答案：记度规为 ds2= −c2dt2+ R2(t)γıdxidxj，x0= ct，则各克氏符号为Γ0ij= γijR˙R/c, Γi0j= δij˙R/(cR), Γrrr= kr/(1 − kr2), Γrθθ= −r(1 − kr2),Γrφφ= −r(1 − kr2) sin2θ, Γθrθ= Γφrφ= 1/r, Γθφφ= − sin θ cos θ, Γφφθ= cos θ/ sin θ,其中˙R = dR/dt.)3.4 探讨施瓦西场中测地线方程守恒量(3.17)亦即 r2sin2θ˙φ = h 的物理意义. (提示：计算静止观测者测量到的自由粒子在 φ 增加方向上的动量值.)3.5 对任意的度规 ds2= gαβdxαdxβ，将自由粒子的运动方程写成哈密顿正则方程的形式，给出哈密顿函数和与 xα正则共轭的广义动量.