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第三节 数学形象思维方法
第三节 数学形象思维方法
一、数学形象思维的心理元素
二、数学表象的特征
三、数学形象思维方法的形式
一、数学形象思维的心理元素
数学逻辑思维的基本元素是数学概念,
数学形象思维的心理元素是什么?
著名数学家阿达玛:“我觉得自己在真正想一个数学问题时,语言是完全不会出现的……即只有在读完或听完一个问题以后，我才开始想这是什么意思并且在我完成这件事或放弃这件事之前，语言不再出现.”
“不仅是语言,甚至连代数符号对于我来说,也是同样情况,只有在进行极容易的演算时,我才使用代数符号,一旦问题很复杂,这些符号对于我几乎成为沉重的负担了,此时我就用完全不同的方式来表达思想了.”
数学形象思维的心理元素不可能是具体的语言符号图形，而是脑中一些模糊的而又活生生的东西.
爱因斯坦:
无论是在写作物时候,还是在论述的时候，所使用的单词或语言对于我正在进行的思维活动几乎不起丝毫作用.作为思维元素的心理实体只是某些符号，以及时而清楚时而模糊的意象.
阿达玛:
在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图象,它一定是一幅模糊的东西，有了这个图,我才不致误入歧途.
图象、意象、“模糊又活生生的东西”实际上是心象，我们把数学活动中主体的心象叫做数学表象.
数学物象只有转化成主体的观念性形象---------数学表象，才有可能进入思维过程.
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构的特征概括而得到观念性形象.
数学表象不同于数学物象,也不同于知觉形象,它通过逻辑思维的渗透和数学语言作为物质外壳,运用典型化的手段概括了的理想化形象.
数学表象摆脱了数学物象的限制,使主体能够对数学表象进行自由的比较、分解、选择、整合加工改造.
1. 按材料内容的不同,数学表象可分为图形表象和图式表象.
图形表象是人脑对几何图形感知而形成的表象.
图式表象则是对数学式子、结构、模型、关系等感知而形成的表象.
2. 从创造性角度来看,数学表象可分为记忆表象和创造表象.
记忆表象——是指客体的一种主观经验,这个客体对于经受这种经验来说,曾经作为一种刺激存在过,但现在并不存在于知觉之中.
创造表象——是对个客体的主观经验,而这个客体对于经受这种经验的人来说,从没有作为一种实物存在过,它是一种想象出来的客体.
3. 从数学表象的构成来看,数学表象分为单象和复合象.
单象——单个的表象.单象具有单个事物的形、质等属性.如点、线、面、三角形等.
复合象——两个或两个以上的单象的组合.复合象的组合有线性描述性的组合和抽象性的组合.
前者有三角形的内切圆等;后者有数学变换(如恒等变换、映射变换、分割变换等).
4. 依数学表象的层次结构可分为低级表象和高级表象.
低级表象:
如三角形、内切三角形、圆等.
高级表象:
变换思想、化归观念、推理意识、函数思想等.
二 数学表象的特征
数学表象的主要特征有:
1. 形象性
2. 主观灵活性
3. 抽象概括性
4. 创造性
1. 形象性
数学表象是人脑对数学物象的反映,是主体在数学活动中的心象,是一种理想化了的形象.数学表象具有整体形象性,而且从不同角度观察产生不同形象.
2. 主观灵活性
数学表象源于对数学对象的知觉.往往以个人经验不基础.除了可物化为数学语言、图形或实物模型外,均是模糊的、易变的,不易进行交流,能灵活而迅速地进行组合转化.
3. 抽象概括性
⑴ 数学的抽象概括性决定了数学表象必须具有抽象概括性.
⑵ 数学表象主要源于视知觉.认知,即探索、选择、对本质的把握,对数学规律的简化和组织.
⑶ 数学表象存在从记忆表象到抽象的创造表象.形象抽象是一个心理表象的形成过程.把层次不同或相互分离的抽象物整合成一个表象,更高层次整体地体现事物结构和关系.
4. 创造性
数学表象在知觉的基础上,是以往大量形象信息储存大脑中,具有灵活易变的特点,便于主体进行比较、选择、分解、整合加工,从而引出许多新结构、新概念和新关系.
许多实例说明,如果过人依赖语言符号,思维将趋向保守、呆板.
三 数学形象思维方法的形式
数学形象思维方法是人脑对表象信息进行加工,并得出新数学表象的思维方法.
其形式有数学表象的形成、数学表象的分解与组合、联想、想象.
1. 数学表象的形成
面对具体的客观事物,在感知觉和经验的作用下,人们在脑中可形成单个的表象,在此基础上,从不同的单象中通过形式结构特征的概括而形成观念性的数学表象.这就是数学表象的形成.
如
茶杯口、轮胎、环、圆管的截面等在人脑中形成不同的单个表象,而由这些单象形概括形成“圆”的数学表象.
1. 数学表象的形成
通过画圆的学习,发现圆是平面上到定点距离等于定长的点的轨迹,便形成了“轨迹之圆”的数学表象;学习集合后,形成“集合之圆”的数学表象.
学习了 后,有些形成了与原式“全等”的图式表象,有些形成与原式“同构”的图式表象,即
2. 数学表象的分解与组合
数学表象的分解是指把复杂的表象分解为简单的表象.表象的组合是指把一些单象组合成复合象.
⑴ 在复杂的背景中识别出基本图形
⑵ 把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式.
⑴ 在复杂的背景中识别出基本图形
2. 数学表象的分解与组合
例 指出下图中有多少个直角三角形?多少个正方形?
⑴ 在复杂的背景中识别出基本图形
2. 数学表象的分解与组合
例 指出下图中有多少条Menelaus线?
2. 数学表象的分解与组合
例
⑵ 把复杂的结构图式分解成一些简单的结构图式.
联想是由一事物想到另一事物的心理过程.
即将头脑中相分离的表象联系在一起,由一种已有的表象唤起另一种表象.
有部分联想整体、类比联想、关系联想.
3. 联想
⑴ 部分联想整体
⑴ 部分联想整体
⑵ 类比联想
类比联想指的是根据两个数学对象之间的类同、相似等关联引起和展开的联想.
如学习立体几何联想到平面几何;
学习多元函数的微积分联想到一元函数的微积分;
由分式的基本性质联想到分数的基本性质等等.
例已知acos＋bsin =c, acos ＋bsin =c.其中
图式表象:Ax+By=C与A1x+B1y=C1重合
于是,就有下面的逻辑推演:
显然P(cos,sin),Q(cos,sin )在ax＋by =c上.
所以,点P,Q均在直线
因此,两直线重合.于是
⑶ 关系联想
关系联想是根据数学知识、图形的内在联系进行的联想.
如利用两个数学对象之间的从属关系、一般与特殊的关系、互逆关系、对称关系、因果关系，可以进行相应的联想.
例 解方程 3x+4x+5x=6x.
可联想到利用函数方法来解决.方程可变形为
观察、试算f(1)=1, f(2)
是R上的递减函数
所以f(x)是R上的递减函数，故解只有一个。
想象就是人脑对已有的表象进行加工而产生新表象的思维方法.
数学中的想象是以丰富的数学表象为基础.数学中的想象为较高层次的形象思维形式.
数学表象系统和结构层次、丰富程度决定主体想象的水平.
４. 想象
想象分为再造想象和创造想象.
再造想象——根据对某一事物的数量关系与空间形式的语言、文字的描述或者图形的示意,在头脑中形成相应的新表象的思维方法.
创造想象——不依赖于某一事物已有的数量关系和空间形式的描述,而是根据一定的目的、任务与理论,独立地创造出新表象的思维方法.
、想象.
数学中有一种叫做模拟的想象.
模拟就是根据数学对象(原型)的本质和特征,在大脑中选择或构建一种与原型相似的表象模型,并在建立的表象模型上进行实验(表象运动),然后将所得结果类推回到原型,从而达到认识目的的思维方法.
其原理就是相似原理.
