B-S模型估计唯一参数：波动性 σ

第八章、期权


学习目的
1 解释基本的买方—卖方期权平价公式，与远期合约价值的联系，掌握可以应用此公式的期权模型。

2 卖方—买方期权平价模型与买方期权下限条件的关系，该条件对美式买方期权定价的意义，并确定美式买方期权何时执行。

3 运用（1）二项数模型（2）布莱克—舒尔斯模型确定欧式期权的价格。

4 B-S模型：S0N(d1 )-PV(K)N(d1-σT1/2).解释N(d1 )含义。

5 举例说明，为什麽有红利股票美式买方期权和卖方期权可能会提前执行。

6 理解波动性对期权价格和提前执行的影响。









8.1期权与期权市场概览


期权分为：买方期权和卖方期权

欧式、美式期权
期权：以约定价格购买（出售）标定资产的权利，——到期日。

欧式：仅在到期日执行。

美式：到期日或之前任何时刻都可执行。

美式期权更流行，欧式期权估值相对简单。









期权的四个特征
有风险的标的资产，决定期权在未来某一天的价值。
约定价格。
执行生效日，之前期权不允许执行。
到期日，之后期权不再被执行。
欧式期权生效日于到期日是同一天。

美式期权生效日是其原始发行日（延期美式 期权除外）









8.2期权到期


到期日买方期权价值：max[0，ST-K]
到期日卖方期权价值：max[0，K- ST]
（ ST：到期日不确定的标的股票价格； K：约定价格）

图8.1，8.2所示：期权价值不为负；卖出期权时未来的现金流不为正。(*)










8.3买方—卖方期权平价


买方-卖方期权平价与远期合同：公式推导
一种欧式买方期权多头和卖方期权空头的组合的净价值等同于远期合同的净价值。

结论8.1:平价公式：假定没有套利，对标的股票不支付股息
C0-P0=S0-PV(K)

即，卖方期权的多头和卖方期权的空头的价值等于股票现价减去与约定价格以无风险利率贴现的现值之差。

（变形：C0+PV(K) =S0+P0 成本=收益）










平价公式与买方价值最小值
C0≥ S0-PV(K)

平价公式与美式买方期权的提前执行
到期之前无红利股票的美式买方期权的提前执行
结论8.2：此种情况下，不会提前执行。
C0≥ S0-PV(K)， PV(K)S0 –K(*)

2. 何时提前执行美式买方期权

结论8.3:支付股息的股票的除息日之前执行美式买方期权。








到期日之前有现金支付的标的资产，证券价格 因现金分配而下跌之前


无法按照无套利原理进行估值时，经理股票期权


3.美式卖方期权的提前执行




早收到现金可得到更多利息


等待更有利的结果


权衡


4.美式买方期权的价格与等同条件的欧式的关系

结论8.4:标股票无红利下，非套利，价值相同








5.有红利股票的欧式期权平价公式

结论8.5:平价公式的推广

C0-P0=S0-PV(K)-PV(div)

（PV(div):所有到到期日为止的股息现值之和）

平价公式与作为期权的公司证券
股东权益可以看作是公司资产的买方期权。

ST:未来的资产现金流;K:债务面值









公司债券：公司资产多头和公司资产买方期权空头的组合。

D=S0-C0 =PV(K) –P0

(D：公司债务的市场价值）

结论8.6：可将权益看作公司资产的买方期权，有风险的债务视为无风险的债务价值PV(K) 加上关于公司资产的约定价格为K的卖方期权的空头(–P0) (*)









平价公式与组合保险
LOR：期权具有无限上涨潜力与有限下跌风险的理想价值的特征，当组合投资由

约定价格为K，未来目标期限到期的买权
在期权到期日最低价为F的无风险零息债券
组成时，投资组合在期权到期日的价值永远不会跌到F以下。

保险投资组合的现值=C0+PV(F)

=S0 +P0 –[PV(K)+PV(div)- PV(F)]












8.4欧式期权的二项数估值


风险中性估值法（u,d）



1=


uπ +d(1-π )


1+rf


u=上升状态下下一期股价与本期之比

d=下跌……………

rf=无风险利率


C0=


π max[uS0-K,0]+(1-π)max[dS0-K,0]


1+rf









结论8.7:(二项数模型）股票现值为S0，无股息，约定价格K，还有N期到期，欧式买权价值为



C0=


(1+rf)N


1


Σ


j!(N-j)!


N!


πj(1-π)N-jmax[0,ujdN-j S0-K]


rf=无风险利率

π=每次上升的风险中性概率

u=上升状态下下一期股价与本期之比

d=下跌……………











8.5美式期权的二项数估值


美式卖方期权（右边倒推）
与欧式不同，每个节点处都有可能执行,并且标的资产在节点处价值为S，所以买权所获价值为S-K，卖权：K-S.而非期望值。

故每个节点上比较（1）执行期权的价值（2）现值，取大值；在往前推。

有红利股票的美式期权估值
代表除息日的节点有两个价值：前含息价值与除息价值。









8.6B-S估值


模型
二项数模型转化为B-S模型的条件;时间平滑连续

结论8.8:到期日之前，无红利股票的收益率呈对数正态分布，可在无摩擦市场中连续交易，并具有常数方差，对于一个无风险利率，约定价格K，还有T年到期，欧式买权等于
C0=S0N(d1 )-PV(K)N(d1-σT1/2)




这里， d1 =


ln(S0/PV(K))


σ T 1/2


+


2


σ T 1/2









模型应用：欧式、美式期权


股息与B-S模型
假定无股息对模型有重要意义，如果有股息，模型将不再完全生效。因标的股票的收益率的对数呈正态分布，意味着股价每一时刻都有可能等于零，则除息价格可能为负；并且无穷多个股价中的股息很难一一说清。










8.7波动性估计


B-S模型估计唯一参数：波动性

假定σ是常数

运用历史数据
步骤：

求期权的标的股票的历史收益率
将收益率转化为总收益率
取小数形式的总收益率的自然对数值
求数组的无偏方差，并将其年度化
注：电子表格，频率选择，改进估计（加权平均）









内含波动性方法：


考察同一证券的其他期权。如果有期权的市场价值存在，就有唯一的内含波动性使特定的期权市场价格符合B-S模型。（*）









8.8B-S模型的价格敏感性：对股价、波动性、利率、到期日


对股价变化的敏感性
Δ =期权价格对股价的导数

= N(d1 )

=追踪投资组合中股票的股数

Δ与套利策略

Δ对B-S模型的解释：将N(d1 )解释为追踪投资组合中股票的数量。









B-S模型的期权价值与股票波动性
结论8.9：股票价格波动性增加时，其期权价值上升

期权到期时间与其价值
T


买权价值


卖权价值


无风险利率与期权价值
rf



买权价值


卖权价值









估值有关更复杂资产的期权


B-S模型的远期价格版
从即期价格计算远期价格
应用
美式期权
结论8.10：当标的资产的远期价格大于（小于）标的资产的现价，不应提前执行美式买权（卖权）。故，美式期权价格=欧式期权










货币的美式买权和卖权


结论8.11:当国内利率高于（低于）外国利率是，以外币买入（卖出）本币的美式期权价格与同情况的欧式相同。（*）










8.10B-S模型的经验偏差


波动性与期权的约定价格的负相关
微笑效应








8.11总结和结论