费马三定理
2014年12月23日
严氡
四百年前，有位法国律师叫费马 (Pierre de Fermat)。 四百年后，费马被后人纪念的不是他法律成就，而是他的数学传奇，尤其那称作“费马大定理”(Fermat’s last theorem)的故事，成为数学史上惊心动魄的篇章。
曾以为律师都是数学白痴。费律师的事迹告诉我们，绝对不可以有成见，历史造就一切可能。
费马的定理都很精美雅致，如一件件艺术品。可惜费先生不习惯把证明写下来，因此我们读到的证明都是后人所作。
先看看费马小定理 (Fermat’s little theorem)。
费马小定理 假设p是素数，a是整数，a不被p整除。那么，a^(p-1) (a的p-1次方)被p除的余数是1。
这个定理是费律师在1640年发现的。而第一个公开发表的证明却是九十六年之后，1736年欧拉(Leonhard Euler)的证明。
证明很漂亮很简单，至多用了初中数学知识，给大家分享一下：
考虑 p-1 个数, a, 2a, 3a, …, (p-1)a; 这 p-1 个数被 p 除后的余数是互不相同的，所以这p-1个不同余数是 1，2，3，…,p-1 的一个排列。因此它们的乘积
a*2a*…*(p-1)a = (p-1)!*a^(p-1) 被 p 除的余数，
与 1*2*3*…*(p-1) = (p-1)! 被 p 除的余数相同。
因此，(p-1)!*a^(p-1) – (p-1)! 被 p 整除。
因为 (p-1)! 不含素因子 p, 所以 a^(p-1)-1 是 p 的倍数。
这就证明了 a^(p-1) 被p除的余数是1。
另一个有意思的结果是费马平方和定理 (Fermat’s theorem on sums of two squares)，我称之为费马中定理。
1640年的某一天，费律师玩着数字游戏：
5 = 1*1+2*2
13 =2*2+3*3
17 = 1*1+4*4
……
灵感告诉他这里隐藏着秘密，于是仔细搜寻，他终于发现了规律：5， 13，17， …被4 除都余1， 而它们也都可以分解成两个整数的平方和。在这年的圣诞节写给朋友的信中，他宣称发现并证明了下面的定理。这定理也称作费马圣诞节定理。
费马中定理 （Fermat’s Christmas Theorem） 如果素数 p 被 4 除余 1， 则 p 可以写成两个整数的平方和。
可惜，费律师这次又没有发表证明。等了一百年，还是那位欧拉先生在1747年发表了证明。欧大师的证明只用到了现代高中数学知识，感兴趣的朋友可查询下面网页。
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
费马不断给数学带来惊喜，也不断带来麻烦。有一天，费律师读着小说，又来了灵感。于是，在书的空白处写下一个新定理， 这就是著名的费马大定理 (Fermat’s last theorem). 他继续写道：“我发现一个绝妙的证明，可惜书页已经满了写不下了。”
费马大定理 整数 n > 2; 整数 x, y, z 非零。那么，方程 x^n + y^n = z^n 无整数解。
人们想费律师不提供证明没关系，100年后欧大师一定会证明。 果然，一百年后，欧大师证明了费马小定理，欧大师也证明了费马中定理；但是，欧大师却没有证明费马大定理。
已经过了250年。20世纪初，在德国哥廷根（Gottingen）大学， 有一位年轻的犹太裔数学家闵可夫斯基 (Hermann Minkowski), 就是那位给出爱因斯坦相对论中4维时空度量的闵可夫斯基。有一天，在讲堂上，他问学生们：“250年过去了，费马大定理还没被证明， 你们知道为什么吗？” 看着学生们困惑的样子，他继续说：“不是因为问题难，而是因为没有第一流数学家尝试去证明它。 现在我就证明给你们看”。
説完，他在黑板上开始了证明。下课铃响了，还没证完。他看了看学生们，说：“下堂课我们继续证。” 一堂课接着一堂课，一黑板又一黑板地写着，闵教授在同学们面前努力地证明着。一个月过去了，还没有证完。终于闵教授无奈地叹口气，说“不证了。下节课开始正常上课。”
又过了80年左右，到20世纪末，普林斯顿教授Andrew Wiles, 几经磨难，彻底证明了费马大定理。
依然有一个谜，Wiles教授的证明绝对不是费律师的那个绝妙的证明。那么，那个“绝妙的证明”又是什么呢？
