From Gemini

这是一个经典的几何作图问题！ 最直接的方法是利用 对角线： 画出正方形 ABCD。 画出它的对角线 AC 或 BD。 以原正方形的对角线 AC（或 BD）作为新正方形的边长，向外画出新正方形。 为什么这样做可以？ 假设原正方形 ABCD 的边长为 s。 原正方形的面积为 A_{\text{原}} = s^2。 根据勾股定理，对角线 AC 的长度 d 为： d^2 = s^2 + s^2 d = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2} 现在，我们以这个对角线 d 作为新正方形的边长 s'，即 s' = d = s\sqrt{2}。 新正方形的面积 A_{\text{新}} 为： A_{\text{新}} = (s')^2 = (s\sqrt{2})^2 = s^2 \cdot 2 = 2s^2 因此，新正方形的面积 A_{\text{新}} 是原正方形面积 A_{\text{原}} 的 2 倍 (2s^2 / s^2 = 2)。 另一种直观的方法（通过旋转和合并） 您也可以将原正方形理解为新正方形的 “内接” 形状： 找到原正方形的中心点 O（两条对角线的交点）。 将原正方形 ABCD 围绕中心点 O 旋转 90^\circ，得到另一个全等的正方形 A'B'C'D'。 连接四个顶点 A, B, C, D 和旋转后的四个顶点 A', B', C', D' 的中点，您会发现它们构成的 更大的正方形 X Y Z W（其中 X, Y, Z, W 是对角线 AC, BD 延长线上或端点）。 更简单地看：连接原正方形四个边的中点，得到的正方形面积是原正方形面积的 一半。反过来，如果您以原正方形的四个顶点为起点，向外延长中点连线，形成一个 大正方形 WXYZ，这个大正方形的面积就是原正方形面积的 2 倍。实际上，这个大正方形 WXYZ 的边长就是原正方形的对角线长。 但第一种方法（以对角线为边）是最简洁和标准的作法。