未婚有孕男友威胁要拿监护权

单身在美国，有一男友，不慎怀孕（我知道这个我有责任，不用教训了）。刚刚怀孕就发现男友的一些人品问题，不细说了。虽然也很想给小孩一个完整的家，但是我的朋友都劝我不要和他结婚，连保守的父母都劝我不要结婚。由于男友不断的骚扰，怀孕还不到三个月，想和他分手安静过日子，他威胁要去找最好的律师，以后和我争夺监护权，因为他是美国公民，我是绿卡，好像他有一定优势的？我现在精神极度紧张，每天上网学习有关方面的法律。好像目前的印象是，没有结婚的话，孩子是跟妈妈的。但是父亲可以有一半legal custody？是不是这样的，还请大家帮帮忙。
如果他继续骚扰我，我是不是需要搬家？如果回国生小孩的话，是不是更好些？
拜谢！