离婚后医疗保险的问题。。。

请问，要是离婚以后，两人的医疗保险各买各的，新买的那个有很多都不cover,要几个月后才fullcoverage， 大概人家保险公司怕你骗保吧。这种情况下，如果原来的family保险还保两个人至少一年，可不可以再这一年之后两边都保者，看病还从第一个保险公司cliam，直到个人的保险fullcoverage 在把前一个保险cancel掉？可以这样吗/

或者， 有什么其它的建议吗？谢谢。