请教单身老猫及其他高人：F1非法打工

我去年在校内曾帮一个外面的公司干了一些活（我学校的Advisor也知道），公司给我付了两次Check，我都存到我的账户上了（我当时没意识到这也是非法打工）。但是公司并没有给IRS寄1099表。可是最近我收到Social security administration给我寄来了信，说我没有交Social security tax。我不知道他们是怎么得到我工作的信息的，难道是通过支票查询到的？我的问题是：

1-我还要不要交Social security tax？如果我交了，那不证明我非法打工了吗？如果我不交，对今后可能有影响（养老保险，申请绿卡等）。

2-我可不可以将支票退回原公司，就说我的工作是Volunteer.因为他们公司没交1099表，IRS应该不会有记录。这样是不是就没问题了。

3-IRS会不会将这些信息通报给移民局，说我非法打工，那我是不是就有大麻烦了？

非常感谢！！！