请懂法律的各位朋友看看这个案子

本人于两年前通过租房公司租了个房子，合同本来今年５月底结束，因我们没能提前两个月告诉他们，他们给自动延长到明年五月份。按合同规定，如果合同没到期的话，可以提前两个月告诉他们，他们会罚１０００美元再加两个月的房租。总共罚款约４０００美元。

我们是月（提前两个月）告诉他们的我们八月底搬出。我们也付了八月底的房租。但我们是八月１１号搬出的房子。在八月１１号之前楼上的空调不干活，晚上热得不行，等了两个月他们也没给修空调。现在出租公司，让我们付到明年五月份，加上各种莫须有的罚款，总共一万八千多美元。

若住到八月底，他们就不会罚我们到明年五月份。我的问题是我们一定要physically住到八月底他们才按他们会按１０００美元再加两个月的房租罚吗？难道physically住到八月十一号，他们就俺罚到明年五月份吗？可是我们是付到８月底的啊？　难道天下就没到理可将了吗？


我的问题是我们一定要physically住到八月底吗？

我们要告这个出租公司，以什么名义告他们呢？



谢谢大家的帮助！