解析证明如下

假设等角多边形一边的方程式

αiX + βiY + γi = 0. 

因为凸多边形所有点在线的一侧，所以表达式

αix + βiy + γi

不变正负号, 对多边形中任何一点 P = (x, y) 

到边的距离, hi 为

hi = (−1)^εi  (αixq+ βiy + γi) / sqrt(αi^2 + βi^2),

其中 εi ∈ {0, 1}.

所以距离总合的表达式 V 

V(x, y)= Sigma(i 从1到N）(−1)^εi  (αixq+ βiy + γi) / sqrt(αi^2 + βi^2)

假设 V(x, y) = 常数。

那么 点 P = (x, y) 可以做平行区域分割, 每个区域 V 为常数

分割到最后的三点，如果成一条线，命题的证。如果不成线，就是形成3角形，这里V函数不变的话，就存在两个不同的分割平行等值区域使得函数 V 取同值。 P点必在多边形内或边界上。