你的雇主是学校,你的老板只是你的出资人,如果学校认为新的工作完全符合原来的H1申请,因为你还是为同一个雇主做同样职责的工作,拿着原来的797到第三国签证我想是比较快的恢复身份办法。重新申请一个新的H1当然挺保险,但是可能移民局会反复核实你保持工作的问题,到最后认为你身份脱节的话还是会要求你出国签证启动新身份的。
有关拿着旧的H1去签证还是拿着新的H1去签证的问题,你要问学校的国际学者办公室,因为你开始工作的手续反正要他们办的,如果要办新的H1,他们也会帮你申请。
第三国签证预约有一段时间,你也许可以先预约一个时间,到时候不用再取消。