请教H1b transfer的问题

小弟正在做H1b transfer，

原公司06/01结束了工作，H1b也可能结束于06/01.我的I94还是有效到09/30/2012.

但是新学校申请的H1b要06/15才开始，他们是05/31寄出的材料，06/02早上移民局收到。

我想问一下，我这样的情况会不会out of status？

我听说只要在旧的H1b结束前，新雇主寄出申请，我就可以合法的等到新的H1b receipt收到就可以上班，是这样吗？

如果移民局批复的I797带有新的I-94，但是有效期是06/15/2011-05/31/2012,而老的却在06/01结束，
这样的话应该怎么办呢？还是要离境签证吗？还是应该没什么问题？

谢谢