请问863211老师和皮匠老师关于签证滞留的问题

我老公L1A续签在移民局还没批下来，他的签证月底就到期了。他的律师说如果月底还没有消息，他可以在美国边工作边等，不用回加拿大等（加绿卡），我们担心过了月底那不是非法滞留吗。律师说的对吗？真的很揪心。谢谢。