请教小白兔等各位大侠non-profit h1b和profit h1b的gap问题？

由于今年的h1b已经差不多用完，我暂留在系里教书一年，如果系里帮我申请的h1b是从今年的8月到明年的8月，即便我在明年4月以前找到industry的工作并申请到了新的h1b，我也要等到10月1日之后才能工作，对吗？另外即便这样，我是否也有gap的问题？因为两个h1b之间有2个月的空当（8月学校h1b结束，10月industry h1b开始）？如果这样，我可以合法呆在美国吗？如果不能，我应该怎么办呢？我是否可以跟系里写上多给我申请一段时间的h1b？如果这样的话，系里需要出具什么证明吗？由于我这样的临时教书工作是一年一年续约的，所以一下出具超过一年的offer letter不一定可行，是否这样的情况下就没法拿到超过1年的h1b了？


抱歉问题可能很弱智，谢谢赐教！！非常感激！