H1B 换工作，中间有2个月的gap怎末办？

我目前是B学校的postdoc, 持h1b第四年，工作合同4月1号到期，但是签证还有两年多才过期。新找到A学校的位置6月1号才能开始。不过他们可以在4月1号之前给我提交H1B申请，
1，请问4月1----6月1号之间的时间，在没有任何工作合同的情况下，我呆在美国身份合法吗？
2，如果在这两个月期间我回国，在中国申请签证的时候，是否必须先拿到A学校申请的H1B批准才行？

请有经验的老师和同学们帮帮忙！谢谢大家！