又到3月14号了，聊聊3.14圆周率

来源: LingYuan 于 2011-03-14 16:28:54 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (4682 bytes)

本文内容已被 [ LingYuan ] 在 2011-03-18 00:00:44 编辑过。如有问题，请报告版主或论坛管理删除.

每年的3月14日，因为正好与圆周率的3.14相吻合，因此很多人将这天视为圆周率的纪念日。

圆周率在数值上大约是3.1415926。它的几何意义很直观，它是圆的周长与其直径的比值。我们都熟知，在数学上，圆周率是个无理数与超越数，即它不可能用常规的数表达出来，也不能用圆规和直尺给画出来。

如果说圆为曲，径为直的话，那么圆周率就是在“曲”“直”之间的一座桥梁，或可使”曲”“直”互转互化的一种媒介。貌似无理，却在其中蕴藏着不可言尽的道理，无论在我们的日常生活当中，还是在科学发展的过程中，圆周率都起着举足轻重，不可或缺的作用。

据载，早在四千多年前的夏朝，在今天山东省滕州官桥镇的地方，有个叫做奚仲的工匠发明了马车，后来春秋战国的管子在他的书中这样记载了奚仲的发明：“奚仲之为车也，方圜曲直（圜：读作圆），皆中规矩准绳，故机旋相得，用之牢利，成器坚固。”这句话的意思大致是，奚仲制车的大致过程是，他用规尺与准绳准确地量出木头的长度，然后把直木弯曲成圆形，并装在方形的车毂上，这样制成的车坚固而轻巧，可使旋转运动变成象射箭一样的直线运动（注：机在古代指弓弩上的发射装置）。

轮子与车辆的发明无疑是人类发展史上一个重大的突破与创举，显然在这一发明中，人类已经明白并掌握了直线与圆的关系，不然方圜曲直与机旋相得是不可能的。这在中国至少是四千年前的事情了。据说，更早之前，在地中海一带，人们已经知道怎样用轮子来制造陶器了，那大约是在六千年前的新石器时代末期。

历经了商殷的繁荣，穿过周朝的风雨，碾过秦朝统一的车辙之后，当历史的车轮驶进汉朝的时候，马车的制造技术已经达到了登峰造极的程度，车轮中方圜曲直的道理也渐渐深入人心，”曲直“一词被人们引申到社会中来，那时候，人们将无理之事称为“曲”，而有道理的事情则被称为“直”。例如汉代的大家王允在他的《论衡》中就有这样一段话：”二论各有所见，故是非曲直未有所定。”在这里，所谓二论是指当时有人说太阳在早晨的时候离大地较近，依据是早晨的太阳看起来比较大，而另一种观点认为太阳在中午的时候离大地更近，依据是中午的时候人们感觉太阳更加温暖。因此“是非曲直”未有所定。

随着人们对“方圜曲直”与“机旋相得”的理解的深入，人们开始运用这个概念来描绘浩瀚的宇宙，于是在汉朝时候出现了“天圆地方”的宇宙观。《周髀算经》中这样说：“天圆如张盖，地方如棋局。”天地虽异，但“天地感而遂通万物”，就是说虽然“天圆地方”，但是天地之间却是彼此相通的。这有点象圆周率将方圜曲直联系在一起一样，因此其中蕴含着和而不同的大美。这种和谐美有机地体现在古代中国的文化当中，比如在建筑上，在青铜器里，在古钱币中到处可见。

如此看来，无论圆周与直径之间的曲直，还是天地之间的方圆，其联接的关键都是圆周率了。因此人们对圆周率的计算一直都在不舍地追求。远古时代，人们认为“径一周三”，即将圆周率认为是3。到了汉代之后的魏晋时期，人们对圆周率计算的准确性开始有了突破性的进展。首先是刘徽发明了割圆术，即利用内接正多边形来无限近似它的外接圆，表明人们对“方”与“圆”之间的关系有了本质的认识。大约二百年之后，南北朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，得出了人类有史以来对圆周率最为精确而简洁的计算，即著名的圆周约率22/7 和圆周密率355/113。这两种对圆周率的近似计算即使在今天的工程计算中都有足够的精度，约率的计算精度为万分之四而密率可达千万分之一。

到了近代，特别是微积分发明之后，人们更是发现了根据无穷级数来计算圆周率的方法，例如较早的莱布尼茨公式与瓦利斯公式，不过，这些早期的公式不太实用，因为它们收敛得都很慢，例如要想达到祖冲之的密率精度的话，需要上千万次的运算。于是后来又出现了马金（Machin）公式与高斯-勒让德迭代法以增加迭代速度。这在计算机时代是非常有用的，因为这些公式可以使人们对圆周率的计算达到任何所需要的精度。据说，有人已经算出具有206亿位小数的圆周率，并从中得出一些规律来，例如著名的费曼点，即在某个小数点位上开始出现连续的重复数字。比如在第206位的小数后有6个连续的9。此外，还有人研究过从0到9这是个数字哪个数字在圆周率中出现的频率多一些，结果通过研究发现这10个数在圆周率中出现的频率基本是一样的，也是很有意思的一个规律。

人们对圆周率的认识并没有停留在数字的计算上，随着科技的不断发展，人们越来越认识到这个无理数总是出现在很多描述自然界规律的各种方程里。例如在著名的海森堡的测不准原理中，在正态分布的概率计算中，在描述波动的方程中，以及在傅立叶变换中等，圆周率都理所当然地出现在它们中间。其实，无论是古代发明的马车，还是工业革命时代的蒸汽机车，到现代的飞机火箭，以及各种机器的运动，其基本运动方式都是“机旋相得”，因此创造了我们丰富的生活。可见，圆周率不但蕴含在自然规律之中，也同时贯穿我们的生活里。

后记：

圆周率的一个有趣的算法：取一根针，量一下它的长度。找一张大纸，在纸上划出若干平行线，每相邻两条平行线的距离是针的长度的二倍。把针捏在两手指间，然后从一两尺的高处让针随意地落到纸上。把下落的总次数记下来，把针和平行线相交的次数也记下来，再把这两个数相除一下，你会发现这个得数的结果会随着抛针的次数的增多而越来越接近圆周率。这个实验就是著名的泊松针实验，最初是由法国数学与物理学家泊松发现的。