很理解你的难处。背景调查不能回避； 建议留你们human resources 的电话。并注明； I am

currently employed with the company. If my manager becomes aware that I am seeking a new position elsewhere, my employment status may be jeopardized. Therefore, please contact the Human Resources office for any inquiries. The HR phone number is 123-456-7890. Please let me know if you have any question. Thank you.

一般人事处只证实employment　dates。

如果新公司一定要supervisor的电话。那你只能给了。如果feedback负面的。也不要多担心。因为不是你能控制的。

新公司要了几个reference？如果有几个。那不用那么担心一个负面的feedback。