关于OFFER LETTER 上的 START DATE

中年大妈换工作， 刚收到一份  email 来的 OFFER LETTER . 要求我签完后寄回给他们。 问题是信中没有具体提到开始工作的日期，  这是一份WORD Document, 在两个STARTDATE 处他们用highlight 标出了 （见下）。
 
Your employment will commence on START DATE, working in our office located 。。。。
Start Date: Unless otherwise mutually agreed, the start date is START DATE

在面试过程中， 他们只说希望尽快开始， 没提具体日期。 我的问题是： 这个日期他们是否希望我自己填上去？ 还是HR忘记了？有谁遇到过这样的情况？ 我想给现在的公司一周的notice，大家觉得我是否该给HR发个邮件确认下是否他们希望我自己填日期， 然后再和现在的公司提辞职？老公叫我明天就先和公司提辞职， 然后再自己填上日期回复新公司。 第一次换工作， 不想把两边都弄砸了， 想听听大家的意见。 谢谢。