要找律师和公司谈判。

最开始时，“Lay off" 的含义是离开公司不是员工的错儿，而是因为公司没有工作了，等有了机会还会将员工聘回去，后来引申为无过错解聘，所以政府给予失业补助。

你的情况不是lay off，而是discharge，因为当时的理由是 “不能 reach their expectation“，你在 “接受severance 的一页纸上签了字。” 可以理解为接受的公司的决定。

现在你的主要目的是和公司谈判，把 discharge  改成 lay off。在以后任何背景调查时只提供工作时间，工资，职称，离职原因是 lay off。这个谈判你自己恐怕做不来，需要律师帮助。

如果我是你，在勒紧裤腰带还可以过日子的情况下，我不会在失业救济上争执，尽快争取改变离职原因。如果公司不用多掏钱付一部分失业救济，改一下离职原因不是什么大事。离职原因改了，你会很快找到工作，失业救济的那点小钱就没有那么重要了。否则官司拖下去，得不偿失，光律师费就不知要添进多少去。