先不说徐光启的《几何原本》和1847年版的The Elements of Euclid根本没提线上有点,而且徐版明确否定线上有点“两端之间上下更无一点”,退一万步,即便网上的A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.——出自欧几里德,那么这是啥意思?
之前我已解释了:
看,这是一条直线:
我们来把它分成几段:
A—B C—D E—F G—H I—J K—L M—N O—P Q—R
看见没有,原来只有A、B两点,我们每分一次,就出现两个新的“点”,这两个点之间的距离,就是一条独立的直线。一条线可以无限的分下去,那么,一条线上就有无穷多的“点”。记住,虽然点是成为线的必要条件,但绝不是充分条件。无数的”没有部分“的“点”,不可能铺成一条有形的线,否则几何原本就自相矛盾了。只有当线被分割后,“点”才出现。
刚才看到如下对话,又给了我启发。
“铺满就是聚点成线的意思”——really?
“一张烙饼上铺满了芝麻”——锅里铺满芝麻就成了烙饼?不,饼本身才是关键,所以线才是根本呀。
而且,线是可以无限延长的,线一延长,所谓的“点”和“点”之间就有了距离,这个距离就是一条新的直线。不是吗?线在无线延长,单单铺满是远远不够的,要把”点“堆成金字塔还差不多。
所以,铺满完全不是聚点成线的意思。
几何的点无大小无部分,线之不存,点将焉附?几何的点,只有在标明线的两端(起点/终点)或交叉时才有意义。点不能铺成线,线也不能铺成面,这应该是几何的基本常识。