试解

设AB=x, AD=y, 则
  BC^2 = AB^2 + AC^2
       = AB^2 + (AD + DC)^2
       = x^2 + (x+y)^2
       
于是原题转化为条件极值问题:
已知 x^2 + y^2 = 10^2
求  x^2 + (x+y)^2 的最大值

   x^2 + (x+y)^2
 = 2x^2 + 2xy + y^2
 = x^2+y^2 + x^2+2xy
 = 100 + x^2 + 2xy    
 
 设m=(sqrt(5)-1)/2， 则有 m(m+1) = 1
 故 2xy = 2 * sqrt(m(m+1)) * xy
        = 2 * sqrt(m)x * sqrt(m+1)y
        <= mx^2 + （m+1)y^2

因此  100 + x^2 + 2xy
   <= 100 + x^2 + mx^2 + （m+1)y^2
   = 100 + (m+1）（x^2 + y^2)
   = 100 + 100*(m+1)
   = 100 * （m+2)
   
故BC的最大值是
  sqrt(100 * (m+2))
  = 10 * sqrt(m+2)
  = 10 * sqrt((sqrt(5)+3)/2)
  = 5 * sqrt(2*sqrt(5) + 6)

得到的结果比较复杂，不知有没有算错

所有跟帖： 

• 正确！我用三角法得出相同结果，但此题是初中题，应该还有纯几何解法 -万斤油- ♂ (0 bytes) () 12/06/2023 postreply 17:41:29

• 我得的结果是，最大值为10*sqrt(5)。请两位检查。 -wxcfan123- ♂ (551 bytes) () 12/06/2023 postreply 19:27:36

• 可能是这里有误 -kde235- ♂ (195 bytes) () 12/06/2023 postreply 20:53:16

• 谢谢。求极值点的方程确实是 X*sqrt(100-X^2) = 2X^2 - 100。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 12/06/2023 postreply 23:56:46

• 重算了一下。还是不同。请各位有兴趣笨算的网友指正。 -wxcfan123- ♂ (670 bytes) () 12/07/2023 postreply 10:37:34

• 你的公式是正确 -天长地久- ♂ (157 bytes) () 12/07/2023 postreply 13:42:12

• 没错，求导后的方程，若有两边平方运算，有可能产生增根,其实舍去的150+50sqrt(5)才是正解，请看几何解法 -万斤油- ♂ (445 bytes) () 12/07/2023 postreply 16:46:05

• 能不能将几何证明转过来。 -wxcfan123- ♂ (57 bytes) () 12/07/2023 postreply 17:51:56

• X^2=50-10sqrt(5) 代入X*sqrt(100-X^2)=2X^2 - 100后,右边小于0 -万斤油- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:02:25

• 谢谢！ -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:13:26

• 复盘自己的解。还是计算太粗心。求极值点的增根，只要还在定义域内对极大值问题没有本质的影响。 -wxcfan123- ♂ (146 bytes) () 12/07/2023 postreply 19:08:51

• 抖音里的一道题，几何解法只有一张图，解释是我加的，请看： -万斤油- ♂ (345 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:25:41

• 赞, 还是几何解法漂亮! -kde235- ♂ (0 bytes) () 12/07/2023 postreply 18:50:49