信号与编码原理（1）

信号是信息的物理载体。在形式上，有光信号、声信号、电信号；按时间特性区分，有确定信号、随机信号；在处理上，有连续（模拟）信号、离散（数字）信号。连续信号可以通过采样化为离散信号；如果把模拟信号经过抽样、量化、编码后变换成数字信号后再进行传送，那么这种通信方式就是数字通信。离散信号可以通过移相（Phase shift）、样条函数、统计回归等方法化为连续信号。

在物理上，为了表示一个物体的中心位移、形体变化（表面张力）、内能的变化（功率）等信息，我们需要设置多个（至少7个）维度的时刻函数。这就是说，向量、矩阵都不足以描述物体的全部状态，我们需要张量。在每个维度上的时刻函数都是连续的，但是人类的探测只能取得样本的离散信号，需要加以某种连续化的模拟，才能还原信息（生成图像，以便人类理解）。

在单个维度上的时刻函数x(t)，代表某种能量随时刻的周期性波动，可以通过频率、振幅、位相的变化来表示。频率就是单位时间（每秒）内，在一个周期内，完成的全振动的次数；振幅是最大值与最小值的差的一半；位相与能量的时间积分有关。在数学上，为了表示简单，往往设基本脉冲波形同为i(t)，它的持续时间为T；一个信号就可以表示为可数个项 x(n) i(t – nT) (n从负无穷到正无穷)之和。系数列{x（n）} 与振幅成比例；如果x(t)是周期函数，它的周期p必定为T的整数倍，而且x(n)也是周期数列，其周期q是p/T的一个因数。有限数列{x(0), x(1), …, x(q-1)}就代表了此信号，可以称为信号向量或码字。

对于基本脉冲波形，物理上一般用正弦和余弦函数的叠加来表示（Fourier级数）。我们有著名的采样定理：当频率不超过F时，由正、余弦函数叠加所组成的信号（Fourier系数），可以由采样率高于每秒1/F次而唯一确定。正、余弦函数，形成了L2【0，2pi】空间上的一个完备正交系；其取值范围在-1到+1之间，便于积分计算，却不利于采样。在通信上，多用Walsh函数。1923年，美国数学家Joseph L. Walsh构造了一类取值为±1、在空间L【0， 1】上的完备正交系。对于周期为1的函数，都可以展开为Walsh级数。如果把一个函数在单位时间内，在单位区间【0， 1】上的变号次数的一半，叫作Sequence Rate的话，那么，当这个列率不超过R时，由Walsh函数叠加所组成的信号，可以由采样率高于每秒1/R次而唯一确定。

对Walsh函数取样，人们构造了Walsh矩阵：每个位元取值±1、可逆。其构造方法多样而且高效。在Hadamard顺序下，还构造出了正交矩阵；进而推广到高维的Hadamard矩阵。对于高维矩阵，正交性是由异相自相关函数（一种卷积）为零来刻划的。任何具有此性质的高阶张量被称为最佳二进阵列，其相关函数近似于一个脉冲函数。

数字信号编码的目的就是，在数字化表示中，信号集里的每个信号与它自身的时延信号、每两个不同信号及其时延信号就很容易区分开来。区分信号的度量标准就是函数空间L2里由范数导出的距离：这个距离越大，就越容易区分两个信号及其时延。要使两个时刻函数x(t)和y(t)之差的平方的积分变大，它们的乘积的积分的绝对值就要尽可能地小，因为其平方的积分代表能量，其值是固定的。反映到码字{x(n)} 及 {y(n)} 上，就要求和式x(n)x(n + l) 以及 x(n)y(n + l)对所有l的绝对值尽可能小。人们为此设计了各种各样的数列，较为常用的是各类三角函数所得的数列。

相关函数还可以用下标的并元和来定义，即下标的二进制表式中按位模2相加：给定一个长度为2^n的信号序列{x(k): k = 0, 1, …, 2^n – 1}，其并元相关函数定义为，对x(k) x(k  l) 中的k从0到2^n – 1 相加。如果当l 非零时和式总是零，此数列就称为一个并元码。由一个数列生成的并元矩阵，第i行第j列的位元为x(i  j)。由并元码生成的并元距阵可逆，而且逆距阵等于原矩阵的一个常数倍。当各项x(k)取值为±1时，所得到的就是二进制并元码。此时，x(k)可以表示为(-1)^f(x1, x2, …, xn)的形式，x1, x2, …, xn为k的二进制系数，f为某个布尔函数。1976年，Rothaus提出了一类特殊的布尔函数-Bent函数；据此构造出了相关性能良号的离散信号—Bent序列。

为了压缩信息数据，离散的信源函数f(t)在传输之前，还可以预加滤波处理。把f(t)分拆为g(t) + h(t)，g(t)为拟保留信号的时域表示（保留列率），h(t)为拟滤掉信号的时域表示。按照Wiener滤波的数学模型，只要在滤波方阵的主对角线上，把拟保留的列率位置放 “1”；把拟滤掉的列率位置放“0”即可。

信号数字化处理的目的是，通过对信号的分析、修改、合成，以改善传输，存储效率，信号质量等，还便于提取感兴趣的信息。