gr01 季候风 测地线方程是二阶方程，所以积分曲线只在相空间中存在。此时相空间是流形的切丛或余切丛。

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henring 2009-12-8 08:42

关于弯曲时空流形中的类时曲线对应矢量场的完备性问题

一个有质量的粒子，在弯曲时空中的世界线是类时曲线，如若只受引力就是类时测地线。 光滑程度为C^{1} 曲线。
我想知道有什么规律回答了一个实际的粒子在弯曲时空中以自己世界线为积分曲线诱导的矢量场是不是完备的矢量场？ 什么条件下对应什么样的情况？

有这样的内容吗？

轩轩 2009-12-8 09:59

完备的矢量场？

什么意思呀?什么叫完备的???:lol

henring 2009-12-8 10:18

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不好意思，呵呵 我应该补全说明的

流形上矢量场称之为完备，如果它的每条积分曲线的参数取值范围是全体实数， 或者说每个完备的（光滑）矢量场都可以诱导一个单参微分同胚群。

季候风 2009-12-8 13:31

测地线方程是二阶方程，所以积分曲线只在相空间中存在。此时相空间是流形的切丛或余切丛。
此时积分曲线称为 geodesic flow, 对应的向量场是切丛或余切丛上的向量场。

可以参考关于 geodesic flow 的专著。

我觉得这样的积分曲线完备当且仅当测地线可以无限延长，也就是说流形是测地完备的。如果是黎曼流形，这个条件等价于：（1）流形作为距离空间完备（即，柯西列都有极限）；（2）指数映射在整个切空间上有定义。 Lorentz 流形就不知道了，此时流形不构成距离空间，可能有其他的说法

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