phymath01 算符的基本功能是实现粒子状 ... 我们还可以采用其他的粒子运动规律的描述方法，既不用波函数，也不用矢量

量子力学的目标是提供一个描述粒子运动的科学

叶林晖，北京大学电子学系

量子力学的目标是提供一个描述粒子运动的科学。基本任务有两个：一是如何表述粒子的

状态；二是表述粒子状态改变符合什么规律。

经典力学选择粒子的坐标和动量来完全描述该粒子的状态。量子力学当然选择的是波函数。

既然用波函数描述状态，那么状态的改变如何实现？对一个函数你能做什么让它改变呢？

无非就是加减乘除，除此外还有函数才有的微分积分。所以算符的基本功能是实现粒子状

态的改变。只有借助算符我们才可能描述粒子运动的规律。

当然算符这个东西不是必须的。波动力学选择波函数描述状态，波函数的变换就是算符；

矩阵力学选择矢量来描述状态。那么怎样能改变一个矢量？无非是旋转它、伸缩它等等。

也就是说可以用矩阵作用在矢量上来改变矢量、也就是改变粒子的状态。矩阵力学中就把

算符换成一个个矩阵了。

我们还可以采用其他的粒子运动规律的描述方法，既不用波函数，也不用矢量。比方说在

全同粒子这个领域，我们采用所谓“占据数表象”：给定全同粒子体系的单轨道占据数，也

就给定了它的状态。那么怎么改变这个状态？就是变换各单轨道的占据数嘛。改变单轨道

的占据数是通过所谓“升降”算符来实现的。“升降”指的是把某个单轨道的占据数加一或者

减一。那么所有对粒子状态的改变，都可以通过这样的加一、减一、以及它们的种种组合

来实现。这样的一套组合，即占据数表象加升降算符，也可以描述粒子以及它的运动规律。

同时注意虽然我们叫它“升降算符”，这种算符和代数中的函数算符当然不是一回事。

所以说你选择波函数描述状态，就只能选择函数算符来变换状态。总之你总是需要一套态、

和态变换的组合。

至于说经典力学的对应，有点难讲。因为这涉及到如何从给定的“态”中抽出物理量的数值。

经典力学中的物理量是坐标和动量的简单函数。量子力学中的物理量是将“态函数”映射为

一个数。这种映射是借助算符完成的。这是量子力学算符的、除变换态矢量外的另一个功

能吧。

特殊的，hamiltonian 算符在经典力学和量子力学中都担负着显式表达“态”运动的规律的角

色。在经典力学中，坐标和动量的演变规律是用（哈密顿力学中的）哈密顿函数来表征的。

量子力学中，波函数的演变规律也是由哈密顿（不过现在它是个算符了）来表征的。这应

该算是两种力学一个类比吧。

要把握算符的概念，依我看就需要注意到 （1）它们是用来变换态的；和（2）它们被用来

将态函数映射为物理量（当然要得到不同的物理量必须使用不同的映射，所以不同物理量

对应不同算符），这两点就够了吧。将来学得更深，对算符会有进一步理解。