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【搬家】QM粗略讲义<纲，下>（高中，大学文科适用）2009-09-06 21:18最终讲 SEQ的讨论2
首先，向一切少女的典范，神圣的青鸟致以最高的敬意！
通过seq，可以简单得来研究氢原子中的电子，因为氢原子中的电子只有一个。这个电子的运动受到原子中心势场的束缚，简单来讲是库伦力场产生的势。 在中心立场中运动的粒子角动量是守恒的。角动l量守恒，在量子力学中表示为[l,H]=0。[]这个符号称为泊松括号，是在经典力学中引入的，具体用来判断力学量是否为运动积分，和微积分中能否凑微分有关，具体就不深究了。狄拉克把它推广到了量子力学里面，在前讲中，我们知道量子力学中的力学量是用算符表示的，把力学量放到泊松括号中，是判断力学量是否对易。 比如[A^,B^]=A^B^-B^A^ =0,表示A,B是对易的；不等于0就不对易。 对易，就是在前讲中所说的“可交换性”。 注意^是在符号正中央的。算符本身计算是没有意义的，具体计算的时候是要把它们作用在一个函数上来运算。通过[x,px]!=0,我们知道坐标和动量是不对易的。这里还要注意一下，在三维坐标系中，计算的时候发现[y,px]=0。也就是说分量必须相同才具有不对易性，位置坐标y和x上的动量分量是可对易的。 进一步计算发现，【x，px】=ih/(2*pi) 。h/(2*pi)有一个独立的写法，叫h拔，在h上加上一条横线。根据概率论中的知识，分布宽度（物理上叫涨落）ΔA=根号(A平方的平均值-A平均值的平方)。 A,B表示一般的算符，如果它们不对易，[A,B]=iC。然后可以证明，ΔAΔB>=1/2C平均值的模。这样，具体算出ΔxΔp>=h拔/2，这就是不确定关系的一般推导！海森堡一开始用前面讲的波函数的方法定性地得到，后来用算符的方法严格推出了这个关系 。所以，这是一种物质本身具有的关系，和测量无关，所以现在不叫测不准原理。再补充一下，算符的平均值是是Ψ和A^Ψ的内积，也就是点积。涨落对应于数学统计里面的方差。算符的不可交换性，数学上有没有对应呢？海森堡去查了一下大学的数学书，发现矩阵的运算恰好是不可交换的，也就是说算符可以展开成矩阵的形式，于是海森堡利用矩阵建立了量子力学，称为矩阵力学。 狄拉克利用希尔伯特空间里的内积性，自己开发了一套符号，简化了矩阵运算，称为狄拉克符号。这也就是在量子力学专著上老是看到的<Ψ|这种东西，箭头向左，这是左矢量，|Ψ>右矢量，两者相乘<Ψ|Ψ>就是Ψ关于自己的点积，相当于Ψ的模 。现在回到氢原子上，氢原子是球对称的，在求解氢原子电子的seq时为了方便，把坐标建立在球坐标系上，波函数变为关于半径r，水平面的转角和垂直面的转角的函数。Ψ（r，φ，θ）。球坐标中每个点用球半径，水平转角和磕头角来描绘。这样就把波函数分解了。利用数学上现有的某些对称的函数，可以求解波函数。得到波函数与两个值有关：l,m 。和上一讲求解一样，求出E和一个值n有关，n称为主量子数。l,m和角动量有关，l就是角动量量子数，m是磁量子数 m本身和l有关，当l有特定的值时，m可以取l,l-1,l-2,……，-l 。m可取2l+1个值 。一个l对应几个m值，这就叫简并。确定了n后，l可以取0到n个整数值。这也是简并的。 如果学过化学的话，n就相当于第几层“轨道” 。实际上n对应能级，一个n能级里再细分量子数m,l 。l,m,n是用来描述粒子量子状态的数目 。这样，“不连续性”和量子性就很明显了。氢原子中的电子有了能级后，电子一般是从高能级到低能级，因为要保持能量最低，“舒服不如躺着” 要外界给予能量，电子吸收外界能量后，就能从低能级到高能级 。爱因斯坦的光量子实验就是基于此 ，通过微粒吸收能量的测量，发现能量不是连续的 。从高能级向低能级跃迁，会发出光谱。通过测量光谱，得到能量。比如高能级分成几个，那么这些高能级向同一个低能级跃迁的能量是不同的，通过测量，发现这些能量不连续
氢原子的波函数表示成Ψ（r，φ，θ），这是一个关于位置的函数。它的模的平方就是电子出现位置的概率
用计算机可以画出来，当l=0时，就是经常见到的球状的电子云 。一般把l=0写成s,l=1写成p，一直下去的话是d，f，g，h，i 。你在化学周期表上可以看到这些符号 。s电子云是球状的，p是哑铃型的，d是花瓣形状的 。现在找到的元素最多拥有的l好像是到g 。就是最后几个元素 。不严格的，如果说n是电子层的话，s，p，d是电子亚层 。可以用来描写多电子原子中电子的大致分布状态 。氢原子上的那个电子写成1s1 。说明能量n=1,s亚层上有一个电子。1s就是一个“轨道”，元素周期表中就是这么表示电子分布情况的
后来有个实验，叫斯特恩-盖拉赫实验，把一束银原子，（n=1,l=0这个状态）通过非均匀的磁场打靶，发现银原子束分成两束 。具体实验就是在一个区域里放两块不怎么均匀的磁铁，产生不均匀场，然后让银原子束通过 。银原子束里面有很多银原子 ，注意银最外层只有一个电子，是+1价的 ，而且比较稳定，质量比较大，拿来做这个实验。注意l=0,m就只能为0了 。说明还有一个量子态 。当时两个年轻人，乌伦贝克高得斯密斯，受卢瑟福原子行星模型的启发，认为电子还有“自转”，也就是自旋，通过计算，发现只能取1/2和-1/2这两个值 。如果电子还有自转，通过计算，这个自转的速度要超过光速的，所以自旋是一个新的概念，就和物质有惯性一样，是一种微观粒子的內禀性质 。自旋量子数s只能取两个值，说明它也是分立的，是量子化的。正是因为这个原因，上面实验的银原子束才分成了两条 。因为电子自旋状态对原子有影响的，所以会让银原子束分为两束 。泡利引入了自旋算符，自旋矩阵 。然后就全了，用四个量子数来描述电子状态n,l,m,s 。其后，泡利验证了泡利不相容原理，就是四个量子数不能都相同。比如氦原子中有两个电子，它们处在的轨道和氢原子一样的，n=1,l=0,m=0,但它们要满足不相容原理，自旋必须不同。就是氦原子中的两个电子在相同的“电子层”，相同的“亚电子层”中，自旋方向必须相反，一个向上，一个向下 。在狄拉克符号体系里，两个自旋直接写成向上和向下的箭头。
最后要补充几点，密立根油滴实验证明了电荷具有量子性，是基元电荷e的整数倍
还要提一下全同性原理：就是量子力学中，粒子是不可分辨的。在经典力学中，两个粒子的轨道是不重叠的，量子力学中是重叠的。全同性也是量子力学中的 一条重要的公设 。这宣告了微光粒子总是崭新的，不可辨认的，每个电子都是相同的。“电子不会磨损，没有阻尼，没有耗散，没有冷热，是一个全新的世界。“所以我们的世界才是稳定的。电子被实验碰撞了n次，也都是一样的，除非是智子捣乱
最后，如果对量子力学前沿：量子计算感兴趣的话，看http://tieba.baidu.com/f?ct=335675392&tn=baiduPostBrowser&sc=4471772281&z=442366954&pn=0&rn=50&lm=0&word=%C1%F5%B4%C8%D0%C0#4471772281
隐变量问题http://www.oioj.net/blog/user2/15209/archives/2005/89125.shtml
关于量子力学的哲学讨论，推荐科普书大卫-玻姆《整体性与隐缠序》，哲人石丛书
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通过seq，可以简单得来研究氢原子中的电子，因为氢原子中的电子只有一个。这个电子的运动受到原子中心势场的束缚，简单来讲是库伦力场产生的势。 在中心立场中运动的粒子角动量是守恒的。角动l量守恒，在量子力学中表示为[l,H]=0。[]这个符号称为泊松括号，是在经典力学中引入的，具体用来判断力学量是否为运动积分，和微积分中能否凑微分有关，具体就不深究了。狄拉克把它推广到了量子力学里面，在前讲中，我们知道量子力学中的力学量是用算符表示的，把力学量放到泊松括号中，是判断力学量是否对易。 比如[A^,B^]=A^B^-B^A^ =0,表示A,B是对易的；不等于0就不对易。 对易，就是在前讲中所说的“可交换性”。 注意^是在符号正中央的。算符本身计算是没有意义的，具体计算的时候是要把它们作用在一个函数上来运算。通过[x,px]!=0,我们知道坐标和动量是不对易的。这里还要注意一下，在三维坐标系中，计算的时候发现[y,px]=0。也就是说分量必须相同才具有不对易性，位置坐标y和x上的动量分量是可对易的。 进一步计算发现，【x，px】=ih/(2*pi) 。h/(2*pi)有一个独立的写法，叫h拔，在h上加上一条横线。根据概率论中的知识，分布宽度（物理上叫涨落）ΔA=根号(A平方的平均值-A平均值的平方)。 A,B表示一般的算符，如果它们不对易，[A,B]=iC。然后可以证明，ΔAΔB>=1/2C平均值的模。这样，具体算出ΔxΔp>=h拔/2，这就是不确定关系的一般推导！海森堡一开始用前面讲的波函数的方法定性地得到，后来用算符的方法严格推出了这个关系 。所以，这是一种物质本身具有的关系，和测量无关，所以现在不叫测不准原理。再补充一下，算符的平均值是是Ψ和A^Ψ的内积，也就是点积。涨落对应于数学统计里面的方差。算符的不可交换性，数学上有没有对应呢？海森堡去查了一下大学的数学书，发现矩阵的运算恰好是不可交换的，也就是说算符可以展开成矩阵的形式，于是海森堡利用矩阵建立了量子力学，称为矩阵力学。 狄拉克利用希尔伯特空间里的内积性，自己开发了一套符号，简化了矩阵运算，称为狄拉克符号。这也就是在量子力学专著上老是看到的<Ψ|这种东西，箭头向左，这是左矢量，|Ψ>右矢量，两者相乘<Ψ|Ψ>就是Ψ关于自己的点积，相当于Ψ的模 。现在回到氢原子上，氢原子是球对称的，在求解氢原子电子的seq时为了方便，把坐标建立在球坐标系上，波函数变为关于半径r，水平面的转角和垂直面的转角的函数。Ψ（r，φ，θ）。球坐标中每个点用球半径，水平转角和磕头角来描绘。这样就把波函数分解了。利用数学上现有的某些对称的函数，可以求解波函数。得到波函数与两个值有关：l,m 。和上一讲求解一样，求出E和一个值n有关，n称为主量子数。l,m和角动量有关，l就是角动量量子数，m是磁量子数 m本身和l有关，当l有特定的值时，m可以取l,l-1,l-2,……，-l 。m可取2l+1个值 。一个l对应几个m值，这就叫简并。确定了n后，l可以取0到n个整数值。这也是简并的。 如果学过化学的话，n就相当于第几层“轨道” 。实际上n对应能级，一个n能级里再细分量子数m,l 。l,m,n是用来描述粒子量子状态的数目 。这样，“不连续性”和量子性就很明显了。氢原子中的电子有了能级后，电子一般是从高能级到低能级，因为要保持能量最低，“舒服不如躺着” 要外界给予能量，电子吸收外界能量后，就能从低能级到高能级 。爱因斯坦的光量子实验就是基于此 ，通过微粒吸收能量的测量，发现能量不是连续的 。从高能级向低能级跃迁，会发出光谱。通过测量光谱，得到能量。比如高能级分成几个，那么这些高能级向同一个低能级跃迁的能量是不同的，通过测量，发现这些能量不连续
氢原子的波函数表示成Ψ（r，φ，θ），这是一个关于位置的函数。它的模的平方就是电子出现位置的概率
用计算机可以画出来，当l=0时，就是经常见到的球状的电子云 。一般把l=0写成s,l=1写成p，一直下去的话是d，f，g，h，i 。你在化学周期表上可以看到这些符号 。s电子云是球状的，p是哑铃型的，d是花瓣形状的 。现在找到的元素最多拥有的l好像是到g 。就是最后几个元素 。不严格的，如果说n是电子层的话，s，p，d是电子亚层 。可以用来描写多电子原子中电子的大致分布状态 。氢原子上的那个电子写成1s1 。说明能量n=1,s亚层上有一个电子。1s就是一个“轨道”，元素周期表中就是这么表示电子分布情况的
后来有个实验，叫斯特恩-盖拉赫实验，把一束银原子，（n=1,l=0这个状态）通过非均匀的磁场打靶，发现银原子束分成两束 。具体实验就是在一个区域里放两块不怎么均匀的磁铁，产生不均匀场，然后让银原子束通过 。银原子束里面有很多银原子 ，注意银最外层只有一个电子，是+1价的 ，而且比较稳定，质量比较大，拿来做这个实验。注意l=0,m就只能为0了 。说明还有一个量子态 。当时两个年轻人，乌伦贝克高得斯密斯，受卢瑟福原子行星模型的启发，认为电子还有“自转”，也就是自旋，通过计算，发现只能取1/2和-1/2这两个值 。如果电子还有自转，通过计算，这个自转的速度要超过光速的，所以自旋是一个新的概念，就和物质有惯性一样，是一种微观粒子的內禀性质 。自旋量子数s只能取两个值，说明它也是分立的，是量子化的。正是因为这个原因，上面实验的银原子束才分成了两条 。因为电子自旋状态对原子有影响的，所以会让银原子束分为两束 。泡利引入了自旋算符，自旋矩阵 。然后就全了，用四个量子数来描述电子状态n,l,m,s 。其后，泡利验证了泡利不相容原理，就是四个量子数不能都相同。比如氦原子中有两个电子，它们处在的轨道和氢原子一样的，n=1,l=0,m=0,但它们要满足不相容原理，自旋必须不同。就是氦原子中的两个电子在相同的“电子层”，相同的“亚电子层”中，自旋方向必须相反，一个向上，一个向下 。在狄拉克符号体系里，两个自旋直接写成向上和向下的箭头。
最后要补充几点，密立根油滴实验证明了电荷具有量子性，是基元电荷e的整数倍
还要提一下全同性原理：就是量子力学中，粒子是不可分辨的。在经典力学中，两个粒子的轨道是不重叠的，量子力学中是重叠的。全同性也是量子力学中的 一条重要的公设 。这宣告了微光粒子总是崭新的，不可辨认的，每个电子都是相同的。“电子不会磨损，没有阻尼，没有耗散，没有冷热，是一个全新的世界。“所以我们的世界才是稳定的。电子被实验碰撞了n次，也都是一样的，除非是智子捣乱
最后，如果对量子力学前沿：量子计算感兴趣的话，看http://tieba.baidu.com/f?ct=335675392&tn=baiduPostBrowser&sc=4471772281&z=442366954&pn=0&rn=50&lm=0&word=%C1%F5%B4%C8%D0%C0#4471772281
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