! 物理·"# 卷（$%%& 年）" 期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ’(()：**+++, +-./, 01, 12
研究快讯
强相互作用极化费米气体中涡旋束缚态的研究!
胡! 辉3，" ! ! 刘夏姬3，$，" ! ! 李师群$，4
（3! 中国人民大学物理系! 北京! 3%%&#$）
（$! 清华大学物理系! 北京! 3%%%&5）
（"! 量子原子光学中心，昆士兰大学物理系! 布里斯班! 5%#$! 澳大利亚）
摘! 要! ! 涡旋态的研究对理解冷原子体系超流特性有很重要的价值, 文章在简要回顾涡旋态研究历史的基础上，
介绍了文章作者近期在超冷极化费米气体中涡旋态的工作, 通过应用平均场的方法，从理论上研究了强相互作用极
化费米气中单个涡旋态的结构, 发现在涡旋态核中，627899: 束缚态的填充可引起一种量子相变, 这就提供了一种新
颖的探测627899: 束缚态的方法，在冷原子物理中，可通过吸收成像方法来完成, 进一步文章作者对涡旋态的核尺寸
进行了研究，发现涡旋态的核尺寸随着体系极化程度的增加而变大,
关键词! ! 强相互作用极化费米子，涡旋态，平均场方法，627899: 束缚态
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!! 国家自然科学基金（ 批准号：3%R#5%&%）、国家重点基础研究发
展计划（批准号：$%%STUV$35%5）资助项目
$%%# W 3$ W $3 收到
4! 通讯联系人, XK0/.：./E’IY K0/., (E/2L’-0, 97-, 12
3! 引言
冷费米原子气体超流现象的实验观测是近年来
物理学研究历史上的一个里程碑［3］, 超流状态的实
现主要利用了一种叫作Q9E’N01’ 共振的技术, 通过
它，人们可以调节原子间的相互作用，从而得到一个
较高的超流转变温度, 我们知道，微弱吸引的费米子
会形成库珀对，实现U087992 W TGG)98 W B1’8/9HH98
（UTB）超流态, 而当相互吸引增强时，库珀对的尺寸
会愈来愈小, 在极强吸引作用下，小尺寸的库珀对类
似于玻色子，会在低温下实现玻色W 爱因斯坦凝聚
（UXT）, 在实验上，具体地说，可以通过调节磁场强
度使原子间的散射长度从负值变到负无穷大，再跳
·:;:·
!""#：$$%%%& %’()& *+& +,- - - - - - - - - - - - - - - - - - 物理·./ 卷（0112 年）. 期
变到正无穷大，然后逐渐减小到一个小的正值& 这里
正的散射长度意味着两体束缚态的产生& 在整个过
程中，冷原子费米气体的基态会从345 超流态渡越
到364 凝聚态［0，.］& 其中，最让人感兴趣的是散射长
度趋于正负无穷大的幺正极限& 如果我们忽略掉相
互作用力程，那么在幺正极限下，体系只有一个特征
尺度，即原子间的距离& 在这种极限下，体系将展示
出一种普适的热力学行为［.，7，8］&
超流性的一个最明确无误的证据是涡旋态的产
生& 0118 年，麻省理工学院（9:;）的<=""=>(= 小组实
验展示了冷费米子从345 到364 渡越区域的涡旋
态，这给出了在此区域超流性的一个铁证［?］& 我们
知道，涡旋态是凝聚态物理中的一个非常重要的概
念& 特别是涡旋态核中的@,A>==B 束缚态对涡旋态
的结构起到一个关键的作用& 这些束缚态是由核中
序参量消失引起的：这会对准粒子造成一个类似于
深度为!1
（ 即体序参量值），宽度为超流相干长度的
方势阱，从而根据@,A>==B 的机制，会产生一个费米
型准粒子的束缚态& @,A>==B 束缚态的性质研究一
直作为有趣的课题而被广泛讨论& 冷费米原子气体
中涡旋态的观测为这方面研究提供了新的途径&
345 C 364 渡越区域冷费米原子气体的一个特
点是强相互作用特性& 为此，无法应用凝聚态物理中
常用的D),EF’>G C H*,A*’（DH）理论来研究其中的
涡旋态& 3>’’, 和IJG**>A 最早应用3KGK()’FKB C A=
D=,,=L（3AD）理论考虑了冷费米原子气体中涡旋态
的结构［M］，其后陆续有3’(G*+ 和N’［/］，9*+!)A* 和
了涡旋态核中的@,A>==B 束缚态的影响&
冷费米子领域目前理论和实验共同感兴趣的热
点课题是极化冷费米原子体系［?0，?.］& 这里所说的极
化是指在谐振子势阱中的费米子气体在两个自旋能
态上的粒子占据数不相等& 我们知道，标准的345
配对机制需要在同一费米面上有两个自旋相反、动
量相反的费米子来构成库珀对& 极化冷费米子体系
中由于各自旋态上粒子数不相等而造成两个费米
面& 由于费米面的不匹配，极化费米子体系的超流是
不可能用传统的345 理论来理解的& 那么极化费米
子体系的配对机制是什么呢？目前建议的配对机制
有［?7，?8］：5*>O* 态或称为能隙内配对态（ ),"=>)K> G*#
#*)>),G），相分离态，费米面变形后的配对状态和库
珀对带有有限动量的R’(A= C R=>>=(( C H*>S), C
TB+!),,)SKB（RRHT）状态&
在自旋极化系统探讨涡旋态的性质将有助于人
们了解费米子配对的机制［?M］& 其中一个十分自然的
问题是拥有不同粒子数的不同组分将如何影响涡旋
态的结构，特别是涡旋态中的@,A>==B 束缚态是如
何随体系极化率的增加而改变的& 应该提到，这个问
题不但对冷原子物理领域有意义，而且对理解凝聚
态物理和高能物理等领域的相关现象也非常有帮
助&
0- 模型和结果
我们探讨在散射长度趋于无穷大时的幺正极限
下的涡旋态结构& 为此，我们考虑三维柱状谐振子势
阱中单个涡漩态的性质& 具体地说，在径向，我们假
设一个二维谐振子势阱，而在纵向，假定原子局限在
一个均匀的方盒子里，并采用周期性边界条件& 我们
用!"
表示体系自旋向上的粒子数，!#
表示体系自
旋向下的粒子数，那么体系总粒子数为! " !" #
!#& 同时我们定义体系的极化程度为$ "（!" %
!#
）& !& 相应地，我们将有两个化学势，!"
和!#
，或
者我们也可以定义一个总体的化学势! "（ !" #
!#
）& 0 和一个化学势差"! "（ !" % !#
）& 0& 体系自
旋向上和自旋相下的粒子数密度分别表示为’"
和
’#
，粒子数密度的差用( 表示& 由于势阱的存在，这
些密度是随空间变化的&
我们自洽求解平均场的3AD 方程& 假设序参量
有一个柱状对称性，通过数值求解，我们得到在幺正
极限下不同极化率时粒子数密度的分布& 从密度分
布，我们发现一个有趣的现象& 即在体系的极化率大
于某一阈值$+
时或者体系化学势差大于某一阈值
"!+
时，势阱中心的自旋向上和自旋向下粒子数密
度差在低温时将出现一个突然的跳跃，如图? 所示&
这里横轴为极化率或化学势差，’"，;R
表示在幺正极
限下无极化体系密度的峰值，)R
表示无相互作用费
米气的费米能，*R
是费米能对应的费米温度& 如在
图? 中，我们共考虑了两个不同的温度& 跳跃有一定
的宽度，对化学势差而言，大约为+3* & 所以，在绝对
零温下，我们可以将此跳跃理解为一个量子相变&
为了理解这一密度差值突然跃变的现象，我们
也计算了体系的局域态密度& 通过分析，我们发现图
? 中的化学势差阈值"!+
正好对应着涡旋态核中心
束缚态的束缚能& 我们知道，在一般情况下，束缚态
·#"!·
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图3! 势阱中心不同组分的局域密度差随极化强度（ 主图）或化
学势差（插图）的变化
的能级在费米面上［3%，33］，从而是不被填充的, 我们
的计算表明，当体系极化率增加到一定的值!1
时，
核中心4256778 束缚态的能量会逐渐减小到自旋向
上的费米面之下，从而造成涡旋态核中有自旋向上
粒子的迅速填充，因此，核中心自旋向上和自旋向下
的粒子局域密度差便突然出现,
实验上我们可以通过吸收成像的方式探知体系
局域密度，从而探测这一局域密度差的变化, 我们已
经知道，这一密度差发生跃变的点正好对应着429
56778 束缚态被占据，所以我们可以通过这一新颖的
方式来直接研究涡旋束缚态的特性！而凝聚态物理
的涡旋态束缚态能量近乎为零，人们无法通过一些
有效的手段来从实验上表征它们,
进一步我们也研究了涡旋态的核尺寸大小随极
化强度的变化情况, 研究发现，涡旋态核尺寸的大小
随极化率的增加而增大，如图$ 中的圆圈所示, 图$
中!:%
是指从涡旋态核中心到超流密度最大值的
:%;处的距离，图中实线是根据定性解析表达式给
出的结果，和数值计算定性吻合, 插图展示了体系在
涡旋态核中心处的超流密度分布,
"! 结论
综上所述，我们系统地研究了三维极化冷费米
原子气体中的单个涡旋态性质［3<］，发现在涡旋态核
中，4256778 束缚态的填充可引起一种量子相变, 从
而导致了我们提出的一种新颖的探测4256778 束缚
态方法，即通过吸收成像方法探知体系不同组分局
域密度差，来求得4256778 束缚态被占据的临界点,
图$! 涡旋态的核尺寸随极化率的变化，这里尺寸的标度是以极
化率为零处核的尺寸为单位的, 插图是不同极化率下超流密度
分布
涡旋态核尺寸随极化率增加而变大, 我们知道，目前
麻省理工学院（=>?）的@7((76.7 小组的实验已成功
地展示了极化费米子在幺正极限下具有很多个涡旋
态的点阵结构, 我们期待不久的将来他们能用实验
刻划单个涡漩态的特性，从而验证我们这里给出的
理论预言,
参考文献
［ 3 ］ A+/76.7/2 = B "# $%, C0(-67，$%%D，E"D ：3%E#
［ $ ］ CFG/H67I J，K1’L/((9M/2N K, O, PF+ ?7L), J’QI, ，3:&D，D:：
3:D
［ " ］ R- R，S6-LLF25 J S，P/- T O, C0(, J’QI, ，$%%#，"：E<:
［ E ］ RF ? P, J’QI, M78, P7((, ，$%%E，:$：%:%E%$
［ D ］ ?’FL0I O U "# $%, J’QI, M78, P7((, ，$%%D，:D：3$%E%$
［ < ］ CQVV065 C "# $%, J’QI, M78, P7((, ，$%%"，:%：$3%E%$
［ # ］ W-.V01 4，X- X, J’QI, M78, P7((, ，$%%"，:3：3:%E%E
［ & ］ =01’/50 =，@FQ0L0 ?, J’QI, M78, P7((, ，$%%D，:E：3E%E%3
［ : ］ =/G-I’/L0 ?，=01’/50 @，>1’/FN0 =, J’QI, M78, P7((, ，
$%%D，:D，33#%%"
［3%］ Y’/72 Y Y "# $%, J’QI, M78, 4，$%%<，#"：%E3<%"（M）
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:< ：%:%E%"
［3$］ A+/76.7/2 = B "# $%, K1/7217，$%%<，"33 ：E:$
［3"］ J06(6/5V7 Z W "# $%, K1/7217，$%%<，"33 ：D%"
［3E］ R- R ，P/- T O, J’QI, M78, 4 ，$%%<，#"：%D3<%"（M）
［3D］ P/- T O，R- R, U-6F)’QI, P7((, ，$%%<，#D："
:&：%<%E%<
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强相互作用极化费米气体中涡旋束缚态的研究!
胡! 辉3，" ! ! 刘夏姬3，$，" ! ! 李师群$，4
（3! 中国人民大学物理系! 北京! 3%%&#$）
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（"! 量子原子光学中心，昆士兰大学物理系! 布里斯班! 5%#$! 澳大利亚）
摘! 要! ! 涡旋态的研究对理解冷原子体系超流特性有很重要的价值, 文章在简要回顾涡旋态研究历史的基础上，
介绍了文章作者近期在超冷极化费米气体中涡旋态的工作, 通过应用平均场的方法，从理论上研究了强相互作用极
化费米气中单个涡旋态的结构, 发现在涡旋态核中，627899: 束缚态的填充可引起一种量子相变, 这就提供了一种新
颖的探测627899: 束缚态的方法，在冷原子物理中，可通过吸收成像方法来完成, 进一步文章作者对涡旋态的核尺寸
进行了研究，发现涡旋态的核尺寸随着体系极化程度的增加而变大,
关键词! ! 强相互作用极化费米子，涡旋态，平均场方法，627899: 束缚态
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1G.7 0(GKE, M9 N8/9H.F 89:/9+ 1-8892( )8GL89EE /2 (’/E H/9.7，027 (’92 79E18/N9 G-8 89192( +G8O G2 (’9 :G8(9P E(8-1@
(-89 GH 0 E(8G2L.F /2(9801(/2L E)/2@)G.08/J97 Q98K/ L0E, M9 020.FJ9 0 E/2L.F@I-02(/J97 :G8(9P /2 0 E)/2@)G.08/J97
Q98K/ L0E 0( -2/(08/(F，N0E97 G2 0 K902@H/9.7 0))8G01’, M9 H/27 (’0( 0 I-02(-K )’0E9 (802E/(/G2 G11-8E 7-9 (G (’9
G11-)0(/G2 GH (’9 627899:@./O9 NG-27 E(0(9E 0( (’9 :G8(9P 1G89, D’/E K0F )8G:/79 -E +/(’ 0 29+ +0F (G :/E-0./J9 (’9
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冷费米原子气体超流现象的实验观测是近年来
物理学研究历史上的一个里程碑［3］, 超流状态的实
现主要利用了一种叫作Q9E’N01’ 共振的技术, 通过
它，人们可以调节原子间的相互作用，从而得到一个
较高的超流转变温度, 我们知道，微弱吸引的费米子
会形成库珀对，实现U087992 W TGG)98 W B1’8/9HH98
（UTB）超流态, 而当相互吸引增强时，库珀对的尺寸
会愈来愈小, 在极强吸引作用下，小尺寸的库珀对类
似于玻色子，会在低温下实现玻色W 爱因斯坦凝聚
（UXT）, 在实验上，具体地说，可以通过调节磁场强
度使原子间的散射长度从负值变到负无穷大，再跳
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变到正无穷大，然后逐渐减小到一个小的正值& 这里
正的散射长度意味着两体束缚态的产生& 在整个过
程中，冷原子费米气体的基态会从345 超流态渡越
到364 凝聚态［0，.］& 其中，最让人感兴趣的是散射长
度趋于正负无穷大的幺正极限& 如果我们忽略掉相
互作用力程，那么在幺正极限下，体系只有一个特征
尺度，即原子间的距离& 在这种极限下，体系将展示
出一种普适的热力学行为［.，7，8］&
超流性的一个最明确无误的证据是涡旋态的产
生& 0118 年，麻省理工学院（9:;）的<=""=>(= 小组实
验展示了冷费米子从345 到364 渡越区域的涡旋
态，这给出了在此区域超流性的一个铁证［?］& 我们
知道，涡旋态是凝聚态物理中的一个非常重要的概
念& 特别是涡旋态核中的@,A>==B 束缚态对涡旋态
的结构起到一个关键的作用& 这些束缚态是由核中
序参量消失引起的：这会对准粒子造成一个类似于
深度为!1
（ 即体序参量值），宽度为超流相干长度的
方势阱，从而根据@,A>==B 的机制，会产生一个费米
型准粒子的束缚态& @,A>==B 束缚态的性质研究一
直作为有趣的课题而被广泛讨论& 冷费米原子气体
中涡旋态的观测为这方面研究提供了新的途径&
345 C 364 渡越区域冷费米原子气体的一个特
点是强相互作用特性& 为此，无法应用凝聚态物理中
常用的D),EF’>G C H*,A*’（DH）理论来研究其中的
涡旋态& 3>’’, 和IJG**>A 最早应用3KGK()’FKB C A=
D=,,=L（3AD）理论考虑了冷费米原子气体中涡旋态
的结构［M］，其后陆续有3’(G*+ 和N’［/］，9*+!)A* 和
了涡旋态核中的@,A>==B 束缚态的影响&
冷费米子领域目前理论和实验共同感兴趣的热
点课题是极化冷费米原子体系［?0，?.］& 这里所说的极
化是指在谐振子势阱中的费米子气体在两个自旋能
态上的粒子占据数不相等& 我们知道，标准的345
配对机制需要在同一费米面上有两个自旋相反、动
量相反的费米子来构成库珀对& 极化冷费米子体系
中由于各自旋态上粒子数不相等而造成两个费米
面& 由于费米面的不匹配，极化费米子体系的超流是
不可能用传统的345 理论来理解的& 那么极化费米
子体系的配对机制是什么呢？目前建议的配对机制
有［?7，?8］：5*>O* 态或称为能隙内配对态（ ),"=>)K> G*#
#*)>),G），相分离态，费米面变形后的配对状态和库
珀对带有有限动量的R’(A= C R=>>=(( C H*>S), C
TB+!),,)SKB（RRHT）状态&
在自旋极化系统探讨涡旋态的性质将有助于人
们了解费米子配对的机制［?M］& 其中一个十分自然的
问题是拥有不同粒子数的不同组分将如何影响涡旋
态的结构，特别是涡旋态中的@,A>==B 束缚态是如
何随体系极化率的增加而改变的& 应该提到，这个问
题不但对冷原子物理领域有意义，而且对理解凝聚
态物理和高能物理等领域的相关现象也非常有帮
助&
0- 模型和结果
我们探讨在散射长度趋于无穷大时的幺正极限
下的涡旋态结构& 为此，我们考虑三维柱状谐振子势
阱中单个涡漩态的性质& 具体地说，在径向，我们假
设一个二维谐振子势阱，而在纵向，假定原子局限在
一个均匀的方盒子里，并采用周期性边界条件& 我们
用!"
表示体系自旋向上的粒子数，!#
表示体系自
旋向下的粒子数，那么体系总粒子数为! " !" #
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旋向上和自旋相下的粒子数密度分别表示为’"
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些密度是随空间变化的&
我们自洽求解平均场的3AD 方程& 假设序参量
有一个柱状对称性，通过数值求解，我们得到在幺正
极限下不同极化率时粒子数密度的分布& 从密度分
布，我们发现一个有趣的现象& 即在体系的极化率大
于某一阈值$+
时或者体系化学势差大于某一阈值
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时，势阱中心的自旋向上和自旋向下粒子数密
度差在低温时将出现一个突然的跳跃，如图? 所示&
这里横轴为极化率或化学势差，’"，;R
表示在幺正极
限下无极化体系密度的峰值，)R
表示无相互作用费
米气的费米能，*R
是费米能对应的费米温度& 如在
图? 中，我们共考虑了两个不同的温度& 跳跃有一定
的宽度，对化学势差而言，大约为+3* & 所以，在绝对
零温下，我们可以将此跳跃理解为一个量子相变&
为了理解这一密度差值突然跃变的现象，我们
也计算了体系的局域态密度& 通过分析，我们发现图
? 中的化学势差阈值"!+
正好对应着涡旋态核中心
束缚态的束缚能& 我们知道，在一般情况下，束缚态
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研究快讯
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图3! 势阱中心不同组分的局域密度差随极化强度（ 主图）或化
学势差（插图）的变化
的能级在费米面上［3%，33］，从而是不被填充的, 我们
的计算表明，当体系极化率增加到一定的值!1
时，
核中心4256778 束缚态的能量会逐渐减小到自旋向
上的费米面之下，从而造成涡旋态核中有自旋向上
粒子的迅速填充，因此，核中心自旋向上和自旋向下
的粒子局域密度差便突然出现,
实验上我们可以通过吸收成像的方式探知体系
局域密度，从而探测这一局域密度差的变化, 我们已
经知道，这一密度差发生跃变的点正好对应着429
56778 束缚态被占据，所以我们可以通过这一新颖的
方式来直接研究涡旋束缚态的特性！而凝聚态物理
的涡旋态束缚态能量近乎为零，人们无法通过一些
有效的手段来从实验上表征它们,
进一步我们也研究了涡旋态的核尺寸大小随极
化强度的变化情况, 研究发现，涡旋态核尺寸的大小
随极化率的增加而增大，如图$ 中的圆圈所示, 图$
中!:%
是指从涡旋态核中心到超流密度最大值的
:%;处的距离，图中实线是根据定性解析表达式给
出的结果，和数值计算定性吻合, 插图展示了体系在
涡旋态核中心处的超流密度分布,
"! 结论
综上所述，我们系统地研究了三维极化冷费米
原子气体中的单个涡旋态性质［3<］，发现在涡旋态核
中，4256778 束缚态的填充可引起一种量子相变, 从
而导致了我们提出的一种新颖的探测4256778 束缚
态方法，即通过吸收成像方法探知体系不同组分局
域密度差，来求得4256778 束缚态被占据的临界点,
图$! 涡旋态的核尺寸随极化率的变化，这里尺寸的标度是以极
化率为零处核的尺寸为单位的, 插图是不同极化率下超流密度
分布
涡旋态核尺寸随极化率增加而变大, 我们知道，目前
麻省理工学院（=>?）的@7((76.7 小组的实验已成功
地展示了极化费米子在幺正极限下具有很多个涡旋
态的点阵结构, 我们期待不久的将来他们能用实验
刻划单个涡漩态的特性，从而验证我们这里给出的
理论预言,
参考文献
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