代换后的函数ψ在整个坐标空间对于所说的二次形式的积分是稳态的，即ψ是由处处实在的、单值的、有限的、二阶连续可导的这边界条件所实现

六、薛定谔的波函数

在海森堡等人创建矩阵力学的同时，薛定谔正沿着另一条途径为创立波动力学而孤军奋斗。奥地利理论物理学家薛定谔1887年8月12日出生于维也纳，其父是一油布工厂主，生意相当不错。但他更加爱好自然科学，发表过一系列植物学论文，是薛定谔童年时的"朋友、老师以及不倦的谈话伴侣"。薛定谔11岁时入大学预科学习，他兴趣广泛，喜欢数学和物理，也欣赏逻辑严谨的古代语言和优美的德国诗歌，但不太喜欢作为当时主课的拉丁语和希腊语，讨厌死记那些历史史实和年代。1906-1910年他在维也纳大学物理系学习，在此期间曾深入研究过连续介质物理学中的本征值问题，这对他以后创立波动力学有重大影响。他于1901年获博士学位，次年在该大学第二物理研究所工作。第一次世界大战期间，他服役于一个炮兵要塞，经常抽时间研究理论物理学。1920年他移居耶拿，担任维恩实验室的助手。1921年他受聘为苏黎世大学的数学物理学教授，这是爱因斯坦和冯劳厄曾经担任过的职务，波动力学就是在这一期间创建的。1927年他接替普朗克，任柏林大学理论物理学教授，与普朗克建立了深厚的友谊。
1933年11月薛定谔出于对纳粹政权迫害杰出科学家的倒行逆施的愤慨，移居英国牛津，同年与狄拉克分享了诺贝尔物理学奖。

1936年思乡之情使他回到奥地利的格拉茨，不到两年，奥地利被德国吞并，他又陷入困境。1939年他流亡到爱尔兰，在都柏林高级研究院从事理论物理学研究，在此期间他还进行了科学哲学和生物物理学的研究，发表了《生命是什么》一书，试图用量子力学等来解释生命的本性，引进了遗传密码等概念，成为生物物理学的先驱。1956年他回到奥地利，被聘为维也纳大学的理论物理学教授，奥地利政府给了他以极大的荣誉，设立了以他的名字命名的国家奖金，并把第一次奖金授予他本人。1961年1月4日他在阿尔卑巴赫山村病逝。

薛定谔学术成就中的代表作，主要是波动力学论文集。此外还有量子力学的物理解释、广义相对论、时空结构、统计热力学、几率理论、统一场沦、介子场和非线性电动力学等150多篇论文。

薛定谔的波动力学是在德布罗意理论的基础上建立起来的，他过去一直致力于统计力学方面的研究，他注意到了爱因斯坦1925年2月发表的《单原子理想气体的量子理论（二）》，爱因斯坦在文中以称赞的口吻提到了德布罗意的工作，这使薛定谔受到很大影响，他在1926年4月23日致爱因斯坦的信中写道："假如不是因为你的气体简并论文的第二篇文章把德布罗意思想置于我的面前，如果单靠我个人，很难想象波动力学会建立起来，甚至有可能永远出不来。"1925年"怀着极大的兴趣拜读了德布罗意的独创性论文，并且终于掌握了它"。当时德拜主持了一个由苏黎世大学和苏黎世理工学院人员参加的定期学术讨论会，薛定谔被指定报告德布罗意的工作，他作了清晰又漂亮的说明。在他报告之后，德拜评论道：讨论波动而没有一个波动方程，太幼稚了。薛定谔受到触动，下定决心要找到它。

薛定谔尝试把德布罗意关于自由粒子的波推广到束缚粒子的情况，导出了一个满足相对论要求的波动方程，他把它应用到氢原子中的电子上，发现与实验结果不吻合，这使他极为失望地放弃了它。现在知道这个方程基本上是正确的，只是没有考虑电子的自旋，而电子自旋的概念当时才刚刚提出，薛定谔还不知晓。经过短暂的中断，他重新回到这个问题的研究上，略去了相对论效应，终于得出正确的结果。

1926年薛定谔连续发表了总题为《量子化是本征值问题》的4篇论文。其第一篇，旨在以一种自然的方式建立起处理原子物理现象的基本方程--薛定谔波动方程，并求解氢原子的相应方程，从而得出分立的玻尔能级。也就是说，这种"自然的方式"有着双重的任务，即以易于为物理学家们所接受的形式建立起量子力学中的基本方程和无须像玻尔量子论中那样，把量子化条件或"整数"概念作为特设性假设专门引入，而是由方程边界条件的限定，从方程的求解中自然得出。对于其中的第一项，薛定谔是从经典力学中最基本的哈密顿一雅可比原理出发，通过函数代换并运用变分原理而得出的；而第二项任务则由代换后的函数ψ在整个坐标空间对于所说的二次形式的积分是稳态的，即ψ是由处处实在的、单值的、有限的、二阶连续可导的这边界条件所实现。在极坐标中运用分离变数法求解氢原子的薛定谔方程并代入边界条件，可以得出：当E>O时，方程处处有单值有限的连续解，即能量有连续谱；当E
尽管在这篇论文中采用的物理学家们所熟悉的数学形式在求解氢原子能级时也获得了成功，但沿用哈密顿一雅可比原理只是一种中性的形式，不足以说明为什么要建立波动方程，其物理意义也不清楚。因此，第二篇论文中，薛定谔采用哈密顿光学-力学相似来推导其波动方程，以更符合物理学家的直觉并突出这种波动方式的物理意义。正如薛定谔在本书卷首的"摘要"中开宗明义地说，"哈密顿力学与光学的相似是对于几何光学的相似，因为对应于位形空间中的表征点的路径的光线，只有在几何光学中才有严格的定义。一旦路径的尺度比之于波长并不很大时，光学图像的波动修正就导致了对系统路径概念的放弃。路径概念仅当它比之于波长很大时才得以保留，此时的经典力学是作为一种近似；而对‘微观力学'运动而言，力学基本方程的无用就如同几何光学用于处理衍射问题时一样。类似于后一种情形，一个位形空间的波动方程必须取代力学基本方程。首先，这一方程表述为关于时间的纯正弦周期振动，它也可以由‘哈密顿变分原理'推导得出。它包含一个对应于宏观力学中能量的‘本征值参量'E，对单个时间正弦振动而言，它等于频率乘以普朗克作用量子h。一般而言，波动或振动方程辅之以它们的一阶导数在整个位形空间是单值、有限和连续的条件是无解的，除了某些特定的E值之外，这些值即‘本征值'。这些值构成了‘本征值谱'，经常既包括连续部分，也包括分立部分。它们或者等同于已为量子理论所说明的‘能级'，或者以一种为实验证实的方式不同于已有的量子理论。"正是在这种理论背景下，薛定谔用处理空间中的波动系统的方法应对微观力学系统，求出其波速并代人一般的波动方程同样得出了薛定谔方程，并进而代人不同的能量形式求解出线性谐振子、定轴和自由转动、双原子分子等特例的波动方程。

第三篇论文，薛定谔把他的新理论推广到"直接可解"问题之外的适用性和对相近条件可获得的近似解，讨论的是一类计算更为复杂但在原子物理学中相当普遍的现象，即求解定态微扰情形中波动方程的解及其本征值。在本篇论文中，他借助立足于本征值和本征函数所拥有的连续性性质的微扰方法，详细说明了与时

间无关的微扰理论，尤其是对在简并情况中微扰使能级分裂、简并部分并消除的斯塔克效应的说明，其计算方法与现念量子力学教科书已几乎一致。许多年以后，薛定谔称斯塔效应的计算为"波动力学最早的定量成就"。

第四篇论文，薛定谔首先把前面讨论的方程从保守系推广到非保守系，导出了他所谓的"真正的波动方程"，即与时间有关的薛定谔方程。它描写的是在包含了时间的势场V中，粒子状态随时间的变化。然后，他把微扰理论推广到明显含时的微扰以说明色散现象。在本篇的最后，薛定谔致力于波函数的物理解释。他把波函数理解为描述了实在的物理过程即其电动力学解释，得出电流密度J的公式。并得到熟悉的连续方程。

在这四篇系列论文中，薛定谔还发表了两篇有关波动力学的文章，即《从微观物理学到宏观物理学的连续转换》，尝试用一群本征振动代表一个粒子作为其波动力学的物理图像。而在《论海森伯、玻恩和约当的量子力学与薛定谔的量子力学之间的关系》中，他通过算符表示法和用本征函数构造矩阵元的办法，从数学上证明了波动力学与矩阵力学的形式等价，海森堡的矩阵可以由薛定谔本征函数构成，反之亦然。另外，还讨论了康普顿效应、能量一动量定理和能量转换等问题。

1933年，诺贝尔奖委员会在将物理学家奖颁给薛定谔时的理由是"由于新型原子理论的发现和应用"，而这个新型理论指的正是他的波动力学。在波动力学问世以前，关于原子力学的研究正处于一个困难的时期。1913年，玻尔提出的原子结构理论借助于量子化轨道和稳态假设解释了部分观察现象，但缺乏概念自治，因而它仅适用于氢原子能级等少数实验现象。1925年，海森伯、玻恩和约丹等人从原则上可观测量出发，为寻求其之间关系的一般表式而提出的矩阵力学在求解非谐振子情形中得出了正确的频率和转换几率，但也面临着缺乏明确的物理图像、数学计算复杂、适用情形有限等困难。正是在此时，薛定谔在德布罗意的物质波概念的启发下，借助于光学-力学相似，把经典力学处理原子现象时遇到的困难理解为对几何光学面对波动现象时的类似，进而建立起波动方程，把核外轨道电子或分立的能级解为波动方程的本征值，由此求解了多种原子物理学现象。波动力学方法由于物理图像清晰，所用数学形式为人们所熟悉，推导自然并能普遍说明多种现象而受到了广泛的好评和观迎。普朗克称自己以"充满兴趣和振奋的心情沉浸在对这篇具有划时代意义著作的研究中"，"为展现在面前的美而高兴"，认为"薛定谔方程奠定了近代量子力学的基础，就像牛顿、拉格斯朗日和哈密顿创立的方程在经典力学中所起的作用一样"。爱因斯坦说："我相信您关于量子条件的公式取得了决定性的进展"。而作为薛定谔的老朋友，同样是诺贝尔物理学奖获得者的玻恩在悼念薛定谔时说："由于量子世界中大量物理问题都要用到量子力学基本方程和波函数描述，他的名字是物理学出版物中出现得最多的。我们中谁没有把薛定谔方程或薛定谔函数写过无数次呢？大概以后几代人也将这么做，并清晰地记住他的名字。"的确，时至今日，我们的量子力学教材中对于一些量子力学问题的解决方案，与薛定谔在这几篇论文中所用方法仍然是大同小异。由此，量子力学史家和量子力学哲学家雅默评论说："薛定谔的光辉论文无疑是科学史上最有影响的贡献之一。它深化了我们对原子物理现象的理解，成为用数学求解原子物理、固体物理及某种程度上核物理问题的便利基础，最终打开了新的思路。事实上，非相对论性量子力学以后的发展在很大程度上仅仅是薛定谔工作上的加工和运用。"

不言而喻，波动力学中的波函数是采用哈密顿光学-力学相似性而推导出来波动方程。它在数学上是德布罗意波的补充。这个波函数的的确确是波动的和连续的，它既有数学上的简单，又有物理图象的明确。所以它是有利于波动说而不利于粒子说的。