算符 (物理学)
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物理算符
位置算符
动量算符
角动量算符
哈密顿算符
时间演化算符
阶梯算符
创生及湮灭算符
自旋算符
[编辑]
在物理学里，算符，又称算子，作用于物理系统的物理态 (physical state)，使得物理系统从一个物理态变换为另外一个物理态。通过这变换，我们时常会得到一些关于这两个物理态的资料。
目录 [隐藏]
1 在经典力学里的算符
1.1 生成子概念
1.2 指数映射
2 在量子力学里的角色
2.1 量子算符
2.2 期望值
2.2.1 位置的期望值
2.2.2 动量的期望值
3 参考文献
[编辑] 在经典力学里的算符
思考一个经典力学系统，哈密顿量 是参数为广义坐标 与其共轭动量 的函数。假设在某种群 的变换运算下，哈密顿量是个不变量；也就是说，假设 ，则 。所有 的元素都是物理算符，将物理态映射至另外一个物理态，同时保持哈密顿量恒定。
再举一个关于平移于空间的简单例子。设定 为一个平移算符(translation operator)，一个对于平移保持不变的物理系统，在 变换下，其哈密顿量保持不变。
假设物理系统可以由一个函数 描述，像在经典场理论里，则平移算符一般表达为
。
请注意，在括号内的变换是坐标的变换的逆反。
[编辑] 生成子概念
思考一个无穷小的变换，其算符的形式为
；
其中， 是单位算符，算符的群的单位元， 是无穷小值参数， 称为群的生成元，专门用来设定这变换。
让我们导引出一维平移于空间的生成元。将平移算符 作用于函数 ：
。
假设 为无穷小值，则
。
这方程可以重写为
；
其中， 是平移群的生成元，正好也是导数算符。所以，平移群的生成元是导数算符。
[编辑] 指数映射
在正常情况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做 次无穷小平移变换 ，来代替一个有限值为 的平移变换 ：
；
现在，让 变的无穷大，则每一个因子可以被认为无穷小的：
。
这极限可以重写为一个指数函数：
。
为了要进一步信服这表达式的正确性，将指数展开为一个幂级数：
。
右手边可以重写为
。
这正是 的泰勒级数，也是原本表达式 的值。
[编辑] 在量子力学里的角色
在量子力学里，算符充分地发挥了它奇妙的功能。量子力学的数学描述建立于算符的概念。
在量子力学里，一个量子系统的量子态可以用态矢量来抽象地表达；而这态矢量是某种矢量空间（一个希尔伯特空间）的单位范数矢量。在这矢量空间内，时间演化算符促使了量子态随着时间的演化。因为物体的量子态的范数应该保持不变，时间演化算符必须是么正算符。任何其他的对称性运算，从一个物理态映射至另外一个物理态，应该遵守此限制。
物理实验中可以观测到的物理量称为可观测量。对应于每一个可观测量，都有一个厄米算符。实验观测到的数值是这算符的本征值。每个本征值的几率，跟量子态在那本征值子空间的投影有关。
[编辑] 量子算符
一个量子系统的量子态，受到量子算符 的作用，会变换为另外一个量子态，以方程表达，
；
其中， 是代表原本量子态的态矢量，而 则是代表新量子态的态矢量。
量子算符的概念比较抽象。它能够更加简易的描述量子系统。每一个量子算符，在位置空间，有一个对应的代数算符[1]，标记为 。代数算符的作用对象是波函数。代数算符是对于波函数的一些运算指示，以方程表达，
；
其中， 是原本态矢量的波函数，而 则是新的波函数。
例如，在位置空间里，计算位置的位置算符 ，其对应的代数算符 的形式就是乘以 ：
。
计算动量的动量算符 ，其对应的代数算符 的形式就是取对于 的偏微分，然后再乘以 ：
。
计算能量的哈密顿算符 ，其对应的代数算符 的形式就是
。
一般而言，量子算符与代数算符都会用在量子力学里。当我们将算符的这两种概念融会贯通后，两者的区分并不是那么的重要。
[编辑] 期望值
主条目：期望值
[编辑] 位置的期望值
思考位置的|期望值，
。
对于任意波函数 ，这方程都成立。所以，位置算符 所对应的代数算符 的确可以用来计算位置的期望值。
[编辑] 动量的期望值
思考位置的期望值随时间的导数， 用积分方程来表达，
。
取微分于积分号下，
。
由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间，
。(1)含时薛定谔方程为
；
其中， 是位势。
其共轭复数为
。
代入方程 (1)：
。
使用分部积分法，
，(2) 。(3)方程 (2) 与 (3) 的减差是
。
所以，
。
在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数：
。
在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话是以期望值的方式来实现[2]：
。
所以，
。
对于任意波函数 ，这方程都成立。所以，动量算符 ，所对应的代数算符 ，的确可以用来计算动量的期望值。
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物理算符
位置算符
动量算符
角动量算符
哈密顿算符
时间演化算符
阶梯算符
创生及湮灭算符
自旋算符
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在物理学里，算符，又称算子，作用于物理系统的物理态 (physical state)，使得物理系统从一个物理态变换为另外一个物理态。通过这变换，我们时常会得到一些关于这两个物理态的资料。
目录 [隐藏]
1 在经典力学里的算符
1.1 生成子概念
1.2 指数映射
2 在量子力学里的角色
2.1 量子算符
2.2 期望值
2.2.1 位置的期望值
2.2.2 动量的期望值
3 参考文献
[编辑] 在经典力学里的算符
思考一个经典力学系统，哈密顿量 是参数为广义坐标 与其共轭动量 的函数。假设在某种群 的变换运算下，哈密顿量是个不变量；也就是说，假设 ，则 。所有 的元素都是物理算符，将物理态映射至另外一个物理态，同时保持哈密顿量恒定。
再举一个关于平移于空间的简单例子。设定 为一个平移算符(translation operator)，一个对于平移保持不变的物理系统，在 变换下，其哈密顿量保持不变。
假设物理系统可以由一个函数 描述，像在经典场理论里，则平移算符一般表达为
。
请注意，在括号内的变换是坐标的变换的逆反。
[编辑] 生成子概念
思考一个无穷小的变换，其算符的形式为
；
其中， 是单位算符，算符的群的单位元， 是无穷小值参数， 称为群的生成元，专门用来设定这变换。
让我们导引出一维平移于空间的生成元。将平移算符 作用于函数 ：
。
假设 为无穷小值，则
。
这方程可以重写为
；
其中， 是平移群的生成元，正好也是导数算符。所以，平移群的生成元是导数算符。
[编辑] 指数映射
在正常情况下，通过指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例，重复地做 次无穷小平移变换 ，来代替一个有限值为 的平移变换 ：
；
现在，让 变的无穷大，则每一个因子可以被认为无穷小的：
。
这极限可以重写为一个指数函数：
。
为了要进一步信服这表达式的正确性，将指数展开为一个幂级数：
。
右手边可以重写为
。
这正是 的泰勒级数，也是原本表达式 的值。
[编辑] 在量子力学里的角色
在量子力学里，算符充分地发挥了它奇妙的功能。量子力学的数学描述建立于算符的概念。
在量子力学里，一个量子系统的量子态可以用态矢量来抽象地表达；而这态矢量是某种矢量空间（一个希尔伯特空间）的单位范数矢量。在这矢量空间内，时间演化算符促使了量子态随着时间的演化。因为物体的量子态的范数应该保持不变，时间演化算符必须是么正算符。任何其他的对称性运算，从一个物理态映射至另外一个物理态，应该遵守此限制。
物理实验中可以观测到的物理量称为可观测量。对应于每一个可观测量，都有一个厄米算符。实验观测到的数值是这算符的本征值。每个本征值的几率，跟量子态在那本征值子空间的投影有关。
[编辑] 量子算符
一个量子系统的量子态，受到量子算符 的作用，会变换为另外一个量子态，以方程表达，
；
其中， 是代表原本量子态的态矢量，而 则是代表新量子态的态矢量。
量子算符的概念比较抽象。它能够更加简易的描述量子系统。每一个量子算符，在位置空间，有一个对应的代数算符[1]，标记为 。代数算符的作用对象是波函数。代数算符是对于波函数的一些运算指示，以方程表达，
；
其中， 是原本态矢量的波函数，而 则是新的波函数。
例如，在位置空间里，计算位置的位置算符 ，其对应的代数算符 的形式就是乘以 ：
。
计算动量的动量算符 ，其对应的代数算符 的形式就是取对于 的偏微分，然后再乘以 ：
。
计算能量的哈密顿算符 ，其对应的代数算符 的形式就是
。
一般而言，量子算符与代数算符都会用在量子力学里。当我们将算符的这两种概念融会贯通后，两者的区分并不是那么的重要。
[编辑] 期望值
主条目：期望值
[编辑] 位置的期望值
思考位置的|期望值，
。
对于任意波函数 ，这方程都成立。所以，位置算符 所对应的代数算符 的确可以用来计算位置的期望值。
[编辑] 动量的期望值
思考位置的期望值随时间的导数， 用积分方程来表达，
。
取微分于积分号下，
。
由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间，
。(1)含时薛定谔方程为
；
其中， 是位势。
其共轭复数为
。
代入方程 (1)：
。
使用分部积分法，
，(2) 。(3)方程 (2) 与 (3) 的减差是
。
所以，
。
在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数：
。
在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话是以期望值的方式来实现[2]：
。
所以，
。
对于任意波函数 ，这方程都成立。所以，动量算符 ，所对应的代数算符 ，的确可以用来计算动量的期望值。
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