http://www.gettao.com/bbs/viewthread.php?tid=26808
谈谈股票市场和广义相对论(1)
发信站：格道网 http://www.gettao.com/
谈谈股票市场和广义相对论(1)
第一章 和乐-市值对应
首先,我要说明,这个话题具有强烈的民科色彩,但同时是一个很博大精深的话题.我们知道的事情是,股票市场可以用BS方程来刻画,具有强烈的随机过程和概率论的色彩.这种概率化的思想一直震撼着现在的学术圈,包括陶哲轩和格林对素数列中存在任意长等差数列的证明,也用到概率和动力系统的观念.这些,当然是很深刻的,但是,我们要从广义相对论的角度来讲讲股票市场.
在股票市场浸淫多年的人,多数会有这样的思想,那就是股票市场具有非对易性.这个观念是基于常识,也就是说,如果先买进后卖出,与先卖出后卖进,2者的结果往往大相径庭.非对易性是金融市场的谜底之一.
在广义相对论中，我们也深刻地体会到非对易性的重要性.这其实取决于黎曼流形上的曲率.这个曲率不是零的时候,一根矢量沿着封闭曲线平行移动一圈,我们会发现,矢量在转动后往往会出现一个转角,这个转角的出现是一个整体性的观念,有时候也被称为异和乐.
在金融市场中,如果你拿一笔钱,买进股票,然后你希望用广义相对论来描述自己的行为,那么这个时候,我们不得不构造如下基本观念:
1.矢量
2.黎曼空间上的度量
3.曲率(或者说协变微分算子)
这些东西,是我们需要构造的,朦胧的观念是,矢量也许是所谓的makwitz证券组合,而黎曼空间很可能就是市值空间.至于微分算子,也许需要费很多折腾___至少现在我还想不出来.
我们有时间的时候可以思考这个问题,至少从某种意义上来说,资金推动的股价,和物质推动的曲率演化是非常相似的,这个相似性在于它们都是高度非线性的.对于物质推动曲率演化来说,爱因斯坦场方程已经有了,而对于资金推动股票价格来说,这个方程是通过人的内心来起作用的,目前似乎还不明朗,甚至永远不会明朗.
我们有时间,继续探讨这个课题.
对于确定的股票组合，也就是打开你股票帐户里的股票组合清单，你会发现，市值是随着时间演化的。我们希望把这个市值的大小看成是一个矢量的长度，这个是不可以的。因为类比于广义相对论，矢量的长度最好是一个常数。所以，股票市值不可以被看成是一个矢量的长度，那么，什么东西可以被看成是矢量的长度呢？
这个，在朦胧的观念里，我们可以把股票的“实在价值”看成是矢量的长度。这是一个不变量，类似于广义相对论中那个永远不依赖于坐标系的矢量的长度。按照马克思的经济学思想，价格是围绕价值上下波动的，这个叫价值规律。也就是说，我们要构造的那个股票的“实在价值”虽然不可以真的被测量出来，但它是绝对的。
那么，按照类比的思想，我们的股票组合的市值就是那个绝对的“实在价值”在某一个坐标系里面的反映。
那么，它在坐标系里，应该是一个什么东西呢？ 是某一个矢量绝对长度的某一个坐标分量？还是另外其他的什么？
这个问题很复杂，在想不清楚的时候，我们暂时将其搁置。
我们希望构造的是，市值沿着某一个曲线变化的时候，它的变化反映在矢量移动所对应的那个转角里。
换句话说，市值的变化量======矢量的曲线依赖的平行移动的转角。
那么，我们先来看看，在广义相对论中，转角到底是怎么会事情？ 大致上，只要我们有矢量的平行移动的方法，以及做内积的方法，就可以定义出转角来。
说到内积,也就是度量,非常之基本,也可以非常之抽象,我们记得度量为一个2阶张量,记号为g_ab.本质上,它是一个在流形的每一点上生活着的一个一个的n乘n的矩阵.在你的股票组合里,n很可能就等于你的个股的数目.换句话说,如果你持有的股票有4支,那么,度量这4支股票的“实在价值”的度量就是4乘4的矩阵. 我们不需要真的关心"实在价值"到底是多少,虽然它是一个有意义的几何不变量.我们只需要知道,股票的实在价值是可以用g_ab来刻画的.
有了g_ab,我们可以在流形的一个点上度量股票的“实在价值”.但是,我们研究的并不是“实在价值”,而是市值的变化量,也就是矢量的曲线依赖的平行移动的转角。
这个转角在很多文献上被称为和乐,是非常之有意义的几何量.尤其在2维的黎曼几何里,这个转角是高斯曲率对封闭曲线围起来的那个曲面的面积分.总之,这个是一个可以计算的量.
对高维来说,这同样是可以研究的.总之,持有的股票种类的数目是n,我们就可以在n维空间里来解决这个问题.但是,这不是一个线性代数的问题,我们希望把它做成一个几何问题,因此,除了内积以外,我们还需要一个所谓的沿曲线平移的观念.
这个沿着曲线平行移动的意思是说,如果股票的市值随着时间保持不变,那么我们说,股票在这个流形上是在做"测地线运动",所以,作为切矢量的平行移动不会产生转角.
那么,反过来说,如果股票的市值随着时间不能保持不变,我们定义这个情景为,股票正在做非测地线的运动. 但这个只是一个直观的说法,更加精确的说法是,我们要模仿当年列维--西维它的手法,对股票市场定义出一个合适的平行移动手法来. 或者说，我们要引进一个很好的协变导数算子.
到了这里,估计有一些人可能已经看懵了.那么我们就放慢节奏,来说这个事情.
这里很重要的观念是测地运动,也就是你的股票市值保持不变的运动. 我们也可以做一个很简单的假设,这个假设很天然也无关大局.假设你持有的股票结构和上证指数定义的那个权重结构一模一样.那么,在每一个瞬间,你的股票市值的变化就是上证指数的那个变化,是非常直观的.
也就是说,你可以看到矢量在平行移动过程中的转角变化. 为了节约篇幅,其实上我们只需要讨论一天的交易情况.如果在这一天中,按照中国大陆的股票涨跌幅限制,从跌停到涨停有20%的区间.我们把这个20%定义为完整的矢量转角,也就是360度.这样的话,其他的涨跌,都是可以类比的了.
显然,如果这一天,股票市场是停市的，那么,你的股票肯定是在做测地线运动,因为你的市值保持不变.
而如果市场是开市的,正常交易的情景下,你的市场是上下波动的,你做测地运动的概率很小,这个时候,上证指数的涨跌就是你的转角变化情景.(按照前面的假设)
我们再考虑一个极端情况,也就是上证指数在交易一天以后,不涨也不跌的情况.在这个情景里,你的矢量沿着某一个曲线做了一次平行移动,移动完成以后,转角等于0.这并不意味着你做的是测地运动,只不过是说,碰巧你最后的转角是零而已. 如果是在2维情景下,其实按照我们前面说的高斯曲率的面积分,这说明,你走过的封闭曲线包围的曲面既有正曲率区域,又有负曲率区域.
只不过,现在还看不清楚的是,正曲率区域在哪里?负曲率的区域又在哪里?
我们已经可以隐约地感受到，其实，股票市值的涨跌取决于你做封闭曲线运动的时候你走的是不是测地线，局部地说，就是这样的，所以，在这里，最重要的其实是要寻找这个封闭曲线。而作为一门几何学 ，我们是要在局部上做微分的，所以，协变导数算子不得不被引进来，而且这个导数算子的可能是有物理意义的，那就是这个做微分的方式，其实就是股票市场背后的运动规律。而以前曾经有人研究过股票市场，用的是随机微分方程的方法，简单地说就是ito的随机微分方程，本质上就是布朗运动的微分方程描述，实际是是一种很变态的微积分——在做泰勒展开的时候，你总要保持2阶项，而不能随便丢掉2阶项。
但是，这个是随机微分方程的观念，而我们需要使用的是几何学的观念，并且是有点类似的思考方式，那就是，我们不采用一般的坐标微分方法，而是采用一种绝对微分方法，或者说协变微分的方式----你在做微分的时候，不但有坐标微分项，而且要加上带克里氏多夫符号的那一项，后者其实是相当于惯性力，使得我们总能把问题拖进惯性系里来描述。
从长远的眼光来看，有了这个绝对微分的方式，我们就可以知道，封闭曲线所包围的曲线，那里是正曲率区域，那里是负曲率区域。
我们先不需要弄清楚，在股票市场里，这个微分算子到底是什么样子的，总之，只要相信，这个算子是相当客观的，而不是人为的。
这个算子具有相当好的性质，比如，它要保持总资金守恒。再则，朦胧的感觉是，连续微分2次，就可以表达出非对易性质，所以，微分其实对应一种买进或者卖出的行为（当然这可以在观念里进行就可以了）。
为了方便大家的阅读，我们可以对以上的内容做一个小结。
在以上的描述中，我们试图建立的一个对应是股票市值与和乐（转角）之间的一个对应。这个对应姑且可以称之为“市值——和乐对应”。我们还没有看出这个对应是不是真的行之有效，因为有很多基本的概念还没有得到澄清。
在股票市场中，众所周知的一件事情套利定理，这个定理大致意思是说，你如果长时间在股票市场里进行操作而不空仓休息，那么，长时间里，你得到收益的数学期望是零。换句话说，你别指望从股票市场里赚到钱。 这个意思是说，在大尺度上，你基本不可以赢利，但这个定理的实际意义也是有限的。
在我们这个模型中，我们不采用概率语言，只要和乐不等于零，我们就可以看到市值的变化。但是，很明显，我们需要指出的是，在这个几何模型里，还没有考虑时间的货币价值，换句话说，我们不知道，在我们的曲线运动里，到底是什么在参数化这个曲线。很明显，在几何学里是没有时间的，所以，我们天然的参数化那根曲线是一个几何参数，比如说曲线的弧长。
这里面也许会存在鬼打架的事情，在以后的发展中，我们将要论述时间的货币价值，我们要看清楚，时间是怎么样进入股票市场的几何描述的。
当时间进入以后，我们其实得到的不再是一个几何学理论，很有可能，我们会走向一个动力系统理论。这个动力系统的理论也许会类似于里奇流，也许会类似于3+1分解好以后的爱因斯坦方程的哈密顿形式。
总之，在以上的讨论中，封闭曲线的参数化不是时间。同时需要指出的是，作为一个客观的理论，这个封闭曲线应该是可以被重新参数化而保持不变的。这个重新参数化的曲线不会改变和乐，因为和乐仅仅依赖于曲线本身。
在我们讨论的模型里，如果只有2个股票，那么这个理论就是一个很好的玩具模型，它们生活在一个2维的黎曼流形之上。转角会等于高斯曲率的面积分。这个积分其实是和电磁学中的安培环路定理是类似的。在安培环路定理里，我们对电流产生的磁场做一个曲线积分，等于通过这个封闭曲线的电流面密度的面积分。所以，高斯曲率在这里就好象是电流面密度，而转角就好象是磁场的线积分。转角等于零，相当于说，磁场的线积分等于0。我们知道，磁场的线积分一般是不等于零的，因为磁场不可以处处垂直于一根封闭曲线，这样的磁场只可能由磁单极子产生，而不可能由电流产生。所以，某种意义上来说，这个磁场的线积分其实是一个拓扑的东西，而不仅仅具有几何的意义。和乐也是如此----你赚到的钱也具有拓扑的意义，你一直在沿着那根曲线做一个对“赚钱还是赔钱的磁场”的积分。
谈谈股票市场和广义相对论(1)
发信站：格道网 http://www.gettao.com/
谈谈股票市场和广义相对论(1)
第一章 和乐-市值对应
首先,我要说明,这个话题具有强烈的民科色彩,但同时是一个很博大精深的话题.我们知道的事情是,股票市场可以用BS方程来刻画,具有强烈的随机过程和概率论的色彩.这种概率化的思想一直震撼着现在的学术圈,包括陶哲轩和格林对素数列中存在任意长等差数列的证明,也用到概率和动力系统的观念.这些,当然是很深刻的,但是,我们要从广义相对论的角度来讲讲股票市场.
在股票市场浸淫多年的人,多数会有这样的思想,那就是股票市场具有非对易性.这个观念是基于常识,也就是说,如果先买进后卖出,与先卖出后卖进,2者的结果往往大相径庭.非对易性是金融市场的谜底之一.
在广义相对论中，我们也深刻地体会到非对易性的重要性.这其实取决于黎曼流形上的曲率.这个曲率不是零的时候,一根矢量沿着封闭曲线平行移动一圈,我们会发现,矢量在转动后往往会出现一个转角,这个转角的出现是一个整体性的观念,有时候也被称为异和乐.
在金融市场中,如果你拿一笔钱,买进股票,然后你希望用广义相对论来描述自己的行为,那么这个时候,我们不得不构造如下基本观念:
1.矢量
2.黎曼空间上的度量
3.曲率(或者说协变微分算子)
这些东西,是我们需要构造的,朦胧的观念是,矢量也许是所谓的makwitz证券组合,而黎曼空间很可能就是市值空间.至于微分算子,也许需要费很多折腾___至少现在我还想不出来.
我们有时间的时候可以思考这个问题,至少从某种意义上来说,资金推动的股价,和物质推动的曲率演化是非常相似的,这个相似性在于它们都是高度非线性的.对于物质推动曲率演化来说,爱因斯坦场方程已经有了,而对于资金推动股票价格来说,这个方程是通过人的内心来起作用的,目前似乎还不明朗,甚至永远不会明朗.
我们有时间,继续探讨这个课题.
对于确定的股票组合，也就是打开你股票帐户里的股票组合清单，你会发现，市值是随着时间演化的。我们希望把这个市值的大小看成是一个矢量的长度，这个是不可以的。因为类比于广义相对论，矢量的长度最好是一个常数。所以，股票市值不可以被看成是一个矢量的长度，那么，什么东西可以被看成是矢量的长度呢？
这个，在朦胧的观念里，我们可以把股票的“实在价值”看成是矢量的长度。这是一个不变量，类似于广义相对论中那个永远不依赖于坐标系的矢量的长度。按照马克思的经济学思想，价格是围绕价值上下波动的，这个叫价值规律。也就是说，我们要构造的那个股票的“实在价值”虽然不可以真的被测量出来，但它是绝对的。
那么，按照类比的思想，我们的股票组合的市值就是那个绝对的“实在价值”在某一个坐标系里面的反映。
那么，它在坐标系里，应该是一个什么东西呢？ 是某一个矢量绝对长度的某一个坐标分量？还是另外其他的什么？
这个问题很复杂，在想不清楚的时候，我们暂时将其搁置。
我们希望构造的是，市值沿着某一个曲线变化的时候，它的变化反映在矢量移动所对应的那个转角里。
换句话说，市值的变化量======矢量的曲线依赖的平行移动的转角。
那么，我们先来看看，在广义相对论中，转角到底是怎么会事情？ 大致上，只要我们有矢量的平行移动的方法，以及做内积的方法，就可以定义出转角来。
说到内积,也就是度量,非常之基本,也可以非常之抽象,我们记得度量为一个2阶张量,记号为g_ab.本质上,它是一个在流形的每一点上生活着的一个一个的n乘n的矩阵.在你的股票组合里,n很可能就等于你的个股的数目.换句话说,如果你持有的股票有4支,那么,度量这4支股票的“实在价值”的度量就是4乘4的矩阵. 我们不需要真的关心"实在价值"到底是多少,虽然它是一个有意义的几何不变量.我们只需要知道,股票的实在价值是可以用g_ab来刻画的.
有了g_ab,我们可以在流形的一个点上度量股票的“实在价值”.但是,我们研究的并不是“实在价值”,而是市值的变化量,也就是矢量的曲线依赖的平行移动的转角。
这个转角在很多文献上被称为和乐,是非常之有意义的几何量.尤其在2维的黎曼几何里,这个转角是高斯曲率对封闭曲线围起来的那个曲面的面积分.总之,这个是一个可以计算的量.
对高维来说,这同样是可以研究的.总之,持有的股票种类的数目是n,我们就可以在n维空间里来解决这个问题.但是,这不是一个线性代数的问题,我们希望把它做成一个几何问题,因此,除了内积以外,我们还需要一个所谓的沿曲线平移的观念.
这个沿着曲线平行移动的意思是说,如果股票的市值随着时间保持不变,那么我们说,股票在这个流形上是在做"测地线运动",所以,作为切矢量的平行移动不会产生转角.
那么,反过来说,如果股票的市值随着时间不能保持不变,我们定义这个情景为,股票正在做非测地线的运动. 但这个只是一个直观的说法,更加精确的说法是,我们要模仿当年列维--西维它的手法,对股票市场定义出一个合适的平行移动手法来. 或者说，我们要引进一个很好的协变导数算子.
到了这里,估计有一些人可能已经看懵了.那么我们就放慢节奏,来说这个事情.
这里很重要的观念是测地运动,也就是你的股票市值保持不变的运动. 我们也可以做一个很简单的假设,这个假设很天然也无关大局.假设你持有的股票结构和上证指数定义的那个权重结构一模一样.那么,在每一个瞬间,你的股票市值的变化就是上证指数的那个变化,是非常直观的.
也就是说,你可以看到矢量在平行移动过程中的转角变化. 为了节约篇幅,其实上我们只需要讨论一天的交易情况.如果在这一天中,按照中国大陆的股票涨跌幅限制,从跌停到涨停有20%的区间.我们把这个20%定义为完整的矢量转角,也就是360度.这样的话,其他的涨跌,都是可以类比的了.
显然,如果这一天,股票市场是停市的，那么,你的股票肯定是在做测地线运动,因为你的市值保持不变.
而如果市场是开市的,正常交易的情景下,你的市场是上下波动的,你做测地运动的概率很小,这个时候,上证指数的涨跌就是你的转角变化情景.(按照前面的假设)
我们再考虑一个极端情况,也就是上证指数在交易一天以后,不涨也不跌的情况.在这个情景里,你的矢量沿着某一个曲线做了一次平行移动,移动完成以后,转角等于0.这并不意味着你做的是测地运动,只不过是说,碰巧你最后的转角是零而已. 如果是在2维情景下,其实按照我们前面说的高斯曲率的面积分,这说明,你走过的封闭曲线包围的曲面既有正曲率区域,又有负曲率区域.
只不过,现在还看不清楚的是,正曲率区域在哪里?负曲率的区域又在哪里?
我们已经可以隐约地感受到，其实，股票市值的涨跌取决于你做封闭曲线运动的时候你走的是不是测地线，局部地说，就是这样的，所以，在这里，最重要的其实是要寻找这个封闭曲线。而作为一门几何学 ，我们是要在局部上做微分的，所以，协变导数算子不得不被引进来，而且这个导数算子的可能是有物理意义的，那就是这个做微分的方式，其实就是股票市场背后的运动规律。而以前曾经有人研究过股票市场，用的是随机微分方程的方法，简单地说就是ito的随机微分方程，本质上就是布朗运动的微分方程描述，实际是是一种很变态的微积分——在做泰勒展开的时候，你总要保持2阶项，而不能随便丢掉2阶项。
但是，这个是随机微分方程的观念，而我们需要使用的是几何学的观念，并且是有点类似的思考方式，那就是，我们不采用一般的坐标微分方法，而是采用一种绝对微分方法，或者说协变微分的方式----你在做微分的时候，不但有坐标微分项，而且要加上带克里氏多夫符号的那一项，后者其实是相当于惯性力，使得我们总能把问题拖进惯性系里来描述。
从长远的眼光来看，有了这个绝对微分的方式，我们就可以知道，封闭曲线所包围的曲线，那里是正曲率区域，那里是负曲率区域。
我们先不需要弄清楚，在股票市场里，这个微分算子到底是什么样子的，总之，只要相信，这个算子是相当客观的，而不是人为的。
这个算子具有相当好的性质，比如，它要保持总资金守恒。再则，朦胧的感觉是，连续微分2次，就可以表达出非对易性质，所以，微分其实对应一种买进或者卖出的行为（当然这可以在观念里进行就可以了）。
为了方便大家的阅读，我们可以对以上的内容做一个小结。
在以上的描述中，我们试图建立的一个对应是股票市值与和乐（转角）之间的一个对应。这个对应姑且可以称之为“市值——和乐对应”。我们还没有看出这个对应是不是真的行之有效，因为有很多基本的概念还没有得到澄清。
在股票市场中，众所周知的一件事情套利定理，这个定理大致意思是说，你如果长时间在股票市场里进行操作而不空仓休息，那么，长时间里，你得到收益的数学期望是零。换句话说，你别指望从股票市场里赚到钱。 这个意思是说，在大尺度上，你基本不可以赢利，但这个定理的实际意义也是有限的。
在我们这个模型中，我们不采用概率语言，只要和乐不等于零，我们就可以看到市值的变化。但是，很明显，我们需要指出的是，在这个几何模型里，还没有考虑时间的货币价值，换句话说，我们不知道，在我们的曲线运动里，到底是什么在参数化这个曲线。很明显，在几何学里是没有时间的，所以，我们天然的参数化那根曲线是一个几何参数，比如说曲线的弧长。
这里面也许会存在鬼打架的事情，在以后的发展中，我们将要论述时间的货币价值，我们要看清楚，时间是怎么样进入股票市场的几何描述的。
当时间进入以后，我们其实得到的不再是一个几何学理论，很有可能，我们会走向一个动力系统理论。这个动力系统的理论也许会类似于里奇流，也许会类似于3+1分解好以后的爱因斯坦方程的哈密顿形式。
总之，在以上的讨论中，封闭曲线的参数化不是时间。同时需要指出的是，作为一个客观的理论，这个封闭曲线应该是可以被重新参数化而保持不变的。这个重新参数化的曲线不会改变和乐，因为和乐仅仅依赖于曲线本身。
在我们讨论的模型里，如果只有2个股票，那么这个理论就是一个很好的玩具模型，它们生活在一个2维的黎曼流形之上。转角会等于高斯曲率的面积分。这个积分其实是和电磁学中的安培环路定理是类似的。在安培环路定理里，我们对电流产生的磁场做一个曲线积分，等于通过这个封闭曲线的电流面密度的面积分。所以，高斯曲率在这里就好象是电流面密度，而转角就好象是磁场的线积分。转角等于零，相当于说，磁场的线积分等于0。我们知道，磁场的线积分一般是不等于零的，因为磁场不可以处处垂直于一根封闭曲线，这样的磁场只可能由磁单极子产生，而不可能由电流产生。所以，某种意义上来说，这个磁场的线积分其实是一个拓扑的东西，而不仅仅具有几何的意义。和乐也是如此----你赚到的钱也具有拓扑的意义，你一直在沿着那根曲线做一个对“赚钱还是赔钱的磁场”的积分。
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
