在很小的能量间隔中，粒子的数目为n(l)。统计物理学的目的就是找出n(l) ！

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统 计 物 理 学


第六章 近独立粒子的最概然分布






统计物理学要解决的问题


1、建立物质宏观量的行为定律


　to establish the behavior laws for macroscopic quantities of a substance.


2、基于原子和分子的思想，验证热力学定律


to offer a theoretical substantiation(证实) of thermodynamic laws on the basis of atomic and molecular ideas






粒子的能级化描述方式


热力学默认了每个粒子都是相同的：能量相同、质量相同等等。


统计物理学认为粒子是有差别的。如何处理这种差别是重点。





举 例


对于大量粒子的系统，能量应该是连续的。
为了分析的方便，将能量按等间距划分出区间，在区间内的近似认为在某个能级上，如右图：





系统的特征与描述


粒子不是静止的，每个粒子的运动速度不是完全相同的，而是不断运动的。可以用一种速率的分布描述（右图只是举例）


在很小的能量间隔中，粒子的数目为n(l)。


统计物理学的目的就是找出n(l) ！以此为出发点，可以解决各种问题





统计物理解决问题举例


一个三能级系统，0, 20, 30中，每个能级有6个坐位，共有6个完全相同的粒子，总能量为120,每个坐位只能放一个，粒子如何分布？
粒子可以采取的分布方式为：


上图为粒子可能填充的形式，下图为分布函数，四种可能填充出现的数目分别是1，6×15×6, 153, 202。






粒子的性质与描述


虽然统计物理学不考虑粒子的内部结构，但考虑粒子的性质：经典的还是量子的。如果是量子的，那么是费米的还是玻色的。不同的性质，分布n(l)会不一样。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子的描述称为量子描述。
下面根据运动规律先分别描述。





§6.1 粒子运动的经典描述


经典粒子：气体分子、金属离子。。。
如果用快速照像机对经典粒子拍照，可以得到不同时刻粒子的照片，比较两张，就可以对粒子的运动进行描述。
1、描述位置的变化
2、描述速率的大小
设粒子的坐标与势能相关，而速度与动能相关，则有：



什么是近独立？


独立是不相互影响，无作用，即势能为0






Newton’s classical mechanics
(经典力学的解决方法)


忽略分子内的结构，看成一个点.
The equation of Newton’s motion for each of the N particles.（牛顿方程）


Fih：i’th与h’th分子的作用力；vi: velocity.
求和存在的问题：1)要知道作用力或空间相关的作用势；
2)要知道6N个初始条件：每个分子的三维坐标与动量。

3)假设上述条件已知，求和计算分子的路径。






困 难 与 解 决 方 法


数学计算上的求和的难度，使其几乎不可能。因为系统的粒子数达到1025m-3。
即使知道了粒子的路径和运动方程，也未必能提供以系统作为一个整体有用的信息。
在一个大量粒子的系统中， statistical or probability laws take effect that are foreign to (不适合于) a system containing a small number of particles（少数粒子的系统）.





经典描述(概念)


每个粒子均用r个坐标和r个动量描述。
即一个粒子的运动状态可用2r个参量描述。
2r个参量构成了粒子的一个空间“μ空间”。


“我们常看到的一个粒子在3维空间的运动” 变成了一个粒子在

“6维空间内一个代表点的移动”







(一)自由粒子


粒子坐标可以在0-L的范围内取值。
考虑一个方向的坐标变化与动量变化，可以：
“6维空间分解为3个2维的子空间”，每个方向1个子空间。







(二)线性谐振子


基本运动方程：


这样的运动可以用椭园表示：
含义：一个方向可以确定一个子空间。





§6.2 粒子运动的量子描述


在微观世界，粒子的运动要用量子的方法描述，什么是量子的方法？
“ 波 ”
波有什么好处？不能确定粒子的确切位置，也就是说 可以不考虑粒子的位置。
能量动量公式(略)
“测不准原理”：





量子态


微观粒子的运动 状态：“量子态”


对于微观粒子，这是最小的能量状态。


对于电子，其状态除了能级还包含了自旋的因素。





(一)自旋


粒子含自旋，在磁场下的最小能量。
自旋磁矩与角动量之比：


其中，自旋角动量量子数为mS=1/2：






(二)线性谐振子


量子化的振动：


能量是等间距的。





(三)量子化的自由粒子


在势垒高度无穷，长度L内自由运动的粒子，粒子以驻波的形式运动，由此可以导出其运动规律。





能量分析


三维能量公式：


n 表示量子态数, 具有分立能级的特性，可能的能量状态数目。由公式可以看出，其值与坐标无关。


能量简并：
当粒子的能量为 时，可能的量子态有6个。因此，能级是简并的，简并度为6。





量子数h的理解


量子态n的取值为整数，平均一个量子态的体积是1(右图为示意性的二维图)


在体积V内，动量在px-px+dpx范围内的dnx取值为：


测不准原理：


h是μ空间的最小相的边长， h3是相空间的最小体积，一个量子态占据一个最小体积。





态密度


动量从p~p+dp范围内的量子态数：


换算成能量密度：


态密度：单位能量范围内的量子态数：





§6.3 系统微观运动状态的描述


在全同和近独立系统的条件下，系统的普遍性质


全同性


近独立性





微观运动状态


微观运动状态即“力学运动状态”


以一维为例解释：


μ空间的一个点表示一个粒子的微观运动状态。


系统在μ空间的N个点表示系统的微观运动状态。


多维μ空间的N个点表示系统的一个微观运动状态。





微观运动状态的差异


经典描述：粒子的轨道是可以跟踪的，每个粒子均可以识别。
经典力学认为：任意交换两个粒子的坐标和动量时，系统的微观运动状态不同。(可识别，考虑了坐标)





系统的微观运动状态


量子描述：量子性的粒子不可跟踪其运动轨迹，运用的是测不准原理和几率分布。


量子力学认为，任意交换两个粒子，系统的微观运动状态相同。 (不可识别，不考虑坐标)


量子的粒子在什么情况下可以近似为经典的？





粒子的量子性


Fermions follow: ( 费米子遵从不相容原理)
the Pauli exclusion principle

in a system of N identical fermions one cell in the -space can contain no more than one representative point.(一个位置最多放一个粒子)
in a system of N identical bosons one cell in the -space can contain any number representative points from zero to N. (一个位置可以放任意个粒子)





费米子


经典


玻色子


2个粒子放在三个格子的放法？






§6.4 等概率原理


热力学系统的宏观状态与粒子的微观运动状态是否有联系？
热力学系统的宏观状态用热力学参数表征：体积V、粒子数N、压强P、能量E等。
系统处在平衡态，宏观物理量有确定值，系统的微观状态会如何？是否有确定值？
答案是“否”。原因：微观粒子不停地运动，状态不断地改变。固体、液体、玻璃均如此。





原 因


宏观物理量有确定值，即体积V、粒子数N、压强P、能量E等有确定值。
以理想气体为例：限定体积V、N个粒子的总能量E，气体分子不停在碰撞器壁，维持压强为P。
下图为动量空间的例子。在体积和压强不变的情况下，确定的宏观条件对应的四种情形，其总的微观状态数为四种情况的微观状态数之和。





等概率原理(equiprobable)


上例共有1+6×15×6+153+202种可能实现的微观状态数，统计物理学不会追随系统微观状态的变化，只是在理论上考虑其出现的可能性，并用概率进行描述。
对于处在平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
------“等概率原理”，一种假设。即对微观状态的平均加权





附加内容“系综”


系统在固定的一个宏观状态下，微观状态是不断变化的。
在t =0时刻，给系统拍照，其微观状态为S0
在t =1时刻，给系统拍照，其微观状态为S1
在t =2时刻，给系统拍照，其微观状态为S2
直到t ∞，给系统拍照，可观测到最后一个没有重复的微观状态。
定义：{S0,S1,S2,…}为“系综”，即系统所有可能的微观状态组成一个集合。
用“空间”换“时间”。





各种系综


孤立系统的系综---微正则系综
闭合系统的系综---正则系综
开放系统的系综---巨正则系综
(第九章为其数学内容，略)
当系统在无穷长的时间内可能经历所有的微观状态，则该系统为“各态历经”的，“ergodic”。





§6.5 分布和微观状态


系统的约束条件：
在宏观上：
确定的粒子数N、总能量E、总体积V

在微观上：
能 级εl (l=1,2,3,…),

简并度 ωl (l=1,2,3,…),

粒子数 al (l=1,2,3,…),






分 布


能级εl 上有al 个粒子，形成了一个序列{al},称为一个分布。如上例中的分布分别是：
{0,6,0}, {1,4,1}, {2,2,2}, {3,0,3},

分布满足的条件是：


已经算出过其微观状态数分别是：1，6×15×6，153，202，下面根据粒子的性质导出其公式。






微观状态数


在能级εl (l=1,2,3,…),简并度 ωl (l=1,2,3,…),
粒子数 al (l=1,2,3,…)确定的条件下，经典粒子的占据能级方式：

在εl 能级上有ωl个位置供al个粒子占据，粒子的占据不受任何约束，即每个粒子可以等概率地占据ωl个位置中的任何一个。每个粒子都有个占据ωl方法， al个粒子共有 种排列方法。







经典的微观状态数


考虑整个分布函数时的微观状态数


如果任何两个粒子交换都能产生不同的微观状态，则N个粒子两两交换后的微观状态数是


包含了al个粒子相互交换粒子，总的微观状态数是


前例分析






玻色子的微观状态数


玻色子容纳的粒子数不受限制，设某个能级有8个简并度如图，存在7个档板：
不同的排列方式可以分为两种交换：
(1)粒子和隔离物；
(2)粒子和粒子。





等效图


分析：


粒子和隔离物排列在一条线上，任意交换导致总的排列方式：

(al +wl-1)! ，但包含了全同粒子在等效位置的交换al! 和隔离物的交换(wl-1)!






费米子的微观状态数


一个量子态最多能够容纳一个粒子。 ωl个量子态共容纳了al个粒子。共有 种排列方式


N个粒子的排列方式是：






结论比较


经典


玻色子


费米子


当al




简并度的讨论


在能量为εl ,简并度 ωl 的条件下，设能量范围所占的相空间(μ空间)体积为Δω，而一个量子态所占的相空间体积为hr，则有：
ωl = Δω / h r, r是维数。
ωl = D(εl ) Δε





§6.6 玻耳兹曼分布


上一节所学的是：已知分布{al}，求其微观状态数。
根据前面的内容可以知道，分布不同，微观状态数不同，那么如何求微观状态数最多的分布？
定义：微观状态数最多的分布为“最概然分布”，宏观系统中最概然分布出现的概率最大。
玻耳兹曼系统粒子的最概然分布称为玻耳兹曼分布。
对上节导出的分布函数求解。





玻耳兹曼分布


利用Stirling公式(近似等式)：


经典公式可以化为





最概然分布


最概然分布是使微观状态数极大的分布。同时微观状态数的对数也应该是最大。
最大时的一阶微分为0：


上式表示能级间交换粒子要保持微观状态数不变，但还要受到2个约束作用：






最概然分布


运用拉格朗日未定乘子的变分原理，定义2个乘子α-1和β分别乘上2式，得到


根据乘子法原理，上式中的每个系数都应为0


得到玻耳兹曼分布函数：






玻耳兹曼分布


平均每个量子态上的粒子数：


上式称为‘玻耳兹曼分布’函数。

量子态下的粒子数与能级：






几点说明


1、极大值处会有2阶微分为负。
2、N很大时，微小的偏离几乎是不可能的。





§6.7 玻色分布和费米分布


同理，玻色系统的微观状态数为：





玻色分布


运用拉格朗日未定乘子的变分原理，定义2个乘子α和β，考虑粒子数






玻色分布


平均每个量子态上的粒子数：


上式称为”玻色分布“函数。






费米分布


费米系统的微观状态数为：





费米分布


运用拉格朗日未定乘子的变分原理，定义2个乘子α和β，考虑粒子数






费米分布


平均每个量子态上的粒子数：


上式称为”费米分布“函数。






三种分布的比较


麦、玻分布函数：


玻、爱分布函数：


费、狄分布函数：


三种分布函数：





三种分布的讨论


当al /ωl

合并后有：






物理意义


在数学是的相同表示对应物理上的可分辨


量子的粒子可分辨：粒子间距离较远，密度较低，或者活动范围受到限制。


作业：P247: 6.4, 6.5

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