http://wizardschemas.spaces.live.com/blog/
September 22
数论
一份数论的书单
引至:http://community.studyez.com/blogs/zhaoyang0618/archive/2006/06/24/67.aspx
发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics
标 题: 参考书目:3.数论
发信站: 日月光华 (2002年11月20日13:39:41 星期三)
Baker A.
Transcendental number theory, Cambridge UP, 1975
Bombeiri E.
Le grand cilbe dans la th'eorie analytique des nombres, Asterique 17,
S.M.F., Paris, 1974
Borel A., Casselman W.
Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. of Symp. in Pure
Maths, vol. XXXIII, 1 and 2, AMS, Providence, 1979
Borevic Z.I., Shafarevich I.R.
Th'eorie des nombres, Gauthier-Villars, 1967
(英文本:Number theory / Borevich, Zenon Ivanovich ; Shafarevich, Igor'
Rostislavovich ;(Pure and applied mathematics ; 20) Academic Press, New York NY London ,
1966.)
Bosch S.,Luetkebohmert W., Raynaud M.
N'eron Models, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgbiete n°21,
Springer-Verlag, 1990
Cassels J.W.S.
Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag,1959
Cassels J.W.S, Fr"ohlich A.
Algebraic number theory, Sussex, Brighton, September 1-17, 1965, Academic
Press, 1967
Cornell G., Silverman J.
Arithmetic Geometry, Conference, Storrs, July 30-August 10, 1984,
Springer-Verlag, 1986
Hardy G.H., Wright E.M.
An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, 1938-1984
Lang S.
Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970
(Springer-Verlag的GTM110应该就是这本书)
Lang S.
Cyclotomic Fields I et II, Graduate Texts in Mathematics n°121,Springer-verl
ag, 1990(注:Cyclotomic fields ,GTM59,1978;Cyclotomic fields II,GTM69, 1980)
Lang S.
Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, 1983
Serre J.-P.
Corps Locaux, Actualit'es Scientifiques n°1296,Hermann, 1968
(注:英文版Local fields, GTM67, Springer-Verlag,1979)
Serre J.-P.
Cours d'Arithm'etique, Collection SUP, PUF, 1970
(注:英文版A Course in arithmetic, GTM 7,Springer-Verlag, 1973;
中文版 数论教程，冯克勤译，上海科技出版社)
Serre J.-P.
Oeuvres Compl`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1986
(注:98年出了第四卷)
Shimura G.
Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions,
Publications of the Mathematical Society of Japan n°11, Princeton UP, 1971
Silverman J.
The arithmetic of elliptic curves, GTM 106, Springer-Verlag, 1986
Weil A.
Oeuvres Compl`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1980
莫斯科大学数学力学系代数群与不变量理论教学大纲[转贴] 引至：http://bbs.sciencenet.cn/showtopic-29685.aspx
代数群与不变量理论
“高等代数”教研室专门化选修课，一学期课程。
1。代数群的概念，代数群的同态。[2, ch. III, 1.1-1.4], [8, § 7], [5, ch. II,
1.1-1.3]
2。Lie切代数。[5, ch. II, 1.4-1.5], [8, ch. III, § 13], [2, ch. III, § 3]
3。代数群的作用，轨道的局部封闭性，正则函数代数的表示。[2, ch. III, 1.5], [8
, 8.1-8.5], [5, ch. II, 2.1-2.4]
4。仿射线性代数群及其在仿射簇上的作用。[2, ch. III, 1.6], [5, ch. II, 2.4],
[8, 8.6]
5。齐性空间，Chevalley定理，商。[2, ch. III, 1.7], [8, Ch. IV]
6。Jordan分解，代数环面，Engel幂单群定理。[2, ch. III, 2.1-2.4, 3.5-3.7], [8
, § § 15-17], [5, ch. III, 1.1, 1.3]
7。代数群的交换子，可解群，不动点的Borel定理，Lie-Kolchina定理。[2, ch. III,
1.4, 2.5-2.9, 3.9], [8, § § 17-21], [5, Ch. III, 1.2]
8。可约群，完全可约子群。[2, ch. IV, § 1], [8, § § 15--17], [5, ch. II, 3
.1, 3.5, ch. III, 1.2]
9。不变量的Hilbert定理，可约群作用下的仿射簇的函子范畴，态射的因式分解定理。
[5, ch. II, § 3], [3, 3.4, 4.3-4.4], [7, 2.4].
10。有限群的不变量，Chevalley定理。[7, 4.2], [5, ch. II, 3.6]
11。有理不变量。不变量的轨道分离性的Rozenlikhta定理。[3, § 2], [5, ch. II,
4.3.E]
12。封闭轨道，松村英之判据，作用的稳定性，Popov判据，指标族的分支稳定的充分条
件。[10, I.2], [6], [3, 7.5], [1]
13。幂零轨道，Hilbert-Mumford判据。[5, ch. III, § 2], [3, 5.1, 5.3, 5.4]
14。可约群的连接理想，他的轨道与不变量。[9]
15。张量系统的不变量子的经典理论。[3, §9], [4], [5, ch. II, 4.1]
16。射影作用下的半稳定点与稳定点，Mumford函子。[3, 4.6], [4].
参考书目：
1，E.M.Andreev、E.B.Vinberg、A.G.Elashvili，最大维线性半单Lie群的轨道，“泛函
分析及其应用”杂志，1967，Vol.1，No.4，pp.3-7。
2。E.B.Vinberg、A.L.Onishchik，李群与代数群，科学出版社，1988。
3。E.B.Vinberg、V.L.Popov，不变量理论（现代数学及其应用丛书第55卷），全俄罗斯
科技信息研究所。
4。D.Mumford，Geometric Invariant Theory，Springer，1965。
5。H.Kraft，Geometrische Methoden in der Invariantentheorie，Vieweg-Verlag，
1985。
6。V.Popov，半单群作用下的可约簇的稳定性判据，“苏联科学院院报——数学”，19
70，Vol.34, No.3，pp.523-531。
7。T.A.Springer，Invariant Theory，Springer，1977。
8。J.Humphreys，Linear Algebraic Groups，Springer，1991。
9。B.Kostant，Lie Group Representations on Polynomial Rings，Amer. J. Math.，
1963，Vol.85，pp.327–404。
10。D.Luna，Slices étales，Bull. Soc. Math. France，1973，vol.33，p.81–105
11:55 AM | Add a comment | Permalink | Blog it又是一个中秋节
中秋佳节又到了，又是吃月饼的时候了。不知为什么，现在的月饼总觉得没小时候的好吃。现在的月饼稀奇古怪得很，阿根达斯也开始做月饼，但是就是巧克力裹上冰淇淋做成月饼状，家里发了几个，又贵又难吃。（妈的，只会做冰淇淋不会做月饼就别乱做嘛，整些垃圾食品出来坑钱。按你这样做的月饼还有什么文化内涵，这是在过中国的传统节日，你的明白？）小时侯的月饼给我留下的印象总是甜美的，吃的最都的就是豆沙馅的，还是蛋黄弦的。。。想起来就感觉要留口水了。11:15 AM | Add a comment | Read comments (1) | Permalink | Blog itSeptember 04
指标定理
对于指标定理的学习将是我的日志里主要的论题。下边，我想整理下这方面的资料和以前写的日志，并且希望在将来不断地来完善这篇日志。以前的日志里和指标定理有关的有：两个有用的网页 ， 沿着指标定理的道路前行 和 The interesting in Mathoverflow 6。我自己感觉在学习指标定理时如果能搞清楚它其后的发展脉络，那么就能比较好的选择学习的重点是什么。但是，这点并不容易做到，谈论指标定理从1960s证明到现在的发展的文章很散乱，而且涉及的方面太广，让人摸不着头绪。下边我想就自己知道的做一点归纳，希望对自己的学习能得到比较大的帮助。
对于指标定理的学习，首先当然是学习它的证明，然后是学习它的应用(当然，这两者其实是相互相成的，知道的如何运用它，对于理解它的证明肯定是有好处的)。对于它的证明途径在“沿着指标定理的道路前行”这篇日志里已经列举过了。下边，我只是对一些资料做点归纳：
个人觉得，学习指标定理还是从K-Theory证明开始比较好(大概是我自己的偏好)。有很多书和资料讨论这个途径的证明，下边只列举一部分：
Handbook Of Global Analysis by Demeter Krupka, David Saunders 这本书里讲述指标定理的那部分是很好的学习资料。
K-theory and elliptic operators by Gregory D. Landweber 是一篇介绍K-Theory证明途径的好文章，基本是按照The Index of Elliptic Operators I 来展开的。
当然，Atiyah and Singer 的系列论文 The Index of Elliptic Operators 也是学习的经典材料。
还有比较新的K-Theory证明是 On the K-theory proof of the index theorem by Nigel Higson 这在它的主页上可以找到。关于这个证明Alan L. T. Paterson给过一些评论可以看Asymptotic morphisms and the families index theorem (里边还谈到了指标定理的一些发展)
还有一些名著，这里就不提了，大家都知道。
关于指标定理的热核证明途径，也有很多的书讨论，这涉及到的是local index theorem 。
最著名的可能就是Heat kernels and Dirac operators by Berline N., Getzler E., Vergne M. 然后还有Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem by P.B.Gilkey，当然还有一些书，这里就不列举了。还有一些网上的资料是很有参考价值的。
The heat equation and the Atiyah-Singer index theorem by Gregory D. Landweber(在其主页上可以找到这篇文章)
Notes on the Atiyah-Singer index theorem by Liviu I. Nicolaescu(可以在其主页上找到)
Lecture Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem by ANTONY WASSERMANN
The Atiyah-Singer Index Theorem: A Heat Kernel (PDE’s) Proof by Luiz C.L. Botelho
A new short proof of the local index formula and some of its applications by R.Ponge
最后， ABP的经典论文 On the Heat Equation and the Index Theorem 也是必须要提到的重要资料。
还有一个资料想提以下， 俄国的(准确的说应该是前苏联)Encyclopedia Math.Sci.这个系列(后来基本都翻译成了英文由Springer出版)的第65卷，即，偏微分方程的第八卷，里边有 B.V.Fedosov 的文章“Index Theorems”，其中除了论述了指标定理之外还谈到了一些其后的发展，特别是他本人做的指标定理与形变量子化的关系(其后他也写过这个论题的专著)。
还有一些物理学上的证明(这里主要指使用超对称和路径积分的证明)。这方面的东西在侯伯元，侯伯宇的《物理学家用微分几何》这本书里能找到一些论述(书中运用sigma-model给出了一个Gauss-Bonnet-Chern定理的证明)。 想了解SUSY的证明，最好对SUSY有一个初步的了解，arxiv上有很多关于这方面的介绍文章，这里帖一个其他的 Introduction to Supersymmetry at the NLC by David Wagner 以及 Introduction to Supersymmetry，路径积分现在看不懂，不过从形式上看对现在算的东西好象有帮助，什么是重整化？
对于指标定理的运用，一个最有名的例子我想应该是用指标定理研究物理学里的 Anomalies，对这个东西还有待继续学习。
指标定理和非交换几何的联系可以在 Nigel Higson 的主页上看到一些材料
指标定理与椭圆上同调的联系网上也有一些资料可查到 Elliptic Cohomology
指标定理与谱几何的联系似乎已经有比较长的历史了
指标定理与量子化的联系似乎也比较久了。
Intermediate Geometry/Topology
和物理相关的部分要理解清楚必须要学习量子力学和量子场论的一些知识：Quantum Physics，
Pedagogic Aids to Quantum Field Theory，Supersymmetry and Supergravity，量子力学参考书目
（待续）
9:11 PM | Add a comment | Read comments (3) | Permalink | Blog itAugust 29
读网手记——V.I.Arnold 论数学教育
这是一篇在网上广泛流传的文章,好几年前就看到过了。赞同Arnold观点的有之,骂他的人也不占少数。我挺喜欢这篇文章的,不仅仅因为他是我崇拜的一位大师更因为他给了我们另一个视角,特别是他对物理学的高度重视;所以贴到这里和大家共享。中文版引至：V.I.Arnold 论数学教育 英文斑引至：On teaching mathematics
地点： Palais de Découverte in Paris 时间 1997年3月7日
数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。
在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。
既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。
很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。
如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！
还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但还没有被证明”。
据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在'高等师范学校'（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。
例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：画出平面上由参数方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。
那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。
ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别
提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了 Hodge 构造以及 Jacobi 簇！
这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我: 真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题。
我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用（十分有用的东东啊！）
长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷佛美利坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。
为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。
M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理：
Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。
Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。
不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面是一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分多的double points 就足够了（即要求该曲线是unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画来）。
这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在 double points的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。
这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。
这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。
然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi 事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。
我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。
从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从Poincaré 那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。
构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。
就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。
显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。
与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。
数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结果（或叫做“Wigner原理”）。
我在此再提一下 I.M. Gel'fand 的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。
对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。
我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接－此时唯一性问题都会让我们头痛。
不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。
我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个大学低年级的学生。
试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的“代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。
理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。
我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。
一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。
一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。
如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？
顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为
The Abel theorem in problems.
一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。
学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流形的绝对清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。
一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐标子空间 ）。这样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或三维空间中曲线和曲面的直接的推广。
光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也光滑。
而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理）。为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，相反的是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，事实上压根没有给出任何新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。
对曲面的分类定理是顶级的数学成就，堪与美洲大陆或X 射线的发现媲美。这是数学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大的整数都能表示成三个素数和这类事实的证明。为了出风头，当代的数学家有时候总要展示一些“运动会式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知，这样的做法不仅无助于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀疑：对于这样的毫无用处的跳脱衣舞般的问题，有必要耗费能量来做这些（彷佛攀岩似的）练习吗？
曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便提一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁止）。
在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中有Rademacher 和 Töplitz 写的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen写的《 Geometry and the imagination 》；Courant 和Robbins 写的《What is mathematics?》；Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century》。
我清晰地记得在学校时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。
由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。
如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。
一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。
This is an extended text of the address at the discussion on teaching of mathematics in Palais de Découverte in Paris on 7 March 1997.
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
Since scholastic mathematics that is cut off from physics is fit neither for teaching nor for application in any other science, the result was the universal hate towards mathematicians - both on the part of the poor schoolchildren (some of whom in the meantime became ministers) and of the users.
The ugly building, built by undereducated mathematicians who were exhausted by their inferiority complex and who were unable to make themselves familiar with physics, reminds one of the rigorous axiomatic theory of odd numbers. Obviously, it is possible to create such a theory and make pupils admire the perfection and internal consistency of the resulting structure (in which, for example, the sum of an odd number of terms and the product of any number of factors are defined). From this sectarian point of view, even numbers could either be declared a heresy or, with passage of time, be introduced into the theory supplemented with a few "ideal" objects (in order to comply with the needs of physics and the real world).
Unfortunately, it was an ugly twisted construction of mathematics like the one above which predominated in the teaching of mathematics for decades. Having originated in France, this pervertedness quickly spread to teaching of foundations of mathematics, first to university students, then to school pupils of all lines (first in France, then in other countries, including Russia).
To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!
Another French pupil (quite rational, in my opinion) defined mathematics as follows: "there is a square, but that still has to be proved".
Judging by my teaching experience in France, the university students' idea of mathematics (even of those taught mathematics at the École Normale Supérieure - I feel sorry most of all for these obviously intelligent but deformed kids) is as poor as that of this pupil.
For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z^2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).
Beginning with l'Hospital's first textbook on calculus ("calculus for understanding of curved lines") and roughly until Goursat's textbook, the ability to solve such problems was considered to be (along with the knowledge of the times table) a necessary part of the craft of every mathematician.
Mentally challenged zealots of "abstract mathematics" threw all the geometry (through which connection with physics and reality most often takes place in mathematics) out of teaching. Calculus textbooks by Goursat, Hermite, Picard were recently dumped by the student library of the Universities Paris 6 and 7 (Jussieu) as obsolete and, therefore, harmful (they were only rescued by my intervention).
ENS students who have sat through courses on differential and algebraic geometry (read by respected mathematicians) turned out be acquainted neither with the Riemann surface of an elliptic curve y^2 = x^3 + ax + b nor, in fact, with the topological classification of surfaces (not even mentioning elliptic integrals of first kind and the group property of an elliptic curve, that is, the Euler-Abel addition theorem). They were only taught Hodge structures and Jacobi varieties!
How could this happen in France, which gave the world Lagrange and Laplace, Cauchy and Poincaré, Leray and Thom? It seems to me that a reasonable explanation was given by I.G. Petrovskii, who taught me in 1966: genuine mathematicians do not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They can unite on various grounds (it could be super-abstractness, anti-Semitism or "applied and industrial" problems), but the essence is always a solution of the social problem - survival in conditions of more literate surroundings.
By the way, I shall remind you of a warning of L. Pasteur: there never have been and never will be any "applied sciences", there are only applications of sciences (quite useful ones!).
In those times I was treating Petrovskii's words with some doubt, but now I am being more and more convinced of how right he was. A considerable part of the super-abstract activity comes down simply to industrialising shameless grabbing of discoveries from discoverers and then systematically assigning them to epigons-generalizers. Similarly to the fact that America does not carry Columbus's name, mathematical results are almost never called by the names of their discoverers.
In order to avoid being misquoted, I have to note that my own achievements were for some unknown reason never expropriated in this way, although it always happened to both my teachers (Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin) and my pupils. Prof. M. Berry once formulated the following two principles:
The Arnold Principle. If a notion bears a personal name, then this name is not the name of the discoverer.
The Berry Principle. The Arnold Principle is applicable to itself.
Let's return, however, to teaching of mathematics in France.
When I was a first-year student at the Faculty of Mechanics and Mathematics of the Moscow State University, the lectures on calculus were read by the set-theoretic topologist L.A. Tumarkin, who conscientiously retold the old classical calculus course of French type in the Goursat version. He told us that integrals of rational functions along an algebraic curve can be taken if the corresponding Riemann surface is a sphere and, generally speaking, cannot be taken if its genus is higher, and that for the sphericity it is enough to have a sufficiently large number of double points on the curve of a given degree (which forces the curve to be unicursal: it is possible to draw its real points on the projective plane with one stroke of a pen).
These facts capture the imagination so much that (even given without any proofs) they give a better and more correct idea of modern mathematics than whole volumes of the Bourbaki treatise. Indeed, here we find out about the existence of a wonderful connection between things which seem to be completely different: on the one hand, the existence of an explicit expression for the integrals and the topology of the corresponding Riemann surface and, on the other hand, between the number of double points and genus of the corresponding Riemann surface, which also exhibits itself in the real domain as the unicursality.
Jacobi noted, as mathematics' most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.
These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.
The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.
The de-geometrisation of mathematical education and the divorce from physics sever these ties. For example, not only students but also modern algebro-geometers on the whole do not know about the Jacobi fact mentioned here: an elliptic integral of first kind expresses the time of motion along an elliptic phase curve in the corresponding Hamiltonian system.
Rephrasing the famous words on the electron and atom, it can be said that a hypocycloid is as inexhaustible as an ideal in a polynomial ring. But teaching ideals to students who have never seen a hypocycloid is as ridiculous as teaching addition of fractions to children who have never cut (at least mentally) a cake or an apple into equal parts. No wonder that the children will prefer to add a numerator to a numerator and a denominator to a denominator.
From my French friends I heard that the tendency towards super-abstract generalizations is their traditional national trait. I do not entirely disagree that this might be a question of a hereditary disease, but I would like to underline the fact that I borrowed the cake-and-apple example from Poincaré.
The scheme of construction of a mathematical theory is exactly the same as that in any other natural science. First we consider some objects and make some observations in special cases. Then we try and find the limits of application of our observations, look for counter-examples which would prevent unjustified extension of our observations onto a too wide range of events (example: the number of partitions of consecutive odd numbers 1, 3, 5, 7, 9 into an odd number of natural summands gives the sequence 1, 2, 4, 8, 16, but then comes 29).
As a result we formulate the empirical discovery that we made (for example, the Fermat conjecture or Poincaré conjecture) as clearly as possible. After this there comes the difficult period of checking as to how reliable are the conclusions .
At this point a special technique has been developed in mathematics. This technique, when applied to the real world, is sometimes useful, but can sometimes also lead to self-deception. This technique is called modelling. When constructing a model, the following idealisation is made: certain facts which are only known with a certain degree of probability or with a certain degree of accuracy, are considered to be "absolutely" correct and are accepted as "axioms". The sense of this "absoluteness" lies precisely in the fact that we allow ourselves to use these "facts" according to the rules of formal logic, in the process declaring as "theorems" all that we can derive from them.
It is obvious that in any real-life activity it is impossible to wholly rely on such deductions. The reason is at least that the parameters of the studied phenomena are never known absolutely exactly and a small change in parameters (for example, the initial conditions of a process) can totally change the result. Say, for this reason a reliable long-term weather forecast is impossible and will remain impossible, no matter how much we develop computers and devices which record initial conditions.
In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.
Complex models are rarely useful (unless for those writing their dissertations).
The mathematical technique of modelling consists of ignoring this trouble and speaking about your deductive model in such a way as if it coincided with reality. The fact that this path, which is obviously incorrect from the point of view of natural science, often leads to useful results in physics is called "the inconceivable effectiveness of mathematics in natural sciences" (or "the Wigner principle").
Here we can add a remark by I.M. Gel'fand: there exists yet another phenomenon which is comparable in its inconceivability with the inconceivable effectiveness of mathematics in physics noted by Wigner - this is the equally inconceivable ineffectiveness of mathematics in biology.
"The subtle poison of mathematical education" (in F. Klein's words) for a physicist consists precisely in that the absolutised model separates from the reality and is no longer compared with it. Here is a simple example: mathematics teaches us that the solution of the Malthus equation dx/dt = x is uniquely defined by the initial conditions (that is that the corresponding integral curves in the (t,x)-plane do not intersect each other). This conclusion of the mathematical model bears little relevance to the reality. A computer experiment shows that all these integral curves have common points on the negative t-semi-axis. Indeed, say, curves with the initial conditions x(0) = 0 and x(0) = 1 practically intersect at t = -10 and at t = -100 you cannot fit in an atom between them. Properties of the space at such small distances are not described at all by Euclidean geometry. Application of the uniqueness theorem in this situation obviously exceeds the accuracy of the model. This has to be respected in practical application of the model, otherwise one might find oneself faced with serious troubles.
I would like to note, however, that the same uniqueness theorem explains why the closing stage of mooring of a ship to the quay is carried out manually: on steering, if the velocity of approach would have been defined as a smooth (linear) function of the distance, the process of mooring would have required an infinitely long period of time. An alternative is an impact with the quay (which is damped by suitable non-ideally elastic bodies). By the way, this problem had to be seriously confronted on landing the first descending apparata on the Moon and Mars and also on docking with space stations - here the uniqueness theorem is working against us.
Unfortunately, neither such examples, nor discussing the danger of fetishising theorems are to be met in modern mathematical textbooks, even in the better ones. I even got the impression that scholastic mathematicians (who have little knowledge of physics) believe in the principal difference of the axiomatic mathematics from modelling which is common in natural science and which always requires the subsequent control of deductions by an experiment.
Not even mentioning the relative character of initial axioms, one cannot forget about the inevitability of logical mistakes in long arguments (say, in the form of a computer breakdown caused by cosmic rays or quantum oscillations). Every working mathematician knows that if one does not control oneself (best of all by examples), then after some ten pages half of all the signs in formulae will be wrong and twos will find their way from denominators into numerators.
The technology of combatting such errors is the same external control by experiments or observations as in any experimental science and it should be taught from the very beginning to all juniors in schools.
Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.
It is only possible to understand the commutativity of multiplication by counting and re-counting soldiers by ranks and files or by calculating the area of a rectangle in the two ways. Any attempt to do without this interference by physics and reality into mathematics is sectarianism and isolationism which destroy the image of mathematics as a useful human activity in the eyes of all sensible people.
I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).
The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).
We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.
This is all the definition there is. The so-called "axioms" are in fact just (obvious) properties of groups of transformations. What axiomatisators call "abstract groups" are just groups of transformations of various sets considered up to isomorphisms (which are one-to-one mappings preserving the operations). As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?
By the way, in the 1960s I taught group theory to Moscow schoolchildren. Avoiding all the axiomatics and staying as close as possible to physics, in half a year I got to the Abel theorem on the unsolvability of a general equation of degree five in radicals (having on the way taught the pupils complex numbers, Riemann surfaces, fundamental groups and monodromy groups of algebraic functions). This course was later published by one of the audience, V. Alekseev, as the book The Abel theorem in problems.
What is a smooth manifold? In a recent American book I read that Poincaré was not acquainted with this (introduced by himself) notion and that the "modern" definition was only given by Veblen in the late 1920s: a manifold is a topological space which satisfies a long series of axioms.
For what sins must students try and find their way through all these twists and turns? Actually, in Poincaré's Analysis Situs there is an absolutely clear definition of a smooth manifold which is much more useful than the "abstract" one.
A smooth k-dimensional submanifold of the Euclidean space R^N is its subset which in a neighbourhood of its every point is a graph of a smooth mapping of R^k into R^(N - k) (where R^k and R^(N - k) are coordinate subspaces). This is a straightforward generalization of most common smooth curves on the plane (say, of the circle x^2 + y^2 = 1) or curves and surfaces in the three-dimensional space.
Between smooth manifolds smooth mappings are naturally defined. Diffeomorphisms are mappings which are smooth, together with their inverses.
An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?
It is this wonderful theorem (which states, for example, that any compact connected oriented surface is a sphere with a number of handles) that gives a correct impression of what modern mathematics is and not the super-abstract generalizations of naive submanifolds of a Euclidean space which in fact do not give anything new and are presented as achievements by the axiomatisators.
The theorem of classification of surfaces is a top-class mathematical achievement, comparable with the discovery of America or X-rays. This is a genuine discovery of mathematical natural science and it is even difficult to say whether the fact itself is more attributable to physics or to mathematics. In its significance for both the applications and the development of correct Weltanschauung it by far surpasses such "achievements" of mathematics as the proof of Fermat's last theorem or the proof of the fact that any sufficiently large whole number can be represented as a sum of three prime numbers.
For the sake of publicity modern mathematicians sometimes present such sporting achievements as the last word in their science. Understandably this not only does not contribute to the society's appreciation of mathematics but, on the contrary, causes a healthy distrust of the necessity of wasting energy on (rock-climbing-type) exercises with these exotic questions needed and wanted by no one.
The theorem of classification of surfaces should have been included in high school mathematics courses (probably, without the proof) but for some reason is not included even in university mathematics courses (from which in France, by the way, all the geometry has been banished over the last few decades).
The return of mathematical teaching at all levels from the scholastic chatter to presenting the important domain of natural science is an espessially hot problem for France. I was astonished that all the best and most important in methodical approach mathematical books are almost unknown to students here (and, seems to me, have not been translated into French). Among these are Numbers and figures by Rademacher and Töplitz, Geometry and the imagination by Hilbert and Cohn-Vossen, What is mathematics? by Courant and Robbins, How to solve it and Mathematics and plausible reasoning by Polya, Development of mathematics in the 19th century by F. Klein.
I remember well what a strong impression the calculus course by Hermite (which does exist in a Russian translation!) made on me in my school years.
Riemann surfaces appeared in it, I think, in one of the first lectures (all the analysis was, of course, complex, as it should be). Asymptotics of integrals were investigated by means of path deformations on Riemann surfaces under the motion of branching points (nowadays, we would have called this the Picard-Lefschetz theory; Picard, by the way, was Hermite's son-in-law - mathematical abilities are often transferred by sons-in-law: the dynasty Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch is yet another famous example in the Paris Academy of Sciences).
The "obsolete" course by Hermite of one hundred years ago (probably, now thrown away from student libraries of French universities) was much more modern than those most boring calculus textbooks with which students are nowadays tormented.
If mathematicians do not come to their senses, then the consumers who preserved a need in a modern, in the best meaning of the word, mathematical theory as well as the immunity (characteristic of any sensible person) to the useless axiomatic chatter will in the end turn down the services of the undereducated scholastics in both the schools and the universities.
A teacher of mathematics, who has not got to grips with at least some of the volumes of the course by Landau and Lifshitz, will then become a relict like the one nowadays who does not know the difference between an open and a closed set.
V.I. Arnold
Translated by A.V. GORYUNOV
4:25 PM | Add a comment | Read comments (1) | Permalink | Blog itAugust 20
读网手记——2010 Fields Medal winner
今年的获奖名单已经出来了，官方网站上可以看到：Prize Winners 2010
网上还有些讨论：
2010 Fields Medal winner
还看到关于Jacob Lurie的讨论，虽然他没得奖，但是追捧他的人好象不少。我看不懂他做的东西，但至少可以看看别人写的八卦。呵呵。
说说为什么Jacob Lurie会受到热捧
下边是关于历史的：
How to find ICM talks?7:43 PM | Add a comment | Permalink | Blog itAugust 14
关注Morse Theory
读了读Bott的文章Morse theory indomitable（非常值得一读的），文中可以说是全面地展现了Morse Theory的重要性。所以，自己觉得应该把它好好地学习一下。在文中，Bott把Morse theory其后的发展分成了几个时期并且给出了引导其发展的关键人物，四十年代是Thom,六十年代是Smale,七十年代是Witten,八十年代是Floer（由于文章写于八十年代所以其后有什么新思想的出现就不知道了）。
网上有E.Getzler教授二零零六年Morse Theory讨论班的阅读材料下载Readings for Seminar on Morse Theory (Spring, 2006)
Topology and its Applications里也有一些关于Morse Theory的资料
在Mathoverflow上也有一些关于Morse Theory的讨论可以读读：
Is there a Morse theory for sections of bundles or more generally for maps?这个问题我在糊思乱想时也想过，我把Morse函数看成一个一维平凡丛的截面，那么，它所具有的结构，自然想到一般截面是否能具有。而这里边的讨论里讲到这个问题和宇宙学问题联系了起来，说明还是挺有价值的。
existence of Morse functions satisfying the Palais-Smale condition 这是一个好问题，Palais评价说。
Is there a Morse theory proof of the Bruhat decomposition?
CW-structures and Morse functions: a reference request
Level sets of Morse functions 9:25 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 29
读网手记——诺贝尔经济学奖得主与数学
摘录于：http://bbs.ccnu.com.cn/frame.php?frameon=yes&referer=http%3A//bbs.ccnu.com.cn/viewthread.php%3Ftid%3D1980683
1975
1975年的诺贝尔经济学奖授予苏联数学家Leonid Vitaliyevich Kantorovich(1912-1986) 和美籍荷兰裔经济学家Tjalling C.Koopmans (1910-1986)，以奖励他们对资源最优配置理论的贡献。
所谓“资源最优配置问题”就是研究怎样利用有限的资源，使其取得的效益最大。它是经济学中最基本的问题，甚至还有人认为经济学就只研究资源最优配置。这类问题一般可以表达为一个约束极值问题。Kantorovich较多地利用线性规划技巧来研究资源配置，而Koopmans则更多地把它表达为变分学或最优控制问题。如所周知约束极值问题可以用Lagrange乘子法来处理。而Kantorovich和Koopmans都发现问题中的Lagrange乘子（在线性规划情形下，Lagrange乘子就是对偶问题的解）都有特殊的经济意义，并由此提出新的经济概念。Kantorovich对此用的仍然是数学名词“解乘子”，而Koopmans则把它们称为“影子价格”。这些概念现在都已经成为经济分析中的经典。Kantorovich是前苏联的一位大数学家。他14岁就进入了列宁格勒大学数学系，17岁解决了实分析大家Lusin提出的一些难题，并于1930年被邀请参加全苏数学家大会。22岁晋升为正教授。他在实分析、泛函分析、计算数学等许多领域都有开创性工作。他的许多著作都曾被译成中文〖如《高等分析中的近似方法》(1936，与V.I.Krylov合著)、《半序空间中的泛函分析》(1950，与B.Z.Vulich, G.Pinsker合著)、《赋范空间中的泛函分析》(1959与G.P.Akilov合著) 等都有中译本)〗，对我国数学界有很大影响。他在泛函分析和计算数学方面的成就使他获得1949年的斯大林奖金。1939年起Kantorovich开始关心研究生产计划和经济问题，并出版了《生产计划和组织的数学方法》一书（也有中译本）。这是最早应用线性规划来研究生产问题的经典文献。后来他逐渐转入以研究经济问题为主，领导一批苏联数学家共同研究。为此他又获得1965年的列宁奖金。
Koopmans虽不是专业数学家，但他在荷兰的大学学习期间却是先学习数学，后又转向理论物理。再后来，他又对马克思经济学感兴趣。最后，才开始追随他的同胞、1969年第一届诺贝尔经济学奖得主Jan Tinbergen学习数理经济学。他在数学物理系得到博士学位，但是提交的论文却是一篇Tinbergen指导下的经济学论文。二次世界大战期间，他移居美国，逐渐成为经济活动分析和最优经济增长理论研究的带头人。他的许多研究工作都可以看作属于运筹学范畴，因此，运筹学工作者对他也都相当熟悉。
1976
1976年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家Milton Friedman (1912-), 以奖励他在消费分析、货币史和货币理论以及他对稳定化政策的复杂性的论证。
Friedman以作为主张经济自由放任的货币主义芝加哥学派的创始人而著称。他对货币史、货币在通货膨胀中的作用、货币政策的影响的研究极为深刻。对此，他回顾了1867-1960年的美国货币史，并构造数学模型，考察货币供应量与由此引起的收入和价格的变化之间的关系。他的“货币主义”结论，粗糙地说，就是政府在经济方面只要管好货币政策，其他都不必管。这当然在学术上引起很大争论。尽管如此，货币主义理论对欧美各国的中央银行的货币政策的影响仍然是极为深远的。1950年以后，他更是鼓吹他的学说，积极推进基于自由汇率的国际货币体制。但是人们认为他在学术上更有意义的贡献是更新基于“持久收入”假设、而不是基于逐年收入假设的消费理论。也就是说，他用统计分析指出，人们的消费习惯确实更多地是从“终生”来考虑，而较少出于“今日有酒今日醉”。同时，他还提出经济政策中的“观察延迟”、“决策延迟”、“效应延迟”来表达某些以前被忽略的基本问题，由此可更确切地来为商情周期中的稳定化程度定时。这一观点也被一些国家的中央银行在一定程度上所接受。
Friedman出身于美国纽约州的一个东欧移民家庭。他大学时代开始时学的是数学，其志向是通过精算师考试，到保险公司工作。由于他的有些考试没有通过，他又开始对经济学感兴趣。研究生学习阶段，他同时收到了Brown大学的应用数学专业和芝加哥大学经济系的录取通知。最后他选择了去芝加哥大学，师从计量经济学家H. Schultz。后来他又在Schultz的介绍下去哥伦比亚大学向H. Hotelling学习。Hotelling使他受到了严格的数理统计和数理经济学的训练。这些经历都使Friedman的研究带有浓厚的数学色彩。
1977
1977 年的诺贝尔经济学奖授予瑞典经济学家 Bertil Ohlin (1899—1979) 和英国经济学家 James E. Meade(1907—1995), 以奖励他们对国际贸易和国际资本运动的突破性贡献。
Ohlin 的最重要的贡献是他于 1931 年出版的《区间贸易和国际贸易》。在这本专著中，他用一般经济均衡的框架发展了 Heckscher 在 1919 年发表的《外贸对收入的影响》的一文中的思想，而形成今天的国际贸易理论中的经典 Heckscher-Ohlin 定理。这一定理阐明什么因素确定外贸模式和国际分工；同时，也指出外贸对资源配置、价格关系和收入分配的效应。Meade 的主要著作则是 1951－55 年出版的《国际经济政策理论》，其中他论述了外贸经济政策的效应，并剖析了“开放”经济 (极为依赖外贸的经济) 的稳定化政策问题。他的分析尤其集中于内外均衡的必要条件，并指出成功的稳定化政策不但要考虑对商品和劳务的总需求水平，也要考虑价格和费用的关系。
Ohlin 和 Meade 的学说都相当数学化。在上述的 Meade 的著作中， Meade 甚至还专门写了两个相当长的数学附录。Meade 在 1952 年出版的一本专著的标题还被称作《国际贸易的几何学》。他们的理论自然都需要实证分析支持。但是在 20 世纪 50 年代以前，这种实证分析很难进行。而到了 60 年代以后，一方面由于经济体系的全球化，另一方面也由于计算技术的大发展，他们的理论就变得越来越受重视，实际验证也越来越多
1978
1978 年的诺贝尔经济学奖授予美国德裔经济学家Herbert A. Simon (1916—), 以奖励他对在经济组织内部的决策过程的先驱性研究。
Simon 的学术贡献远远超出经济学范围。他对决策过程的研究影响遍及政治学、管理学、心理学、运筹学、信息科学等。他在 1947 年出版的《管理行为》一书是一本划时代的著作。在这本专著以及以后的一系列论文中，尤其是在 1960 年出版的《管理决策的新科学》一书中，Simon 提出了一种与传统的微观经济学研究极为不同的观点。传统的观点不区分企业与企业家，并总假定他们“完全理性”地去追求一个目标：利润最大化。而实际上，随着企业的规模越来越大，企业的所有权与经营权越来越分离，企业内部的组织管理就越来越重要。他把企业描绘为一个物理的、个人的和社会成分的自适应系统，企业家被取代为许多相互合作的决策者。面对着未来的不确定性和当前搜集信息的费用，这些决策者们不再有“完全理性”，而只有“有限理性”。他们不再追求“最大”，而只追求“满意”。每个部门决策者在考虑到别人的情况后，力求对自己的问题求出“满意”解答，使得整个企业不再追求利润最大，而只寻求问题的可接受的解答。这样的思想在今天已经变成管理科学的基本观念。
Simon 年轻时就立志成为一名“数学社会科学家”。他认为社会科学应该与自然科学同样严格，同样有数学根底。因此，他在芝加哥大学学习时，向许多名家学习数理统计、计量经济学、数理经济学、政治学、逻辑学、数学生物物理、科学哲学等等。他在计量经济学方面也有不少出色的工作。投入产出矩阵有正解的存在性定理在今天称为 Hawkins-Simon 定理就是一个例子。他的管理理论带来许多数学问题。为此他发展了动态规划的技巧，导出了对于不确定性条件下的确定等价最优决策定理等等。同时，他的研究还紧密结合算法和计算机程序，并使他曾把认知过程的计算机模拟作为他的中心研究课题。因此，他也是人工智能方面的一位先驱者，并且还曾荣获计算机科学奖。总之，他确实已经成为一位当代影响最大的“数学社会科学家”。
1979
1979 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家Theodore W. Schulz (1902—1998) 和出生于英属西印度群岛的英国经济学家 Sir Arthur Lewis (1915—1990) 以奖励他们对经济增长的先驱性研究，特别是对发展中国家的经济增长研究。
Schultz 和 Lewis 的研究都是非常具体的。Schultz 以一名农业经济学家而著称，而作为一位黑人学者，Lewis 更关注发展中国家的贫困问题。尽管他们着眼的都是各种经济历史资料，但是要上升到经济增长理论，仍然使他们不得不求助于数学思维和数学模型。 Schultz 对农业发展潜力的分析基于非均衡方法。运用这样的方法，Schultz 在不同的背景下对发展中国家的工业化政策和她们对农业的忽视提出详尽的批判。他首先系统分析教育投资是如何影响农业生产率和整个经济。作为一阶近似，他还定义了教育中的累计投资之和来衡量教育资本的大小。这些教育投资的成本的大部分构成就业所得在求学期间的损失。这样的观点在国家和个人两方面都能应用。在经济发展的模型中把人力资源或人力资本作为重要因素也是自 Schultz 及其学生开始的。Lewis 在研究发展中国家的经济时，提出两个著名的模型。第一个模型基于发展中国家的双重本性。一方面是首先基于自给自足的按传统运作的农业部门，它们占用了人口中的极大部分劳力；另一方面是现代市场定向的部门，主要是工业部门。经济的驱动力来自后一部门，它不断向农业部门提出无限制的劳力需求，而工人则接受对应农村中的低生活标准的低工资。现代部门中的利润使储蓄增长，形成扩张的资本积累。 Lewis 的另一个基本模型是把发展中国家和发达国家之间的贸易看成原材料和农产品与工业产品之间的贸易。在模型中有两组国家，每一组国家生产两种产品，其中一种是公共的，那就是食品。另外两种产品，在模型中称为“钢”与“咖啡”，是进行贸易的。Lewis 指出，怎样在规定的条件下，贸易取决于发展中国家和发达国家的农业生产率。
总之，他们两人的研究不但为经济增长理论作出重要贡献，并且也为如何用简单的数学模型来抓住经济现象的本质以及用实际统计数据来进行验证，作出经典性的范例。
1980
1980 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家 Lawrence R. Klein (1920—), 以奖励他创立经济模型，并把它们应用于经济波动和经济政策的分析。
Klein 是宏观经济计量模型的大师。他复兴了 Tinbergen (1969 年首届诺贝尔经济学奖获得者) 在 20 世纪 30 年代开始的宏观经济计量分析，但是他使用不同的经济理论和不同的统计技巧。其追求的目标也有所不同。Tinbergen 针对的是商情状况和价格运动，而 Klein 则期望建立一个预测商情波动的发展和研究经济政策度量的效应的工具。1950 年他发表了某些战争期间的美国经济的数值模型，以后又沿着同样的路线继续研究，提出更多的计量经济模型，其中最著名的是他与 Arthur Goldberger 合作的模型，它已经在计量经济学中成为经典。
Klein 早期的论文主要是方法论性质的。例如他的第一个美国经济模型只有 6 个变量，没有任何实用价值。然而，他后来提出的一些模型就越来越有实用目的。他曾与英国、加拿大等许多国家都合作建立过计量经济模型。20 世纪 60 年代以后，他又领导过“Brookings- SSRC 项目”(SSRC 是“社会科学研究委员会”的缩写)，为美国建立计量经济模型用于预测美国经济的短期发展。后来他在宾州大学创立的 Wharton 计量经济预测协会以一系列 Wharton 计量经济预测模型闻名于世。其规模虽然未能与 Brookings 模型相比，却有极好的声誉。至今人们还用它们来预测国民生产、进出口、投资、消费等等的波动，以及研究税收、公共支出、石油价格的提高等等的变化对这些变量的效应。后来他又领导更大的研究计划 LINK。这一计划的目标是协调世界各国的计量经济模型，其中包括各石油输出国家、前苏联和东欧社会主义国家以及中华人民共和国。为此 Klein 于 1980 年还带领许多美国经济学家来中国讲学。这次讲学几乎成了中国计量经济学研究的开端。
Klein 的这些宏观经济计量模型研究的影响是不可估量的。正是他把建立宏观经济模型成为一个投资巨大 (一个大型宏观计量经济模型可能耗资几亿美元) 的行业，使得世界各国政府、研究机构、公共管理部门，以至银行、大企业等都年复一年地运转计量经济模型。虽然他本人始终从事非盈利的研究工作，但是他的许多门徒开办的经营经济计量模型的公司都收入颇丰。一个宏观经济模型涉及的变量要上千个，甚至几十万个。要驾驭如此之多的变量的统计特性自然引起许多数学问题。Klein 在他的自传中特别强调数学教育对他一生的影响。正是因为他在大学期间同时修了经济学和数学，才使他进入当时方兴未艾的计量经济学领域，并成为这方面的领袖人物。
1981
1981 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家James Tobin (1918--), 以奖励他对金融市场及其与支出决策、就业、生产和价格的关系的分析。
Tobin 的成就覆盖了许多经济学研究领域，其中包括计量经济学方法、严格的形式化的风险理论、居民和厂商行为理论、一般宏观经济学理论、应用经济政策分析等。对于数学工作者来说，首先会想到计量经济学中有 Tobit 模型。这起源于Tobin 1958 年关于耐用消费品的研究。消费者有欲望去购买耐用消费品必须在其它基本需求已得到满足时才有可能。为刻划这样的需求，必须在模型中引进特殊的定性变量。这类模型就是所谓Tobit 模型。Tobin 也被认为是 Markowitz (1990 年诺贝尔经济奖获得者) 证券组合选择理论的奠基人，并且把它广泛地应用到居民和厂商的投资行为理论中去。他实际上最早提出二基金分离定理，即每一有效的投资组合都可由两个有效组合来生成，从而投资者面对众多证券进行组合与只对银行帐户和某一有效的基金进行组合是一样的。但是 Tobin 对经济学最重要的贡献是为凯恩斯经济学提供了最为严格的数学模型基础，并使宏观经济学与货币经济学的逻辑紧密结合。他把证券组合选择理论的观念引进对于金融资产和实在资产的一般经济均衡理论，由此来分析金融市场和实在商品市场之间是如何交互作用的。他强调金融事件对实在资产的 (投资和消费) 需求的影响，并得出两方面的基本结果：首先是所谓“传输机理”：税率变化、中央银行买卖政府债券和国库券的变化之类的货币政策和财政政策是如何影响国民收入的。其次是由货币政策和财政政策所引起的产量和价格水平的变化是怎样成为名义国民收入变化的因素。为此 Tobin 还提出工资形成问题等等。他的一系列研究对西方在 70 年代以后关于货币政策的影响、政府预算赤字的后果、一般的经济稳定化政策等研究都起着奠基作用。
1982
1982 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家George J. Stigler(1911--1991), 以奖励他对行业结构，市场功能以及公共监管的起因和效应的系统研究。
Stigler 被认为是“信息经济学”(这也是他于1961 年出版的专著的标题) 与“监管经济学”的创始人，是经济学与法学的交叉研究的先驱者。传统的经济学在阐述市场过程时，都有很强的假定，使得许多个别市场现象无法解释。例如，一般均衡的市场理论断言，市场上的每一种商品都只能有一种价格。但实际情况并非如此，除了没有考虑运输费用等以外，信息的不完备是一个主要原因。研究信息在市场中的作用就是信息经济学的主题。Stigler 是首先对市场上同样的商品会有不同的价格作出深入分析的经济学家。一个典型例子是人们在购买房屋、汽车、家用电器之类的耐用消费品时，会发现价格分歧很大，而消费者也会广泛收集有关信息，来使自己买到最合用的商品。 Stigler 把这样的问题模型化为效用函数的变量中还有信息变量。这一数学观念很快就被广泛运用。虽然 Stigler 本人的研究是从线性规划、价格理论的实证分析等与数学关系很密切的课题开始的，但是他关于信息经济学的工作总的来说并不很数学化。然而，他的理论框架显然为如何为它们数学建模提出许多问题。信息论在其中肯定大有用武之地。在带不确定性的一般经济均衡模型中引入信息结构，在激励机制模型中引入信息传递等等也都受到 Stigler 的影响。至于“监管经济学”更多地是与法学相联系，但是 Stigler 仍认为，经济学分析的有力工具，尤其是效用最大化的行为理论，仍能给出非常成功的预测。
1983
1983 年的诺贝尔经济学奖授予美籍法裔经济学家Gerard Debreu (1921--), 以奖励他把新的解析方法引进经济理论以及对一般经济均衡理论严格重新叙述。
Debreu 完全是在第二次世界大战期间由法国的 Bourbaki精神培养出来的数学家。1946 年，当他作为数学家在法国国家科研中心工作时，他开始对一般经济均衡的数学理论发生兴趣，从此使他一生都献给了数理经济学。他甚至被认为是现代数理经济学的奠基人，因为他把Bourbaki 的公理化方法引进了经济学。他在 1959 年发表的对一般经济均衡的公理化叙述的专著：《价值理论》被认为是现代数理经济学的划时代著作。
一般经济均衡价格的存在问题是亚当．斯密以来的微观经济学的基本问题，即各经济活动者是如何通过价格体系来互相协调经济活动的。1874 年，法国经济学家 L.Walras 把这一问题表达为数学形式：假定一个经济体中有若干种商品，若干个消费者，若干个生产者。消费者追求消费效用最大，生产者追求生产利润最大。由此引起的消费需求和生产供给都是商品价格的函数。那么是否在一定条件下，存在一个所谓一般均衡价格体系，使得供给与需求相等。Walras 认为这可归结为由供给等于需求决定的方程组的求解。但是 Walras 没有意识到他面临的方程组是一个非线性方程组，而只是简单地比较方程个数与未知量的个数来断定方程有解。这一错误很快就被人们所意识到，以至变为经济理论中的悬案。几十年来许多经济学家和数学家都对此进行过探索。1954 年 Arrow (1972 年诺贝尔经济学奖获得者) 和 Debreu 第一次给出了一般经济均衡的严格叙述和存在证明，其中尤其是引进了集值映射、凸性、不动点定理等数学工具。这使得 80 年来，一般经济均衡理论真正开始成为严格完整的理论体系。而《价格理论》又进一步使这一理论体系变为公理化体系。从此，数学公理化方法成为经济学研究的基本方法。
Debreu 后来还有一系列在数学上相当深刻、经济学上影响很大的研究。其中之一是他于 1970 年为了研究一般均衡的局部唯一性，提出了“正则经济学”的概念。其基本思想是把价格规范化以后,n 维价格向量可看作 n 维单位球面上在第一卦限上的向量，而超需 (需求减去供给) 映射作为价格的 n 维映射，由于它要满足财务平衡的要求，必须与价格向量正交。这样超需映射可看作n 维单位球面上的向量场，以至一般均衡存在问题变为该向量场是否有零点的问题。 Debreu 为此应用了Sard 定理和 Poincare-Hopf 定理，指出“极大多数”经济都是“正则经济”，而“正则经济”必定存在有限个一般均衡。有关研究后来引起1960 年 Fields 奖得主 S.Smale的极大兴趣，使他后来发表了一系列题为“大范围分析与经济学”的论文。另一个问题是 Walras 均衡与 Edgeworth 均衡是否一致的问题。所谓Edgewarth 均衡是在一个不带生产者的纯交换经济中交易者们通过互利谈判最后达到的商品交换均衡。它与一般均衡价格体系下达到的 Walras均衡是否一致被称为 “Edgeworth 猜想”。1963 年他与 H.Scarf 联合发表的论文指出，当交易者越来越多，使得同样的商品交换的机会越来越多时， Edgeworth 均衡会趋于 Warlas 均衡。这一研究引起了对“大 (large)经济”的系统研究。其中尤其引入注目的是 1964 年 Aumann 用无原子测度空间来表示交易者全体以及 1972 年 D.J.Brown 和非标准分析的创始人A.Robinson 用非标准无限大来表示交易者的个数。后者是非标准分析历史上第一个非标准数学模型。
1974 年，Debreu 应邀在温哥华的国际数学家大会上作报告。由此也可见Debreu 的工作对数学的深远影响。
1984
1984 年的诺贝尔经济学奖授予英国经济学家 Richard Stone(1913--1991), 以奖励他对发展国民经济核算体系从而大大改进了经验经济分析基础的基本贡献。
Stone 从 1940 年起就开始为英国设计国民经济核算体系，使各生产部门的产出和资源消耗一目了然。由此推进了非常广泛的统计研究。他的工作很快就被推广到早年的国联和后来的联合国，使后来国民经济核算体系国际化，非常便于比较不同国家之间的经济状况。
Stone 的出发点是要在居民、企业、公共部门、世界各国之间建立起交易关系来。问题在于如何把浩瀚的个体汇总成若干个部门，并且要使汇总后的部门间的交易关系对于国民经济核算来说是有意义的。简单的归并显然不行。这就需要经济学上的考虑以及数学和统计上的处理。
Stone 的著作甚丰。可以说，他的所有研究都围绕如何用数字来度量和表示经济状况。他在他的自传中说到，他小时候热衷于做火车、轮船之类的模型，而成年后却总做数学模型。除了他的大量有关国民经济核算的著作外，他还发表了诸如《社会核算和经济模型 (1959)》、《经济增长的可计算模型 (1962)》、《1920－1938 年英国的消费支出和行为的测量 (1967)》、《人口核算和建模 (1970)》等专著。由这些题目我们都可看到数学建模对 Stone 的经济研究的关键作用。
1985
1985 年的诺贝尔经济学奖授予美籍意裔经济学家Franco Modigliani (1918－), 以奖励他对储蓄和金融市场的先驱性分析。
对于家庭储蓄问题，Modigliani 与他的英年早逝的学生 Brumberg 于 1952－1954 年期间用数学模型提出“生命周期假说”。在这个模型中，他们假定人们储蓄就是为了自己的一生 (特别是包括收入较低的退休期)，而不是为了留给后代；他的消费只依赖于他毕生的收入，而与他当前的收入无关。于是就可得出短期储蓄取决于其毕生平均收入与当前收入的差异以及终生消费分配效用的最大化。这样的模型与实际非常符合。尤其是它能用来合理解释国民收入增加并不使储蓄率提高，穷人的储蓄率通常比富人高等现象。同时，如果这样的“生命周期假说”成立，就要得出征收消费税比征收当前收入的所得税更合理，而试图用临时性所得税来抑制或刺激消费需求是不能成功的。
对于金融市场问题，他与 Miller (1923－, 1990 年诺贝尔经济奖获得者) 在 1958 年提出的 Modigliani-Miller 定理已经成为公司财务理论的基础。我们在介绍 Miller 时已经提到过这一定理。这里可再进一步介绍的是MMT 是用“无套利假设”通过数学推导而得到的第一条金融市场方面的定理。由此后来形成一整套套利定价理论，它是数理金融学的最重要的组成部分。除了这些得奖工作外， Modigliani 在 60 年代一直为美国联邦储备银行负责设计大规模的美国经济模型。直到现在这些模型还在使用。
1986
1986 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家 James McGill Buchanan Jr.(1919—), 以奖励他对政治决策和公共经济学理论的贡献。
Buchanan 所研究的理论称为“公共选择学 (Public Choice)”或 “新政治经济学”。传统经济学研究的是消费者和生产者如何在市场上根据各自的利益在生产、消费、投资、就业上作出抉择；而 Buchanan 则把政治行为理解为类似于市场行为那样来研究政治决策。政治过程由此就变成一种为达到互利的目的的合作手段。但是这种过程的结果依赖于“游戏规则”，即各种法规。这样，制订各种法规和法制改革的可能性就变得特别重要。
Buchanan 的研究中使用数学论证不多。甚至他对某些脱离经济内容的数理经济学研究有相当强烈的批评。例如，他对与公共选择学基本上研究同样问题的“社会选择学 (Social Choice)”就明确表示不满意。社会选择学可以说就是“数理公共选择学”。其奠基定理——Arrow 不可能性定理是 1972 年诺贝尔经济奖得主 K. Y. Arrow 完全用数学公理化方法来陈述和证明的。但是 Buchanan 认为，因为人们的价值观念并不能完全用社会福利函数这种数学形式来表述，这样的研究是有缺陷的。对于一些公共选择学问题的对策论研究他也持类似的态度。总之，他认为数学对于经济学来说，只是提供了一种语言上的补充，而不是全部。尽管如此，我们仍然可以看到 Buchanan 对数理经济学研究非常熟悉，并且在理解上更为深刻。因此，他对某些无视经济学实质的数理经济学研究的批评确实一针见血。这与某些对数学一无所知、却要全盘否定数学方法在经济学中的作用的来自经济学界的批评是截然不同的。此外，我们还可以看到，Buchanan 的论述就像一些法学家那样，显然隐含着一种与数学一样的强大的逻辑力量。
1987
1987 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家 Robert M. Solow (1924--), 以奖励他对经济增长理论的贡献。
长期来，经济增长理论都是经济学研究的中心论题。Solow 的贡献之一在于他在 1956 年为新古典主义经济增长理论建立了一个数学框架，使得各种经济因素在经济增长中的作用既可在理论上、也可在实际度量上得到阐明。这一数学框架是用微分方程来刻画的。
考虑技术进步时，由此可推出，对长期经济增长来说，资本、劳力和产出趋向于有同样的增长率。如果进一步考虑技术进步，那么可导出实际收入的增长将取决于技术进步。随后，Solow 又在两篇分别题为《技术变更和总量生产函数》和《投资和技术进步》的论文中进一步论证技术进步在经济增长的作用，在理论上和实际统计数据分析上都指出，经济增长中只有很小的比例可用资本和劳力的增长来解释，相当大部分的增长应归功于技术进步。Solow 的数学模型和由此给出的分析对经济增长理论和实际经济分析产生了极为巨大的影响。
Solow 在 Havard 大学攻读博士学位时，师从投入产出分析的创始人 W. Leontief (1973年诺贝尔经济学奖得主)；后来他在麻省理工学院任教时又与大经济学家 P. Samuelson (1970 年诺贝尔经济学奖得主) 共事。这两位诺贝尔经济学奖得主都以用数学方法研究经济学而著称，对 Solow 自然都有很深的影响。Solow 的在Havard 大学荣获 Wells 奖的博士论文就用 Markov 过程来研究工资收入的变化。而他与 Samuleson 和 Dorfmann 合作于 1958 年出版的《线性规划与经济分析》一书在数学界也很受重视。此外，他还长期从事统计学和计量经济学的教学，可见其数学修养是非常全面的。
1988
1988 年的诺贝尔经济学奖授予法国经济学家 Maurice Allais (1911—),以奖励他在市场和资源的有效利用理论中的先驱工作。
Allais 最著名的工作莫过于他在 1953 年所提出的 Allais 悖论。这个悖论是针对所谓期望效用函数理论的。所谓效用函数是衡量消费者满意程度的函数。在确定性的市场环境下，效用函数是商品向量的函数。在不确定的市场环境下，效用函数又是随机商品向量的函数。在数学上，一个自然的数学假定是：随机商品量的数学期望的效用应该等于随机商品量的效用的数学期望。由此出发，人们列出了这种所谓 von Neumnn-Morgenstein 期望效用函数的公理体系，并证明在至多相差一个仿射变换的意义下的，期望效用函数是唯一的。于是对于不确定市场环境下的经济行为 (尤其是金融市场行为) ，就可用期望效用函数来刻画。这样的理论曾风行几十年，谁也没有提出怀疑。而正是 Allais 首先构造了一个例子，并广泛征求人们的判断，使人们发现，上述数学假定与人们日常的判断是不一致的。从数学上来说，随机变量的数学期望有线性性，而要求这种线性性在期望效用函数理论中仍然保持，就会引起与人们对风险态度的不相符。Allais 悖论提出以后，引起了大量的研究，至今仍然方兴未艾。在数学上它导致与经典概率论截然不同的不确定性理论，尤其是可提出非线性的数学期望理论。这方面的研究目前似乎更多的是经济学家在参与。
然而，Allais 获得诺贝尔经济奖主要并非因为 Allais 悖论，而是他对 Walras 的一般经济均衡理论的贡献。一般经济均衡理论是数理经济学的核心。法国经济学家 Lｅon Walras (1834—1910) 也因此被认为是数理经济学的创始人。诺贝尔经济奖获得者有许多人都是因为在一般经济均衡理论研究中有重大贡献而得奖。1983 年获奖的 Gerard Debreu (1923—) 就是其中之一，他正是 Allais 的学生。Allais 的贡献则在于他于 1943 年和 1947 年出版了两本长达八、九百页的巨著，在数学上严格论述一般经济均衡理论。这就为 Debreu 最终严格证明一般经济均衡的存在性奠定了基础。
Allais 的学识极为广博。首先他也是一位著名的运筹学家。他于 1957 年发表的采矿研究论文获得 1958 年的 Johns Hopkins 大学和美国运筹学会Lanchester 奖。同时，他还是一位物理学家，在地球物理方面发表过不少重要论文，并于 1959 年获得法国天文学会的 Galabert 奖和美国重力研究基金会奖。此外，他还是一位历史学家，在 60 年代出版过一本题为《文明的兴起和衰落——经济因素》的专著。此后 20 年间不断修订再版。
1989
1989 年的诺贝尔经济学奖授予挪威经济学家 Trygve Haavlmo (1911—), 以奖励他澄清计量经济学的概率论基础以及他的联立经济结构分析。
Haavelmo 的突破性贡献被称为计量经济学的概率论革命。计量经济学研究开始于本世纪初。当时的计量经济学只使用一些很原始的想法和很简单的回归分析。例如，根据商品的价格和消费的数据，来确定商品需求与价格的关系。这样的研究就像处理物理实验数据，很难对经济现象作出较深刻的结论。Haavelmo 在他发表于 1944 年的博士论文《计量经济学的概率方法》中指出，为了使经济理论可以用实际数据来检验，必须用概率论来陈述；这是因为经济现象涉及大量个体和厂商的行为，各种总量关系必然表现为带有随机“干扰”，以至需要对随机项的分布作一定的假定。于是统计推断理论就可得到应用，并且由此可对经济现象作一定的预测。与此同时，Haavelmo 还指出，在经济现象中各个经济变量之间的关系错综复杂，决不是简单的回归分析可以解决问题，而需要变量间的联立方程组来构造计量经济学模型。这点后来成为一本计量经济学教科书与一本实用数理统计教科书的主要数学区别。Haavelmo 后期的工作是把他的计量经济学方法运用于经济成长理论和投资理论。在这两个研究领域他都是先驱者。Haavelmo 对计量经济学所进行的概率论革命不是偶然的。事实上，概率论与数理统计也正是在本世纪 30 年代才开始严格化。Haavelmo 的早期学术生涯更多地是作为一名统计学者而出现。在概率论与数理统计现代化的影响下，他用现代数学工具来改造计量经济学正是一种必然趋势。他后来还当过挪威驻美国使馆的商务参赞，挪威工商部、财政部的官员。这使他后期就更关心现实的经济学。
1990
1990 年的诺贝尔经济学奖授予三位美国经济学家：Harry M. Markowitz (1927—), Merton H. Miller (1923—) 和 William F. Sharpe (1934—), 以奖励他们在金融经济学理论中的先驱工作。
Markowitz 得奖是因为他在 1952 年开始提出的投资组合选择 (portfolio choice) 理论。他考虑这样的问题：如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投资，那么怎样的投资组合 (portfolio) 将是最好的？为此，Markowitz 把投资组合的价格变化量视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险 (从而 Markowitz 理论又称均值──方差分析)；把投资组合中各种股票之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。Markowitz 又进一步指出，把收益作为参量，它与求得的最小风险相应的标准差之间的关系，形成双曲线的一支；再根据投资者的偏好，由此就可进行投资决策。 Markowitz 的理论后来被誉为“华尔街的第一次革命”。
Sharpe 得奖是因为他对金融资产的价格形成理论 ( 即所谓“资本资产定理模型 ( Capital Asset Pricing Model, CAPM)”) 的基本贡献。其思路起因于 Markowitz 的投资组合的风险计算涉及各种股票的价格变化之间的协方差计算，计算量极大。为简化这一计算，改用投资组合 (或更一般的资本资产) 的价格变化与“市场投资组合” 的价格变化之间的回归系数来衡量股票交易的风险。这里 “市场投资组合” 是刻划股市总体状况的量，理论上可由 Markowitz 的分析得到，实际计算时可用股市指数来得到。由此可导得每种资本资产的收益与市场收益之间的一个线性关系，它就是资本资产定价模型。与 Markowitz 理论一起，这也被看作“华尔街第一次革命” 的一部分。
Miller 得奖是因为他对公司财务 (corporate finance) 理论的基本贡献。其中以他与另一位诺贝尔经济奖获得者 Modigliani从 1958 年起提出的所谓Modigliani-Miller 定理 (MMT) 为代表。他们断言，在一定条件下，公司的市场价值只依赖于它的利润流，而与它的资本结构无关，即与债权与股权之间的比例无关，从而也与它的分红策略无关，即与债权者和股权者之间的利润分割无关。这些定理目前已经成为公司财务的理论和经验分析的基础。
这三位经济学家的工作显然都是非常数学化的。尤其是 Markowitz 更是常被看作一位运筹学家。事实上，他在 1989 年还获得过美国运筹学会颁发的 von Neumann 奖。除奖励他的投资组合选择理论外，还奖励他在稀疏矩阵计算与 SIMSCRIPT 程序语言方面的贡献。
4:44 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 25
日记
越来越发觉 B.A.Dubrovin,A.T.Fomenko,S.P.Novikov 那三卷 Modern Geometry -- Methods and Applications 是非常重要的书了。很多的例子，很值得思考和反复细读。
还发现一本有趣的书 Applied Differential Geometry A Modern Introduction 作者Vladimir G Ivancevic, Tijana T Ivancevic 。这书基本上是把不同的书和文章里的东西揉在一起合成的一本书，像是对微分几何做了一个简单的输理，当然对于我这种初学者是有用的。很多东西都是简单地提了提，甚至感觉当小说读似乎更合适。7:07 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 23
读网手记——关于几何的
From Zeroes To Stacks
Top 10 noncommutative geometry books for newbies5:37 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 12
读网手记——有趣的讨论
俄国数学教育 1
俄国数学教育 23:16 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 07
读网手记——物理学和数学殊途同归
从豆瓣上看到的一篇短文。
物理学和数学从来都是紧密联系在一起的，尽管殊途然而同归。
在刚刚过去的二十世纪里，物理学和数学都经历了前所未有的革命,而两者的密切合作更是奏响了人类文明史上的动人篇章.作为上个世纪物理学发展的基础理论,广义相对论和量子力学都使用了大量的数学工具， 包括Riemann几何，微分方程，线性代数和群论，随后出现的量子场论 则逐渐把拓扑学和大范围微分几何纳入其中，同时把群论尤其是Lie群 和Lie代数运用的更加娴熟。此时，数学家的宝库仍然是丰富多彩的， 物理学可以随意使用,不感到匮乏。
但是到了七十年代，一批前卫的粒子物理学家在尝试将内部与外部对称性结合起来的研究中,发现当时的 数学工具已经无能为力，于是他们撇开数学家,独立发展了超对称的数学基础。在这段时期，物理学对于数学的影响一直是间接的，比如， Einstein使用了Riemann几何以描述他的物理思想，这促使数学家恢复 了对其的兴趣并将其大大发展,甚至有的问题在物理学家加以研究之前， 数学家根本无法了解它们的重要性和解决的可能性,但是数学家毕竟很少从物理学家那里找到现成的结论可供使用.但在二十世纪的最后二十 年,情况发生了意想不到的改变，物理学中超对称理论的建立为数学家研究Clifford代数提供了丰富的资源,物理学中某一类精确可解模型的研究直接导致了Hopf代数的诞生,而二十年来超弦的发展即使在物理学上是毫无意义的，也会在数学史上留下深深的痕迹。1990年,理论物理学家Witten获得了数学界的最高奖---Fields奖，这或许可以作为物理学对数学所产生的巨大影响的最好诠释。
一）量子理论和纽结的拓扑
物理学和几何学之间相互激发的历史已经相当长了，在Euclid时代，几何被用来刻画物理空间，这一空间后来成为Newton力学中的参考系。Maxwell理论和Einstein理论的出现大大加深了人们对几何学的认识，这引发了二十世纪微分几何在多方面的发展。几何学研究对象是可以测量的量，比如距离，角度，曲率等，它在本质上是一门定量的学科。与此相反，拓扑学是一门定性的学科，它研究可测量量被去掉以后的几何性质。举例来说，假如桌子上有一根细线，几何学研究的是这条线的长度和精确形状，拓扑学研究的是它绕桌面上一个点转过的圈数，而这一圈数必为一整数，并且与线的长度和精确形状无关。纽结和环结是拓扑学家非常关心的一个概念，对纽结和环结的研究也是一个很典型的拓扑学的工作领域。
1928年，Alexander 发现可以利用具有整数系数的多项式为纽结或环结定义一个不变量，不同的多项式对应于不同的纽结或环结。这个工作的重要意义在于能够在一定程度上对所有纽结或环结进行分类，它的缺点是无法区分开纽结或环结和它的镜像。大约60年以后，也就是在1987年，Jones 找到了一个新的多项式表示纽结和环结不变量，它比Alexander 多项式的优越之处在于能够区分纽结或环结和它的镜像。到这时候，关于纽结和环结的讨论仍然仅局限于数学的范围内，然而令人吃惊的是，在两年之后，物理学家Witten赋予了Jones 多项式一个非常优美的量子理论解释，这就把纯粹的数学研究与粒子物理的最前沿成果紧密地结合在一起了。在由两维物理空间和一维时间构成的三维时空中，Witten选择了一个恰当的量子场论模型，发现Jones多项式就是Chern--Simons理论中Wilson圈算子的真空期望值，它们的拓扑不变性由理论满足广义协变性得到保证。
现在，我们已经有了很多量子理论与拓扑学结合研究的例子，为了描述这些不寻常的现象，近十五年来物理学家和数学家发展了一个新的研究领域--拓扑量子场论。Witten获得Fields奖也主要是因为上述工作.
二)四维流形研究的新进展
对于大于和等于五维的流形，人们很早就有了很好的处理可微流形的理论，而一维和二维流形因其可以嵌入三维流形中计算而实际上非常容易描述。真正构成困难的是三维流形和四维流形，其中三维流形可用上节提到的Jones方法以及由Thurston 独立发展的方法进行研究，虽然这些方法不是完备的，但是已经比较成功。与其他维数的流形不同，四维流形是解析结构最为丰富（理论上有无穷多种）的流形，它有一个其他维数流形所不具有的奇异空间，即与四维Euclid空间拓扑等价但微分结构不同的奇异四维空间。因此，对于数学家来说，即使我们生活的真实时空不是四维，对四维流形的研究也是最为激动人心的，而它恰好具有物理时空维数这一事实则简直让物理学家兴奋的发狂。
1982年，牛津大学的研究生Donaldson指出，可以用自对偶的nonablien Yang-Mills方程来研究四维流形的拓扑不变量，此后的大多数关于四维平滑流形的成果都来自于对自对偶Yang-Mills理论的研究，而Donaldson不变量也成为研究四维流形结构的基础。然而，Donaldson不变量的计算过程极为复杂繁琐，很多学术论文动辄就达几百页。1989年，Witten曾经指出，对Donaldson不变量的计算，等价于计算四维空间里N=2超对称规范理论中的关联函数。但是在当时，这项工作的用处不大，因为虽然在紫外即高能量区域，由于渐进自由行为，可以很方便的进行计算，但是在红外即低能量区域，由于耦合过于强烈，对规范理论的研究是完全不清楚的。
事情的转机出现在1994到1995年，Seiberg和Witten 的一系列工作掀起了一场世纪末的理论物理学和数学革命，在长达一年半的时间里，人们几乎每个星期都能看见新的进展，以前困扰人们多时的问题一个又一个的得到解决。Seiberg和Witten发展了一套解析技术以处理超对称Yang-Mills 理论，在四维量子场论中，利用这些技术，物理学家首次得到了许多一般的精确解，其中最引人瞩目的是利用磁单极凝聚机制定量描述夸克禁闭。Seiberg和Witten 理论的核心思想是自然界广泛存在对偶现象（电－磁对偶，粒子－孤子对偶，强耦合－弱耦合对偶等），利用对偶性质，能够很好地求解非阿贝尔规范理论中的强耦合区域即红外区域。由于上面所提到的规范理论和Donaldson不变量之间的关系，Seiberg和Witten的工作除了为物理学带来新的曙光，也在拓扑学中引发了一场彻底的革命。在他们理论的框架内，Donaldson 不变量的计算化为数出磁单极方程经典解个数的问题，从而成千倍的简化了对四维平滑流形的研究。
为了摆脱物理学对数学的影响，十九世纪的数学家曾立誓要创造出真正纯粹的数学。群论建立之初就被数学家寄以厚望，他们认为终于发展了一个永远也不会被用于物理学的数学理论。他们又一次失望了，实际上Lie 群已经成为研究基本粒子物理的基础数学工具，而分立群则是固体物理和化学物理工作者的通用语言。但是，至少数学家已经不像他们的前辈那样必须从物理学中发掘数学问题，他们在研究数学时已不必理会物理学家在做些什么，至于他们的成果屡屡被物理学家拿去使用，那只能说明他们发展的数学理论不但优美而且有不斐的实用价值。因此，当陈省身发现以他名字命名的数学名词频频出现在理论物理学家的文章中时，当Atiyah和Singer发现他们的指标定理被理论物理学家用来研究粒子物理时，他们的心情肯定是非常自豪的。但是，Atiyah却惊奇地发现，他的学生Donaldson必须要从物理学家那里借用方法来研究拓扑和几何学，而陈省身的学生丘成桐则毫不犹豫地投身于广义相对论和超弦理论的研究之中。数学和物理学在单飞近二百年以后，在二十世纪的最后二十年里，终于又走到了一起，《三国演义》中倾情演绎的天下大势，竟然毫无二致地在数理科学的身上重现。
数学讲究严密和逻辑，物理学依赖事实和猜想，数学家每走一步都要有确凿的理由，而物理学家则常常凭直觉一步到达事物的核心，然后再转回来寻找理论根据。数学家的缺点在于过于相信推理以至很难在观念上实现大的飞跃，正如丘成桐所说，“。。。在这个年代，我们（数学家）要搞清楚物理学家在量子场论方面的直观是怎样训练出来的，因为我们本身没有这方面的观念”，“二十一世纪至少前几十年在无穷维空间上的几何，要不停地受到量子场论的影响，因为我们很容易定义什么叫做无穷维空间上的几何，可是往往没有办法得出任何有意义的结论。这是因为我们没有办法把物理上的观念搞清楚，而无穷维几何通常不是直观可以得到的，所以往往需接受物理或其他自然科学供给的观念来使我们向前走。。。”
而人的想象力也不可能无限丰富，因此，物理学家除了猜想还需要借助强大的数学工具。现在，物理学家是除数学家外学习数学最多的人，有着良好数学修养的物理学家更能够清晰而有效的表达自己的思想。正如Salam所说，“最近几年中我们看到拓扑学、同伦、上同调论和Calabi-Yau 空间、Riemann面、模空间---真正的、活生生的数学正在渗透到物理中来，我们了解更多真正的数学，就可以具有更深的洞察力”。2:22 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 01
余秋雨《苏东坡突围》
这是我弟弟介绍给我的一篇文章，他说写得很好，读来可能不同的人有不同的感受，确实很好。
(一)
住在这远离闹市的半山居所里，安静是有了，但寂寞也来了，有时还来得很凶猛，特别在深更半夜。只得独个儿在屋子里转着圈，拉下窗帘，隔开窗外壁立的悬崖和翻卷的海潮，眼睛时不时地瞟着床边那乳白色的电话。它竟响了，急忙冲过去，是台北<中国时报>社打来的，一位不相识的女记者，说我的<文化苦旅>一书在台湾销售情况很好，因此要作越洋电话采访。问了我许多问题，出身、经历爱好，无一遗漏。最后一个问题是：“在中国文化史上您最喜欢哪一位文学家？”我回答：苏东坡。她又问：“他的作品中，您最喜欢哪几篇？”我回答：在黄州写赤壁的那几篇。记者小姐几乎没有停顿就接口道：“您是说<念奴娇*赤壁怀古>和前、后<赤壁赋>？”我心里立即为苏东坡高兴，他的作品是中国文人的通用电码，一点就着，哪怕是半山深夜、海峡阻隔、素昧平生。
放下电话，我脑子中立即出现了黄州赤壁。去年夏天刚去过，印象还很深刻。记得去那儿之前，武汉的一些朋友纷纷来劝阻，理由是著名的赤壁之战并不是在那里的苏东坡情感怀错了地方，现在我们再跑去认真凭吊，说得好听一点是将错就错，说得难听一点是错上加错，天那么热，路那么远，何苦呢？
我知道多数历史学家不相信那里是真的打赤壁之战的地方，他们大多说是在嘉鱼县打的。但是最近几年，湖北省的几位中青年历史学家持相反的意见，认为苏东坡怀古没怀错地方，黄州赤壁正是当时大战的主战场。对于这个论争我一直兴致勃勃地关心着，不管争论前景如何，黄州我还是想去看看的，不是从历史的角度看古战场的遗址，而是从艺术的角度看苏东坡的情怀。大艺术家即便错，也会错出魅力来。好像王尔德说过，在艺术中只有美丑而无所对错。
于是我还是去了。
这便是黄州赤壁。赭红色的陡峭石坡直逼着浩荡东去的大江，坡上有险道可以攀登俯瞰，江面有小船可供荡桨仰望，地方不大，但一俯一仰之间就有了气势，有了伟大与渺小的比照，有了视觉空间的变异和倒错，因此也就有了游观的价值。客观景物只提供一种审美可能，而不同的游人才使这种可能变获得不同程度的实现。苏东坡以自己的精神力量给黄州的自然景物注入了意味，而正是这种意味，使无生命的自然形式变成美。因此不妨说，苏东坡不仅是黄州自然美的发现者，而且也是黄州自然美的确定者和构建者。
但是，事情的复杂性在于，自然美也可倒过来对人进行确定和构建。苏东坡成全了黄州，黄州也成全了苏东坡，这实在是一种相辅相成的有趣关系。苏东坡写于黄州的那些杰作，既宣告着黄州进入了一个新的美学等级。也宣告着苏东坡进入了一个新的人生阶段，两方面一起提升，谁也离不开谁。
苏东坡走过的地方很多，其中不少地方远比黄州美丽，为什么一个僻远的黄州还能把如此深厚的历史意味和人生意味投给黄州呢？这一切，决定于他来黄州的原因和心态。
他从监狱里走来，他带着一个极小的官职，实际上以一个流放罪犯的身份走来，他带着官场和文坛泼给他的浑身脏水走来，他满心侥幸又满心绝望地走来。他被人押着，远离自己的家眷，没有资格选择黄州之外的任何一个地方，朝着这个当时还很荒凉的小镇走来。
他很疲倦，他很狼狈，，出汴梁、过河南、渡淮河、进湖北、抵黄州，萧条的黄州没有给他预备任何住所，他只得在一所寺庙中住下。他擦一把脸，喘一口气，四周一片静寂，连一个朋友也没有，他闭上眼睛摇了摇头。他不知道，此时此刻，他完成了一次永载史册的文化突围。黄州，注定要与这位伤痕累累的突围者进行一场继往开来的壮丽对话。
（二）
人们有时也许会傻想，像苏东坡这样让中国人共享千年的大文豪，应该是他所处的时代的无上骄傲，他周围的人一定会小心地珍惜他，虔诚地仰望他，总不愿意去找他的麻烦吧？事实恰恰相反，越是超时代的文化名人，往往越不能相容于他所处的具体时代。中国世俗社会的机制非常奇特，它一方面愿意招待所和轰传一位文化名人的声誉，利用他、榨取他、引诱他，另一方面从本质上却把他视为异类，迟早会排拒他、糟践他、毁坏他。起哄式的传扬，转化为起哄式的贬损，两种起哄都起源于自卑而狡黠的觊觎心态，两种起哄都与健康的文化氛围南辕北辙。
苏东坡到黄州之前正陷于一个被文学史家称为“乌台诗狱”的案件中，这个案件的具体内容是特殊的，但集中反映了文化名人在中国社会中的普遍遭遇，很值得说一说。搞清了这个案件中种种人的面目，才能理解苏东坡到黄州来究竟是突破了一个什么样的包围圈。
为了不使读者把注意力耗费在案件的具体内容上，我们不妨先把案件的底交代出来。即便站在朝廷的立场上，这也完全是一个莫须有的可笑事件。一群大大小小的文化官僚硬说苏东坡在很多诗中流露了对政府的不满和不敬，方法是对他诗中的词句和意象作上纲上线的推断和诠释，搞了半天连神宗皇帝也不太相信，在将信将疑之间几乎不得已地判了苏东坡的罪。
在中国古代的皇帝中，宋神宗是不算坏的，在他内心并没有迫害苏东坡的的任何企图，他深知苏东坡的才华，他的祖母光献太皇太后甚至竭力要保护苏东坡，而他又是非常尊重祖母意见的，在这种情况下，苏东坡不是非常安全吗？然而，完全不以神宗皇帝和太皇太后的意志为转移，名震九州、官居太守的苏东坡还是下了大狱。这一股强大而邪恶的力量，就很值得研究了。
这件事说来话长。在专制制度下的统治者敢常常会摆出一种重视舆论的姿态，有时甚至还设立专门在各级官员中找岔子、寻毛病的所谓谏官，充当朝廷的耳目和喉舌。乍一看这是一件好事，但实际上弊端甚多。这些具有舆论形象的谏官所说的话，中国人无法声辩，也不存在调查机制和仲裁机制，一切都要赖仗于他们的私人品质，但对私人品质的考察机制同样也不具备，因而所谓舆论云云常常成为一种歪曲事实、颠倒是非的社会灾难。这就像现代的报纸如果缺乏足够的职业道德又没有相应的法规制约，信马由缰，随意褒贬，受害者无处可以说话，不知怀者却误以为白纸黑字是舆论所在，这将会给人们带来多大的混乱!苏东坡早就看出这个问题的严重性，认为这种不受任何制约的所谓舆论和批评，足以改变朝廷决策者的心态，又具有很大的政治杀伤力(“言及乘舆，则天子改容，事关廊庙，则宰相待罪”)，必须予以警惕，但神宗由于自身地位的不同无法意识到这一点。没想到，正是苏东坡自己尝到了他预言过的苦果，而神宗皇帝为了维护自己尊重舆论的形象，当批评苏东坡的议论几乎不约而同地聚合在一起时，他也不能为苏东坡讲什么话了。
那么，批评苏东坡的言论为什么会不约而同地聚合在一起呢？我想最简要的回答是他弟弟苏辙说的那句话：“东坡何罪？独以名太高”。他太出色、太响亮，能把四周的笔墨比得地十分寒伦，能把同代的文人比得有点狼狈，引起一部分人酸溜溜的嫉恨，然后你一拳我一脚地糟践，几乎是不可避免的。在这场可耻的围攻中，一些品格的文人充当了急先锋。
例如舒颤。这个人可称之为“检举专业户”在揭发苏东坡的同时他还揭发了另一个人，那人正是以前推荐他做官的大恩人。这位大恩人给他写了一封信拿了女婿的课业请他提意见、辅导，这本是朋友间非常正常的小事往来，没想到他竟然忘恩负义地给皇帝写了一封莫名其妙的检举揭发信，说我们两人都是官员，我又在舆论领域，他让我辅导他女婿总不大妥当。皇帝看了他的检举揭发，也就降了那个人的职。这简直是东郭先生和狼的故事。就是这么一个让人恶心的人，与何正臣等人相呼应，写文章告诉皇帝，苏东坡到湖州上任后写给皇帝的感谢信中“有讥切时事之言”。苏东坡的这封感谢信皇帝早已看过，没发现问题，舒颤却苦口婆心地一款一款分析给皇帝听，苏东坡正在反您呢，反得可凶呢，而且已经反到了“流俗翕然，争相传诵，忠义之士，无不愤惋”的程度!“愤”是愤苏东坡，“惋”是惋皇上。有多少忠义之士在“愤惋”呢？他说是“无不”，也就是百分之百，无一遗漏。这种数量统计完全无法验证，却能使注重社会名声的神宗皇帝心头一咯噔。
又如李定。这是一个曾因母丧之后不服孝而引起人们唾骂的高官，对苏东坡的攻击最凶。他归纳了苏东坡的许多罪名，但我仔细鉴别后发现，他特别关注的是苏东坡早年的贫寒出身、现今在文化界的地位和社会名声。这些都不能列入犯罪的范畴，但他似乎压抑不住地对这几点表示出最大的愤慨。说苏东坡“起于草野垢贱之余”，“初无学术，滥得时名”，“所为文章，虽不中理，亦足以鼓动流俗”，等等。苏东坡的出身引起他的不服且不去说它，硬说苏东坡不学无术、文辞不好，实在使我惊讶不已了。但他不这么说也就无法断言苏东坡的社会名声和世俗鼓动力是“滥得”。总而言之，李定的攻击在种种表层动机下显然埋藏着一个最深秘的原素“妒忌。无论如何，诋毁苏东坡的学问和文采毕竟是太愚蠢了，这在当时加不了苏东坡的罪，而在以后却成了千年笑柄。但是妒忌一深就会失控，他只会找自己最痛恨的部位来攻击，已顾不得哪怕是装装样子的可信性和合理性了。
又如王圭。这是一个跋扈和虚伪的老人。他凭着资格和地位自认为文章天下第一，实际上他写诗作文绕来绕去都离不开“金玉锦绣”这些字眼，大家暗暗掩口而笑，他还自我感觉良好。现在，一个后起之秀苏东坡名震文坛，他当然要想尽一切办法来对付。有一次他对皇帝：“苏东坡对皇上确实有二心。”皇帝问：“何以见得？”他举出苏东坡一首写桧树的诗中有“蛰龙”二这为证，皇帝不解，说：“诗人写桧树，和我有什么关系？”他说：“写到了龙还不是写皇帝吗？”皇帝倒是头脑清醒，反驳道：“未必，人家叫诸葛亮还叫卧龙呢!”这个王王圭用心如此低下，文章能好到哪儿去呢？更不必说与苏东坡来较量了。几缕白发有时能够冒充师长、掩饰邪恶，却欺骗不了历史。历史最终也没有因为年龄把他的名字排列在苏东坡的前面。
又如李宜之。这又是另一种特例，做着一个芝麻绿豆小官，在安徽灵璧县听说苏东坡以前为当地一个园林写的一篇园记中有劝人不必热衷于做官的词句，竟也写信给皇帝检举揭发，并分析说这种思想会使人们缺少进取心，也会影响取士。看来这位李宜之除了心术不正外，智力也大成问题，你看他连诬陷的口子都找得不伦不类。但是，在没理性法庭的情况下，再愚蠢的指挥也能成立，因此对散落全国各地的李宜之们构成了一个鼓励。为什么档次这样低下的人也会挤进来围攻苏东坡？当代苏东坡研究者李一冰先生说得很好：“他也来插上一手，无他，一个、默默无闻的小官，若能参加一件扳倒名人的大事，足使自己增重。”从某种意义上说，他的这种目的确实也部分地达到了，例如我今天写这篇文章时竟然还会写到李宜之这个名字，便完全是因为他参与了对苏东坡的围攻，融他没有任何理由被哪怕是同一时代的在印刷品里。我的一些青年朋友根据他们对当今世俗心理的多方体察，觉得李宜之这样的人未必是为了留名于历史，而是出于一种可称作“砸窗子”的恶作剧心理。晚上，一群孩子站在一座在楼前指指点点，看谁家的窗子亮就拣一块石头扔过去，谈不上什么目的，只图在几个小朋友中间出点风头而已。我觉得我的青年朋友们把李宜之看得过于现代派、也过于城市化了。李宜之的行为主要出于一种政治投机，听说苏东坡有点麻烦，就把麻烦闹得大一点，反正对内不会负道义责任，对外不会负法律责任，乐得投井下石，撑顺风船。这样的人倒是没有胆量像李定舒颤和王王圭那样首先向一位文化名人发难，说不定前两天还在到处吹嘘在什么地方有幸见过苏东坡、硬把苏东坡说成自己的朋友甚至老师呢。
又如---我真不想写出这个名字，但再一想又没有讳避的，还是写出来吧：沈括。这位在中国古代科技史上占有不小地位的著名科学家也因忌妒而陷害过苏东坡，用的手法仍然是检举揭发苏东坡的诗中有讥讽政府的倾向。如果他与苏东坡是政敌，那倒也罢了，问题是他们曾是好朋友，他所检举揭发的诗句，正是苏东坡与他分别时手录近作送给他留作纪念的。这实在太不是味道了。历史学家们分析，这大概与皇帝在沈括面前说过好话有关，沈括心中产生了一种默默的对比，不想让苏东坡的文化地位高于自己，另一种可能是他深知王安石与苏东坡政见不同，他投注到了王安石一边。但王安石毕竟也是一个讲究人品的文化大师，重视过沈括，但最终却得出这是一个不可亲近的小人的结论。当然，在人格人品上的不可亲近，并不影响我们对沈括科学成就的肯定。
围攻者还有一些，我想举出这几个也就差不多了，苏东坡突然陷入困境的原因已经可以大致看清了，我们也领略了一组有可有能超越时空的“文化群小”的典型。他们中的任何一个人要单独搞倒苏东坡都是很难的，但是在社会上没有一种强大的反诽谤、反诬陷机制情况下，一个人探头探脑的冒险会很容易地招来一堆凑热闹的人于是七嘴八舌地组合成一种伪舆论，结果连神宗皇帝也对苏东坡疑惑起来，下旨说查查清楚，而去查的正是李定这些人。
苏东坡开始很不在意。有人偷偷告诉他，他的诗被检举揭发了，他先是一怔，后来还潇洒、幽默地说：“今后我的诗不悉皇帝看不到了。”但事态的发展却越来越不潇洒，一○七九年七月二十日，朝廷派人到湖州的州衙门来逮捕苏东坡，苏东坡事先得知风声，立即不知所措。文人终究是文人，他完全不知道自己犯了什么罪，从气势汹汹的样子看，估计会处死，他害怕了，躲在后屋里不敢出来，朋友说躲着也不是办法，人家已经在前面等着了，要躲也躲不过。正要出来他又犹豫了，出来该穿什么服装呢？已经犯了罪，还能穿官服吗？朋友说，什么罪还不知道，还是穿官服吧。苏东坡终于穿着官服出来了，朝廷派来的差官装模作样地半天不说话，故意要演一个压得人气都透不过来的场面出来。苏东坡越来越慌张，说：“我大概把朝廷惹恼了，看来意得死，请允许我回家与家人告别。”差官说“还不到于这样”，便叫两个差人用绳子捆扎了苏东坡，像驱赶鸡犬一样上路了。家人赶来，号啕大哭是，湖州城的市民也在路边流泪。
长途押解，犹如一路示众，可惜当时几乎没有什么传播媒介，沿途百姓不认识这就是苏东坡。贫瘠而愚昧的国土上，绳子捆扎着一个世界级的伟大诗人，一步步行进。苏东坡在示众，整个民族在丢人。
全部遭遇还不知道半点起因，苏东坡只怕株连亲朋好友，在途经太湖和长江时都想投水自杀，由于看守严密而未成。当然也很可能成，那未，江湖淹没的，将是一大截特别明丽的中华文明。文明的脆弱性就在这里，一步之差就会全盘改易，而把文明的代表者逼到这一步境地的则是一群小人。一群小人能做成如此大事，只能归功于中国的独特国情。
小人牵着大师，大师牵着历史。小人顺手把绳索重重一抖，于是大师和历史全都成了罪孽的化身。一部中国文化史，有很长时间一直捆押在被告席上，而法官和原告，大多是一群群挤眉弄眼的小人。
究竟是什么罪？审起来看!
怎么审？打!
一位官员曾关在同一监狱里，与苏东坡的牢房只有一墙之隔，他写诗道：
遥怜北户吴兴守，
诟辱通宵不忍闻。
通宵侮辱、摧残到了其他独坐也听不下去的地步，而侮辱、摧残的对象，竟然就是苏东坡!
请允许我在这里把笔停一下。我相信一切文化良知都会在这里颤栗。中国几千年间有几个像苏东坡那样可爱、高贵而有魅力的人呢？但可爱、高贵、魅力之类既构不成社会号召力也构不成自我卫护力，真正厉害的的是邪恶、低贱、粗暴，它们几乎战无不胜、攻无不克、所向无敌。现在，苏东坡被它们抓在手里搓捏着，越是可爱、高贵、有魅力，搓捏得越起劲。温和柔雅如林间清风、深谷白云的大文豪面对这彻底陌生的语言系统和行为系统，不可能作任何像样的辩驳，他一定变得非常笨拙，无法调动起码的言词，无法完成简单的逻辑。他在牢房里的应对，绝对比不过一个变通的盗贼。因此审问者们愤怒了也高兴了，原来这么个大名从竟是草包一具，你平日的滔滔文辞被狗掉了？看你这副熊样还能写诗作词？纯粹是骗人家的吧!接着就是轮番扑打，诗人用纯银般的嗓子哀号着，哀号到嘶哑。这本是一个只需要哀号的地方，你写那么美丽的诗就已荒唐透顶了，还不该打？打，打得你淡妆浓抹，打得你乘风归去，打得你密州出猎!
开始，苏东坡还试图拿点儿正常逻辑顶几句嘴，审问者咬定他的诗里有讥讽朝廷的意思，他说：“我不敢有此心，不知什么人有此心，造出这种意思来。”一切诬陷者都喜欢把自己打扮成某种“险恶用心”的发现者，苏东坡指出，他们不是发现者而是制造者。那也就是说，诬陷者所推断出来的“险恶用心”，可以看作是他们自己的内心，因此应该由他们自己来承担。我想一切遭受诬陷的人都会或迟或早想到这个简单的道理，如果这个道理能在中国普及，诬陷的事情一定会大大减少。但是，在牢房里，苏东坡的这一思路招来了更凶猛的侮辱和折磨，当诬陷者和办案人完全合成一体、串成一气时，只能这样。终于一，苏东坡经受不住了，经受不住日复一日、通宵达旦的连续逼供，他想闭闭眼，喘口气，唯一的办法就是承认。于是，他以前的诗中有“道旁苦李”，是在说自己不被朝廷重视；诗中有“小人”字样，是讽刺当朝大人；特别是苏东坡在杭州做友谊赛时兴冲冲去看钱塘潮，回来写了咏弄潮儿的诗“吴儿生长狎涛渊”，据说竟是在影射皇帝兴修水利!这种大胆联想，连苏东坡这位浪漫诗人都觉得实在不容易跳跃过去，因此在承认时还不容易“一步到位”，审问者有本事耗时间一点点通过去。案卷记录上经常出现的句子是：“逐次隐讳，不说情实，再勘方招。”苏东坡全招了。同时他也就知道必死无疑了。试想，把皇帝说成“吴儿”，把兴修水利说成玩水，而且在看钱塘潮时竟一心想着写反诗，那还能活？
他一心想着死。他觉得连累了家人，对不起老妻，又特别想念弟弟。他请一位善良的狱卒带了两首诗给苏辙，其中有这样的句子：“是处青山可埋骨，他时夜雨独伤神，与君世世为兄弟，又结来生未了因。”埋骨的地点，他希望是杭州西湖。
不是别的，是诗句，把他推上了死路。我不知道那些天他在铁窗里是否抱怨甚至痛恨诗文。没想到，就在这进，隐隐约约地，一种散落四处的文化良知开始汇聚起来了，他的诗文竟然在这危难时分产生了正面回应，他的读者们慢慢抬起了头，要说几句对得起自己内心的话了。很多人不敢说，但毕竟还有勇敢者；他的朋友大多躲避了，但毕竟还有侠义人。
杭州的父老百姓想起他在当地做官时的种种美好行迹，在他入狱后公开做了解厄道场，求告神明保佑他；狱卒梁成知道他就是大文豪，在审问人员离开时尽力照顾生活，连每天晚上的洗脚热水都准备了；在他在朝中的朋友范镇、张方平不怕受到牵连，写信给皇帝，说他在文学上“实天下之奇才”，希望宽大；他的政敌王安石的弟弟王安礼也仗义执言，对皇帝说：“自古大度之君，不以言语罪人”，如果严厉处罚了苏东坡，“恐后世谓陛下不能容才”。最有趣的是那位我们上文提到过的太皇太后，她病得奄奄一息，神宗皇帝想大赦犯人来为她求寿，她竟说：“用不着去赦免天下的凶犯，放了苏东坡一人就够了!”最直截了当的是当朝左相吴充，有次他与皇帝谈起曹操，皇帝对曹操评价不高，吴充立即接口说：“曹操猜忌心那么重还容得下祢衡，陛下怎么容不下一个苏东坡呢？”
对这些人，不管是狱卒还是太后，我们都要深深感谢。他们比研究者们更懂得苏东坡的价值，就连那盆洗脚热水也充满了文化的热度。
据王巩<甲申杂记>记载，那个带头诬陷、调查、审问苏东坡的李定，整日得意洋洋，有一天与满朝官员一起在崇政殿的殿门外等候早朝时向大家叙述审问苏东坡的情况，他说：“苏东坡真是奇才，一、二十年前的诗文，审问起来都记得清清楚楚!”他以为，对这么一个轰传朝野的著名大案，一定会
有不少官员感兴趣，但奇怪的是，他说了这番引逗中国人提问的话之后，没有一个人搭腔，没有一个人提问，崇政殿外一片静默。、这静默算不得抗争，也算不得舆论，但着实透着点儿高贵。相比之下，历来许多诬陷者周围常常会出现一些不负责任的热闹，以嘈杂助长了诬陷。
就在这种情势下，皇帝释放了苏东坡，贬谪黄州。黄州对苏东坡的重要性，不言而喻。
（三）
我非常喜欢读林语堂先生的<苏东坡传>，前后读过多少遍都记不清了，但每次总觉得语堂先生把苏东坡在黄州的境遇和心态写得太理想了。语堂先生酷爱苏东坡的黄州诗文，因此由诗文渲染开去，由酷爱渲染开去，渲染得通体风雅、圣洁。其实，就我所知，苏东坡在黄州还是很凄苦的，优美的诗文，是对凄苦的挣扎和超越。
苏东坡在黄州的生活状态，已被他自己写给李端叔的一封信描述得非常清楚。信中说：
得罪以来，深自闭塞，扁舟草履，放浪山水间，与樵渔杂处，往往为醉人所推骂， 辄自喜渐不为人识。平生亲友，无一字见及，有书与之亦不答，自幸庶几免矣。
我初读这段话时十分震动，因为谁都知道苏东坡这个乐呵呵的大名人是有很多很多朋友的。日复一日的应酬，连篇累牍的唱和，几乎成了他生活的基本内容，他一半是为朋友们活着。但是，一旦出事，朋友们不仅不来信，而且也不回信了。他们都知道苏东坡是被冤屈的，现在事情大体已经过去，却仍然不愿意写一两句哪怕是问候起居的安慰话。苏东坡那一封封用美妙绝伦、光照中国书法史的笔墨写成的信，千辛万苦地从黄州带出去，却换不回一丁点儿友谊的信息。我相信这些人都不是坏人，但正因为不是坏人，更让我深长地叹息。总而言之，原来的世界已在身边轰然消失，于是一代名人也就混迹于樵夫渔民间不被人认识。本来这很可能换来轻松，但他又觉得远处仍有无数双眼睛注视着自己，他暂时还感觉不到这个世界对自己的诗文仍有极温暖的回应，只能在寂寞中惶恐。即便这封无关宏旨的信，他也特别注明不要给别人看。日常生活，在家人接来之前，大多是白天睡觉，晚上一个人出去溜达，见到淡淡的土酒也喝一杯，但绝不喝多，怕醉后失言。
他真的害怕了吗？也是也不是。他怕的是麻烦，而绝不怕大义凛然地为道义、为百姓，甚至为朝廷、为皇帝捐躯。他经过“乌台诗案”已经明白，一个人蒙受了诬陷即便是死也死不出一个道理来，你找不到慷慨陈词的目标，你抓不住从容赴死的理由。你想做个义无反顾的英雄，不知怎么一来把你打扮成了小丑；你想做个坚贞不屈的烈士，闹来闹去却成了一个深深忏悔的俘虏。无法洗刷，无处辩解，更不知如何来提出自己的抗议，发表自己的宣言。这确实很接近有的学者提出的“酱缸文化”，一旦跳在里边，怎么也抹不干净。苏东坡怕的是这个，没有哪个高品位的文化人不怕。但他的内心实在仍有无畏的一面，或者说灾难使他更无畏了。他给李常的信中说：
吾侪虽老且穷，而道理贯心肝，忠义填骨髓，直须谈笑于生死之际...虽怀坎土禀时，遇事有可尊主***者，便忘躯为之，祸福得丧，会与造物。
这么真诚的勇敢，这么洒脱的情怀，出自天真了大半辈子的苏东坡笔下，是完全可以相信的。但是，让他在何处作这篇人生道义的大文章呢？没有地方，没有机会，没有观看都民没有裁决者，只有一个把是非曲直忠奸善恶染成一色的大酱缸。于是，苏东坡刚刚写了上面这几句，支颐一想，双立即加一句：此信看后烧毁。
这是一种真正精神上的孤独无告，对于一个文化人，没有比这更痛苦的了。那阕著名的“卜算子”，用极美的意境道尽了这种精神遭遇：
缺月挂疏桐，漏断人初静。谁见幽人独往来？缥缈孤鸿影。 惊起却回头，有恨无人省。拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷。
正是这种难言的孤独，使他彻底洗去了人生的喧闹，去寻找无言的山水，去寻找远逝的古人。在无法对话的地方寻找对话，于是对话也一定会变得异乎寻常。像苏东坡这样的灵魂竟然寂然无声，那么，迟早总会突然冒出一种宏大的奇迹，让这个世界大吃一惊。
然而，现在他即便写诗作文，也不会追求社会的轰动了。他在寂寞中反省过去，觉得自己以前最大的毛病是才华外露，缺少自知之明。一段树木靠着瘿瘤取悦于人，一块石头靠着晕纹取悦于人，其实能拿来取悦于人的地方恰恰正是它们的毛病所在，它们的正当用途绝不在这里。我苏东坡三十余年来想博得别人叫好的地方也大多是我的弱项所在，例如从小为考科举学写政论、策论，后来更是津津乐道于考论历史是非，直言陈谏曲直，做了官以为自己真的很懂得这一套了，洋洋自得地炫耀无知。三十多年来最大的弊病就在这里。现在终于明白了，到黄州的我是觉悟了的我，与以前的苏东坡是两个人(参见致李端叔书)。
苏东坡的这种自省，不是一种走向乖巧的心理调整，而是一种极其诚恳的自我剖析，目的是想找回一个真正的自己。他在无情地剥除自己向上每一点异己的成分，哪怕这些成分曾为他带来过官职、荣誉和名声。他渐渐回归于清纯和空灵，在这一过程中，佛教帮了他大忙，使他习惯于淡泊和静定。艰苦的物质生活，又使他不得不亲自垦荒种地，体味着自然和生命的原始意味。
这一切，使苏东坡经历了一次整体意义上的脱胎换骨，也使他的艺术才情获得了一次蒸馏和升华，他，真正地成熟了---与古往今来许多大家一样，成熟于灭寂之后的再生，成熟于穷乡僻壤，成熟于几乎没有人在他身边的时刻。幸好，他还不年老，他在黄州期间，是四十岁到四十八岁，对一个男人说，正是最重要的年月，今后还大有可为。中国历史上，许多人觉悟在过于苍老的暮年，换言之，成熟在过了季节的年岁，刚要享用成熟所带来的恩惠，脚步却已踉跄蹒跚；与他们相比，苏东坡真是好命。
成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的音响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终于停止向周围申诉求告的大气，一种不理会哄闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无须声张的厚实，一种并不陡峭的高度。勃郁的豪情发过了酵，尖利的山风收住了劲，湍急的细流汇成了湖，结果----
引导惊世杰作的前奏已经鸣响，一道神秘的天光射向黄州，<念艰娇*赤壁怀古>和前后<赤壁赋>马上就要产生。 12:39 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJune 19
The interesting in Mathoverflow 6
关于微分几何：
How much of differential geometry can be developed entirely without atlases?
Sheaves and bundles in differential geometry
What is torsion in differential geometry intuitively?
关于指标定理：
What do heat kernels have to do with the Riemann-Roch theorem and the Gauss-Bonnet theorem?
Intuitive explanation for the Atiyah-Singer index theorem
Explanation for the Chern character
6:56 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJune 07
读网手记-Kontsevich 《Beyond Numbers》
Kontsevich 《Beyond Numbers》7:07 PM | Add a comment | Read comments (1) | Permalink | Blog it读网手记-数论相关
Weil's proof of " Riemann hypothesis" for curves
de Franchis定理:再谈曲面上的相交论的一个应用
关于Arakelov几何(一)
关于Arakelov几何(二)7:05 PM | Add a comment | Permalink | Blog it读网手记-保角几何
保角几何（一）
保角几何（二）
6:57 PM | Add a comment | Permalink | Blog itMay 29
读网手记-Tate's Thesis
Tate's thesis seminar -- Fall 2009
TATE'S THESIS
数论大师J. Tate (Tate's 1950 thesis)
Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta functions
对数论的发展带来了巨大影响。
我一定要学习之。10:23 PM | Add a comment | Permalink | Blog it读网手记-网络资料
1、Segal's Lecture Notes
内容包括：
Topological Field Theory
Quantum Field Theory
Symplectic Manifolds and Quantization
2、Quantum Field Theory Lecture Notes, Fall 200712:29 PM | Add a comment | Permalink | Blog itMay 25
读网手记-非交换代数几何的一些comments
非交换代数几何的一些comments 1:哲学
非交换代数几何的一些Comments 2：几何化---硬币的两面
非交换代数几何的一些Comments 3： Historical observations：A5:06 PM | Add a comment | Permalink | Blog itMay 23
The interesting in Mathoverflow 7
Why are modular forms interesting?
Quick proofs of hard theorems9:53 PM | Add a comment | Permalink | Blog it
© 2010 Microsoft Terms PrivacyAbout our adsAdvertise Code of Conduct Safety Help Center FeedbackReport abuseEnglish
September 22
数论
一份数论的书单
引至:http://community.studyez.com/blogs/zhaoyang0618/archive/2006/06/24/67.aspx
发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics
标 题: 参考书目:3.数论
发信站: 日月光华 (2002年11月20日13:39:41 星期三)
Baker A.
Transcendental number theory, Cambridge UP, 1975
Bombeiri E.
Le grand cilbe dans la th'eorie analytique des nombres, Asterique 17,
S.M.F., Paris, 1974
Borel A., Casselman W.
Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. of Symp. in Pure
Maths, vol. XXXIII, 1 and 2, AMS, Providence, 1979
Borevic Z.I., Shafarevich I.R.
Th'eorie des nombres, Gauthier-Villars, 1967
(英文本:Number theory / Borevich, Zenon Ivanovich ; Shafarevich, Igor'
Rostislavovich ;(Pure and applied mathematics ; 20) Academic Press, New York NY London ,
1966.)
Bosch S.,Luetkebohmert W., Raynaud M.
N'eron Models, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgbiete n°21,
Springer-Verlag, 1990
Cassels J.W.S.
Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag,1959
Cassels J.W.S, Fr"ohlich A.
Algebraic number theory, Sussex, Brighton, September 1-17, 1965, Academic
Press, 1967
Cornell G., Silverman J.
Arithmetic Geometry, Conference, Storrs, July 30-August 10, 1984,
Springer-Verlag, 1986
Hardy G.H., Wright E.M.
An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, 1938-1984
Lang S.
Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970
(Springer-Verlag的GTM110应该就是这本书)
Lang S.
Cyclotomic Fields I et II, Graduate Texts in Mathematics n°121,Springer-verl
ag, 1990(注:Cyclotomic fields ,GTM59,1978;Cyclotomic fields II,GTM69, 1980)
Lang S.
Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, 1983
Serre J.-P.
Corps Locaux, Actualit'es Scientifiques n°1296,Hermann, 1968
(注:英文版Local fields, GTM67, Springer-Verlag,1979)
Serre J.-P.
Cours d'Arithm'etique, Collection SUP, PUF, 1970
(注:英文版A Course in arithmetic, GTM 7,Springer-Verlag, 1973;
中文版 数论教程，冯克勤译，上海科技出版社)
Serre J.-P.
Oeuvres Compl`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1986
(注:98年出了第四卷)
Shimura G.
Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions,
Publications of the Mathematical Society of Japan n°11, Princeton UP, 1971
Silverman J.
The arithmetic of elliptic curves, GTM 106, Springer-Verlag, 1986
Weil A.
Oeuvres Compl`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1980
莫斯科大学数学力学系代数群与不变量理论教学大纲[转贴] 引至：http://bbs.sciencenet.cn/showtopic-29685.aspx
代数群与不变量理论
“高等代数”教研室专门化选修课，一学期课程。
1。代数群的概念，代数群的同态。[2, ch. III, 1.1-1.4], [8, § 7], [5, ch. II,
1.1-1.3]
2。Lie切代数。[5, ch. II, 1.4-1.5], [8, ch. III, § 13], [2, ch. III, § 3]
3。代数群的作用，轨道的局部封闭性，正则函数代数的表示。[2, ch. III, 1.5], [8
, 8.1-8.5], [5, ch. II, 2.1-2.4]
4。仿射线性代数群及其在仿射簇上的作用。[2, ch. III, 1.6], [5, ch. II, 2.4],
[8, 8.6]
5。齐性空间，Chevalley定理，商。[2, ch. III, 1.7], [8, Ch. IV]
6。Jordan分解，代数环面，Engel幂单群定理。[2, ch. III, 2.1-2.4, 3.5-3.7], [8
, § § 15-17], [5, ch. III, 1.1, 1.3]
7。代数群的交换子，可解群，不动点的Borel定理，Lie-Kolchina定理。[2, ch. III,
1.4, 2.5-2.9, 3.9], [8, § § 17-21], [5, Ch. III, 1.2]
8。可约群，完全可约子群。[2, ch. IV, § 1], [8, § § 15--17], [5, ch. II, 3
.1, 3.5, ch. III, 1.2]
9。不变量的Hilbert定理，可约群作用下的仿射簇的函子范畴，态射的因式分解定理。
[5, ch. II, § 3], [3, 3.4, 4.3-4.4], [7, 2.4].
10。有限群的不变量，Chevalley定理。[7, 4.2], [5, ch. II, 3.6]
11。有理不变量。不变量的轨道分离性的Rozenlikhta定理。[3, § 2], [5, ch. II,
4.3.E]
12。封闭轨道，松村英之判据，作用的稳定性，Popov判据，指标族的分支稳定的充分条
件。[10, I.2], [6], [3, 7.5], [1]
13。幂零轨道，Hilbert-Mumford判据。[5, ch. III, § 2], [3, 5.1, 5.3, 5.4]
14。可约群的连接理想，他的轨道与不变量。[9]
15。张量系统的不变量子的经典理论。[3, §9], [4], [5, ch. II, 4.1]
16。射影作用下的半稳定点与稳定点，Mumford函子。[3, 4.6], [4].
参考书目：
1，E.M.Andreev、E.B.Vinberg、A.G.Elashvili，最大维线性半单Lie群的轨道，“泛函
分析及其应用”杂志，1967，Vol.1，No.4，pp.3-7。
2。E.B.Vinberg、A.L.Onishchik，李群与代数群，科学出版社，1988。
3。E.B.Vinberg、V.L.Popov，不变量理论（现代数学及其应用丛书第55卷），全俄罗斯
科技信息研究所。
4。D.Mumford，Geometric Invariant Theory，Springer，1965。
5。H.Kraft，Geometrische Methoden in der Invariantentheorie，Vieweg-Verlag，
1985。
6。V.Popov，半单群作用下的可约簇的稳定性判据，“苏联科学院院报——数学”，19
70，Vol.34, No.3，pp.523-531。
7。T.A.Springer，Invariant Theory，Springer，1977。
8。J.Humphreys，Linear Algebraic Groups，Springer，1991。
9。B.Kostant，Lie Group Representations on Polynomial Rings，Amer. J. Math.，
1963，Vol.85，pp.327–404。
10。D.Luna，Slices étales，Bull. Soc. Math. France，1973，vol.33，p.81–105
11:55 AM | Add a comment | Permalink | Blog it又是一个中秋节
中秋佳节又到了，又是吃月饼的时候了。不知为什么，现在的月饼总觉得没小时候的好吃。现在的月饼稀奇古怪得很，阿根达斯也开始做月饼，但是就是巧克力裹上冰淇淋做成月饼状，家里发了几个，又贵又难吃。（妈的，只会做冰淇淋不会做月饼就别乱做嘛，整些垃圾食品出来坑钱。按你这样做的月饼还有什么文化内涵，这是在过中国的传统节日，你的明白？）小时侯的月饼给我留下的印象总是甜美的，吃的最都的就是豆沙馅的，还是蛋黄弦的。。。想起来就感觉要留口水了。11:15 AM | Add a comment | Read comments (1) | Permalink | Blog itSeptember 04
指标定理
对于指标定理的学习将是我的日志里主要的论题。下边，我想整理下这方面的资料和以前写的日志，并且希望在将来不断地来完善这篇日志。以前的日志里和指标定理有关的有：两个有用的网页 ， 沿着指标定理的道路前行 和 The interesting in Mathoverflow 6。我自己感觉在学习指标定理时如果能搞清楚它其后的发展脉络，那么就能比较好的选择学习的重点是什么。但是，这点并不容易做到，谈论指标定理从1960s证明到现在的发展的文章很散乱，而且涉及的方面太广，让人摸不着头绪。下边我想就自己知道的做一点归纳，希望对自己的学习能得到比较大的帮助。
对于指标定理的学习，首先当然是学习它的证明，然后是学习它的应用(当然，这两者其实是相互相成的，知道的如何运用它，对于理解它的证明肯定是有好处的)。对于它的证明途径在“沿着指标定理的道路前行”这篇日志里已经列举过了。下边，我只是对一些资料做点归纳：
个人觉得，学习指标定理还是从K-Theory证明开始比较好(大概是我自己的偏好)。有很多书和资料讨论这个途径的证明，下边只列举一部分：
Handbook Of Global Analysis by Demeter Krupka, David Saunders 这本书里讲述指标定理的那部分是很好的学习资料。
K-theory and elliptic operators by Gregory D. Landweber 是一篇介绍K-Theory证明途径的好文章，基本是按照The Index of Elliptic Operators I 来展开的。
当然，Atiyah and Singer 的系列论文 The Index of Elliptic Operators 也是学习的经典材料。
还有比较新的K-Theory证明是 On the K-theory proof of the index theorem by Nigel Higson 这在它的主页上可以找到。关于这个证明Alan L. T. Paterson给过一些评论可以看Asymptotic morphisms and the families index theorem (里边还谈到了指标定理的一些发展)
还有一些名著，这里就不提了，大家都知道。
关于指标定理的热核证明途径，也有很多的书讨论，这涉及到的是local index theorem 。
最著名的可能就是Heat kernels and Dirac operators by Berline N., Getzler E., Vergne M. 然后还有Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem by P.B.Gilkey，当然还有一些书，这里就不列举了。还有一些网上的资料是很有参考价值的。
The heat equation and the Atiyah-Singer index theorem by Gregory D. Landweber(在其主页上可以找到这篇文章)
Notes on the Atiyah-Singer index theorem by Liviu I. Nicolaescu(可以在其主页上找到)
Lecture Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem by ANTONY WASSERMANN
The Atiyah-Singer Index Theorem: A Heat Kernel (PDE’s) Proof by Luiz C.L. Botelho
A new short proof of the local index formula and some of its applications by R.Ponge
最后， ABP的经典论文 On the Heat Equation and the Index Theorem 也是必须要提到的重要资料。
还有一个资料想提以下， 俄国的(准确的说应该是前苏联)Encyclopedia Math.Sci.这个系列(后来基本都翻译成了英文由Springer出版)的第65卷，即，偏微分方程的第八卷，里边有 B.V.Fedosov 的文章“Index Theorems”，其中除了论述了指标定理之外还谈到了一些其后的发展，特别是他本人做的指标定理与形变量子化的关系(其后他也写过这个论题的专著)。
还有一些物理学上的证明(这里主要指使用超对称和路径积分的证明)。这方面的东西在侯伯元，侯伯宇的《物理学家用微分几何》这本书里能找到一些论述(书中运用sigma-model给出了一个Gauss-Bonnet-Chern定理的证明)。 想了解SUSY的证明，最好对SUSY有一个初步的了解，arxiv上有很多关于这方面的介绍文章，这里帖一个其他的 Introduction to Supersymmetry at the NLC by David Wagner 以及 Introduction to Supersymmetry，路径积分现在看不懂，不过从形式上看对现在算的东西好象有帮助，什么是重整化？
对于指标定理的运用，一个最有名的例子我想应该是用指标定理研究物理学里的 Anomalies，对这个东西还有待继续学习。
指标定理和非交换几何的联系可以在 Nigel Higson 的主页上看到一些材料
指标定理与椭圆上同调的联系网上也有一些资料可查到 Elliptic Cohomology
指标定理与谱几何的联系似乎已经有比较长的历史了
指标定理与量子化的联系似乎也比较久了。
Intermediate Geometry/Topology
和物理相关的部分要理解清楚必须要学习量子力学和量子场论的一些知识：Quantum Physics，
Pedagogic Aids to Quantum Field Theory，Supersymmetry and Supergravity，量子力学参考书目
（待续）
9:11 PM | Add a comment | Read comments (3) | Permalink | Blog itAugust 29
读网手记——V.I.Arnold 论数学教育
这是一篇在网上广泛流传的文章,好几年前就看到过了。赞同Arnold观点的有之,骂他的人也不占少数。我挺喜欢这篇文章的,不仅仅因为他是我崇拜的一位大师更因为他给了我们另一个视角,特别是他对物理学的高度重视;所以贴到这里和大家共享。中文版引至：V.I.Arnold 论数学教育 英文斑引至：On teaching mathematics
地点： Palais de Découverte in Paris 时间 1997年3月7日
数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。
在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。
既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。
很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。
如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！
还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但还没有被证明”。
据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在'高等师范学校'（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。
例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：画出平面上由参数方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。
那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。
ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别
提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了 Hodge 构造以及 Jacobi 簇！
这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我: 真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题。
我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用（十分有用的东东啊！）
长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷佛美利坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。
为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。
M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理：
Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。
Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。
不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面是一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分多的double points 就足够了（即要求该曲线是unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画来）。
这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在 double points的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。
这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。
这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。
然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi 事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。
我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。
从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从Poincaré 那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。
构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。
就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。
显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。
与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。
数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结果（或叫做“Wigner原理”）。
我在此再提一下 I.M. Gel'fand 的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。
对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。
我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接－此时唯一性问题都会让我们头痛。
不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。
我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个大学低年级的学生。
试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的“代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。
理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。
我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。
一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。
一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。
如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？
顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为
The Abel theorem in problems.
一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概念并不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由Veblen给出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。
学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概念？事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流形的绝对清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。
一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻域是一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐标子空间 ）。这样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或三维空间中曲线和曲面的直接的推广。
光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其逆也光滑。
而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光滑子流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理）。为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分类定理证给学生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定向的曲面都是一个球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一个正确的印象，相反的是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，事实上压根没有给出任何新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的蹩脚货。
对曲面的分类定理是顶级的数学成就，堪与美洲大陆或X 射线的发现媲美。这是数学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物理学和数学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前已超越了数学中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大的整数都能表示成三个素数和这类事实的证明。为了出风头，当代的数学家有时候总要展示一些“运动会式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想而知，这样的做法不仅无助于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀疑：对于这样的毫无用处的跳脱衣舞般的问题，有必要耗费能量来做这些（彷佛攀岩似的）练习吗？
曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便提一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁止）。
在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中有Rademacher 和 Töplitz 写的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen写的《 Geometry and the imagination 》；Courant 和Robbins 写的《What is mathematics?》；Polya 写的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century》。
我清晰地记得在学校时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。
由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。
如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。
一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。
This is an extended text of the address at the discussion on teaching of mathematics in Palais de Découverte in Paris on 7 March 1997.
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).
Since scholastic mathematics that is cut off from physics is fit neither for teaching nor for application in any other science, the result was the universal hate towards mathematicians - both on the part of the poor schoolchildren (some of whom in the meantime became ministers) and of the users.
The ugly building, built by undereducated mathematicians who were exhausted by their inferiority complex and who were unable to make themselves familiar with physics, reminds one of the rigorous axiomatic theory of odd numbers. Obviously, it is possible to create such a theory and make pupils admire the perfection and internal consistency of the resulting structure (in which, for example, the sum of an odd number of terms and the product of any number of factors are defined). From this sectarian point of view, even numbers could either be declared a heresy or, with passage of time, be introduced into the theory supplemented with a few "ideal" objects (in order to comply with the needs of physics and the real world).
Unfortunately, it was an ugly twisted construction of mathematics like the one above which predominated in the teaching of mathematics for decades. Having originated in France, this pervertedness quickly spread to teaching of foundations of mathematics, first to university students, then to school pupils of all lines (first in France, then in other countries, including Russia).
To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!
Another French pupil (quite rational, in my opinion) defined mathematics as follows: "there is a square, but that still has to be proved".
Judging by my teaching experience in France, the university students' idea of mathematics (even of those taught mathematics at the École Normale Supérieure - I feel sorry most of all for these obviously intelligent but deformed kids) is as poor as that of this pupil.
For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z^2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).
Beginning with l'Hospital's first textbook on calculus ("calculus for understanding of curved lines") and roughly until Goursat's textbook, the ability to solve such problems was considered to be (along with the knowledge of the times table) a necessary part of the craft of every mathematician.
Mentally challenged zealots of "abstract mathematics" threw all the geometry (through which connection with physics and reality most often takes place in mathematics) out of teaching. Calculus textbooks by Goursat, Hermite, Picard were recently dumped by the student library of the Universities Paris 6 and 7 (Jussieu) as obsolete and, therefore, harmful (they were only rescued by my intervention).
ENS students who have sat through courses on differential and algebraic geometry (read by respected mathematicians) turned out be acquainted neither with the Riemann surface of an elliptic curve y^2 = x^3 + ax + b nor, in fact, with the topological classification of surfaces (not even mentioning elliptic integrals of first kind and the group property of an elliptic curve, that is, the Euler-Abel addition theorem). They were only taught Hodge structures and Jacobi varieties!
How could this happen in France, which gave the world Lagrange and Laplace, Cauchy and Poincaré, Leray and Thom? It seems to me that a reasonable explanation was given by I.G. Petrovskii, who taught me in 1966: genuine mathematicians do not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They can unite on various grounds (it could be super-abstractness, anti-Semitism or "applied and industrial" problems), but the essence is always a solution of the social problem - survival in conditions of more literate surroundings.
By the way, I shall remind you of a warning of L. Pasteur: there never have been and never will be any "applied sciences", there are only applications of sciences (quite useful ones!).
In those times I was treating Petrovskii's words with some doubt, but now I am being more and more convinced of how right he was. A considerable part of the super-abstract activity comes down simply to industrialising shameless grabbing of discoveries from discoverers and then systematically assigning them to epigons-generalizers. Similarly to the fact that America does not carry Columbus's name, mathematical results are almost never called by the names of their discoverers.
In order to avoid being misquoted, I have to note that my own achievements were for some unknown reason never expropriated in this way, although it always happened to both my teachers (Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin) and my pupils. Prof. M. Berry once formulated the following two principles:
The Arnold Principle. If a notion bears a personal name, then this name is not the name of the discoverer.
The Berry Principle. The Arnold Principle is applicable to itself.
Let's return, however, to teaching of mathematics in France.
When I was a first-year student at the Faculty of Mechanics and Mathematics of the Moscow State University, the lectures on calculus were read by the set-theoretic topologist L.A. Tumarkin, who conscientiously retold the old classical calculus course of French type in the Goursat version. He told us that integrals of rational functions along an algebraic curve can be taken if the corresponding Riemann surface is a sphere and, generally speaking, cannot be taken if its genus is higher, and that for the sphericity it is enough to have a sufficiently large number of double points on the curve of a given degree (which forces the curve to be unicursal: it is possible to draw its real points on the projective plane with one stroke of a pen).
These facts capture the imagination so much that (even given without any proofs) they give a better and more correct idea of modern mathematics than whole volumes of the Bourbaki treatise. Indeed, here we find out about the existence of a wonderful connection between things which seem to be completely different: on the one hand, the existence of an explicit expression for the integrals and the topology of the corresponding Riemann surface and, on the other hand, between the number of double points and genus of the corresponding Riemann surface, which also exhibits itself in the real domain as the unicursality.
Jacobi noted, as mathematics' most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.
These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.
The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.
The de-geometrisation of mathematical education and the divorce from physics sever these ties. For example, not only students but also modern algebro-geometers on the whole do not know about the Jacobi fact mentioned here: an elliptic integral of first kind expresses the time of motion along an elliptic phase curve in the corresponding Hamiltonian system.
Rephrasing the famous words on the electron and atom, it can be said that a hypocycloid is as inexhaustible as an ideal in a polynomial ring. But teaching ideals to students who have never seen a hypocycloid is as ridiculous as teaching addition of fractions to children who have never cut (at least mentally) a cake or an apple into equal parts. No wonder that the children will prefer to add a numerator to a numerator and a denominator to a denominator.
From my French friends I heard that the tendency towards super-abstract generalizations is their traditional national trait. I do not entirely disagree that this might be a question of a hereditary disease, but I would like to underline the fact that I borrowed the cake-and-apple example from Poincaré.
The scheme of construction of a mathematical theory is exactly the same as that in any other natural science. First we consider some objects and make some observations in special cases. Then we try and find the limits of application of our observations, look for counter-examples which would prevent unjustified extension of our observations onto a too wide range of events (example: the number of partitions of consecutive odd numbers 1, 3, 5, 7, 9 into an odd number of natural summands gives the sequence 1, 2, 4, 8, 16, but then comes 29).
As a result we formulate the empirical discovery that we made (for example, the Fermat conjecture or Poincaré conjecture) as clearly as possible. After this there comes the difficult period of checking as to how reliable are the conclusions .
At this point a special technique has been developed in mathematics. This technique, when applied to the real world, is sometimes useful, but can sometimes also lead to self-deception. This technique is called modelling. When constructing a model, the following idealisation is made: certain facts which are only known with a certain degree of probability or with a certain degree of accuracy, are considered to be "absolutely" correct and are accepted as "axioms". The sense of this "absoluteness" lies precisely in the fact that we allow ourselves to use these "facts" according to the rules of formal logic, in the process declaring as "theorems" all that we can derive from them.
It is obvious that in any real-life activity it is impossible to wholly rely on such deductions. The reason is at least that the parameters of the studied phenomena are never known absolutely exactly and a small change in parameters (for example, the initial conditions of a process) can totally change the result. Say, for this reason a reliable long-term weather forecast is impossible and will remain impossible, no matter how much we develop computers and devices which record initial conditions.
In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.
Complex models are rarely useful (unless for those writing their dissertations).
The mathematical technique of modelling consists of ignoring this trouble and speaking about your deductive model in such a way as if it coincided with reality. The fact that this path, which is obviously incorrect from the point of view of natural science, often leads to useful results in physics is called "the inconceivable effectiveness of mathematics in natural sciences" (or "the Wigner principle").
Here we can add a remark by I.M. Gel'fand: there exists yet another phenomenon which is comparable in its inconceivability with the inconceivable effectiveness of mathematics in physics noted by Wigner - this is the equally inconceivable ineffectiveness of mathematics in biology.
"The subtle poison of mathematical education" (in F. Klein's words) for a physicist consists precisely in that the absolutised model separates from the reality and is no longer compared with it. Here is a simple example: mathematics teaches us that the solution of the Malthus equation dx/dt = x is uniquely defined by the initial conditions (that is that the corresponding integral curves in the (t,x)-plane do not intersect each other). This conclusion of the mathematical model bears little relevance to the reality. A computer experiment shows that all these integral curves have common points on the negative t-semi-axis. Indeed, say, curves with the initial conditions x(0) = 0 and x(0) = 1 practically intersect at t = -10 and at t = -100 you cannot fit in an atom between them. Properties of the space at such small distances are not described at all by Euclidean geometry. Application of the uniqueness theorem in this situation obviously exceeds the accuracy of the model. This has to be respected in practical application of the model, otherwise one might find oneself faced with serious troubles.
I would like to note, however, that the same uniqueness theorem explains why the closing stage of mooring of a ship to the quay is carried out manually: on steering, if the velocity of approach would have been defined as a smooth (linear) function of the distance, the process of mooring would have required an infinitely long period of time. An alternative is an impact with the quay (which is damped by suitable non-ideally elastic bodies). By the way, this problem had to be seriously confronted on landing the first descending apparata on the Moon and Mars and also on docking with space stations - here the uniqueness theorem is working against us.
Unfortunately, neither such examples, nor discussing the danger of fetishising theorems are to be met in modern mathematical textbooks, even in the better ones. I even got the impression that scholastic mathematicians (who have little knowledge of physics) believe in the principal difference of the axiomatic mathematics from modelling which is common in natural science and which always requires the subsequent control of deductions by an experiment.
Not even mentioning the relative character of initial axioms, one cannot forget about the inevitability of logical mistakes in long arguments (say, in the form of a computer breakdown caused by cosmic rays or quantum oscillations). Every working mathematician knows that if one does not control oneself (best of all by examples), then after some ten pages half of all the signs in formulae will be wrong and twos will find their way from denominators into numerators.
The technology of combatting such errors is the same external control by experiments or observations as in any experimental science and it should be taught from the very beginning to all juniors in schools.
Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.
It is only possible to understand the commutativity of multiplication by counting and re-counting soldiers by ranks and files or by calculating the area of a rectangle in the two ways. Any attempt to do without this interference by physics and reality into mathematics is sectarianism and isolationism which destroy the image of mathematics as a useful human activity in the eyes of all sensible people.
I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).
The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.
What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).
We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.
This is all the definition there is. The so-called "axioms" are in fact just (obvious) properties of groups of transformations. What axiomatisators call "abstract groups" are just groups of transformations of various sets considered up to isomorphisms (which are one-to-one mappings preserving the operations). As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?
By the way, in the 1960s I taught group theory to Moscow schoolchildren. Avoiding all the axiomatics and staying as close as possible to physics, in half a year I got to the Abel theorem on the unsolvability of a general equation of degree five in radicals (having on the way taught the pupils complex numbers, Riemann surfaces, fundamental groups and monodromy groups of algebraic functions). This course was later published by one of the audience, V. Alekseev, as the book The Abel theorem in problems.
What is a smooth manifold? In a recent American book I read that Poincaré was not acquainted with this (introduced by himself) notion and that the "modern" definition was only given by Veblen in the late 1920s: a manifold is a topological space which satisfies a long series of axioms.
For what sins must students try and find their way through all these twists and turns? Actually, in Poincaré's Analysis Situs there is an absolutely clear definition of a smooth manifold which is much more useful than the "abstract" one.
A smooth k-dimensional submanifold of the Euclidean space R^N is its subset which in a neighbourhood of its every point is a graph of a smooth mapping of R^k into R^(N - k) (where R^k and R^(N - k) are coordinate subspaces). This is a straightforward generalization of most common smooth curves on the plane (say, of the circle x^2 + y^2 = 1) or curves and surfaces in the three-dimensional space.
Between smooth manifolds smooth mappings are naturally defined. Diffeomorphisms are mappings which are smooth, together with their inverses.
An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?
It is this wonderful theorem (which states, for example, that any compact connected oriented surface is a sphere with a number of handles) that gives a correct impression of what modern mathematics is and not the super-abstract generalizations of naive submanifolds of a Euclidean space which in fact do not give anything new and are presented as achievements by the axiomatisators.
The theorem of classification of surfaces is a top-class mathematical achievement, comparable with the discovery of America or X-rays. This is a genuine discovery of mathematical natural science and it is even difficult to say whether the fact itself is more attributable to physics or to mathematics. In its significance for both the applications and the development of correct Weltanschauung it by far surpasses such "achievements" of mathematics as the proof of Fermat's last theorem or the proof of the fact that any sufficiently large whole number can be represented as a sum of three prime numbers.
For the sake of publicity modern mathematicians sometimes present such sporting achievements as the last word in their science. Understandably this not only does not contribute to the society's appreciation of mathematics but, on the contrary, causes a healthy distrust of the necessity of wasting energy on (rock-climbing-type) exercises with these exotic questions needed and wanted by no one.
The theorem of classification of surfaces should have been included in high school mathematics courses (probably, without the proof) but for some reason is not included even in university mathematics courses (from which in France, by the way, all the geometry has been banished over the last few decades).
The return of mathematical teaching at all levels from the scholastic chatter to presenting the important domain of natural science is an espessially hot problem for France. I was astonished that all the best and most important in methodical approach mathematical books are almost unknown to students here (and, seems to me, have not been translated into French). Among these are Numbers and figures by Rademacher and Töplitz, Geometry and the imagination by Hilbert and Cohn-Vossen, What is mathematics? by Courant and Robbins, How to solve it and Mathematics and plausible reasoning by Polya, Development of mathematics in the 19th century by F. Klein.
I remember well what a strong impression the calculus course by Hermite (which does exist in a Russian translation!) made on me in my school years.
Riemann surfaces appeared in it, I think, in one of the first lectures (all the analysis was, of course, complex, as it should be). Asymptotics of integrals were investigated by means of path deformations on Riemann surfaces under the motion of branching points (nowadays, we would have called this the Picard-Lefschetz theory; Picard, by the way, was Hermite's son-in-law - mathematical abilities are often transferred by sons-in-law: the dynasty Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch is yet another famous example in the Paris Academy of Sciences).
The "obsolete" course by Hermite of one hundred years ago (probably, now thrown away from student libraries of French universities) was much more modern than those most boring calculus textbooks with which students are nowadays tormented.
If mathematicians do not come to their senses, then the consumers who preserved a need in a modern, in the best meaning of the word, mathematical theory as well as the immunity (characteristic of any sensible person) to the useless axiomatic chatter will in the end turn down the services of the undereducated scholastics in both the schools and the universities.
A teacher of mathematics, who has not got to grips with at least some of the volumes of the course by Landau and Lifshitz, will then become a relict like the one nowadays who does not know the difference between an open and a closed set.
V.I. Arnold
Translated by A.V. GORYUNOV
4:25 PM | Add a comment | Read comments (1) | Permalink | Blog itAugust 20
读网手记——2010 Fields Medal winner
今年的获奖名单已经出来了，官方网站上可以看到：Prize Winners 2010
网上还有些讨论：
2010 Fields Medal winner
还看到关于Jacob Lurie的讨论，虽然他没得奖，但是追捧他的人好象不少。我看不懂他做的东西，但至少可以看看别人写的八卦。呵呵。
说说为什么Jacob Lurie会受到热捧
下边是关于历史的：
How to find ICM talks?7:43 PM | Add a comment | Permalink | Blog itAugust 14
关注Morse Theory
读了读Bott的文章Morse theory indomitable（非常值得一读的），文中可以说是全面地展现了Morse Theory的重要性。所以，自己觉得应该把它好好地学习一下。在文中，Bott把Morse theory其后的发展分成了几个时期并且给出了引导其发展的关键人物，四十年代是Thom,六十年代是Smale,七十年代是Witten,八十年代是Floer（由于文章写于八十年代所以其后有什么新思想的出现就不知道了）。
网上有E.Getzler教授二零零六年Morse Theory讨论班的阅读材料下载Readings for Seminar on Morse Theory (Spring, 2006)
Topology and its Applications里也有一些关于Morse Theory的资料
在Mathoverflow上也有一些关于Morse Theory的讨论可以读读：
Is there a Morse theory for sections of bundles or more generally for maps?这个问题我在糊思乱想时也想过，我把Morse函数看成一个一维平凡丛的截面，那么，它所具有的结构，自然想到一般截面是否能具有。而这里边的讨论里讲到这个问题和宇宙学问题联系了起来，说明还是挺有价值的。
existence of Morse functions satisfying the Palais-Smale condition 这是一个好问题，Palais评价说。
Is there a Morse theory proof of the Bruhat decomposition?
CW-structures and Morse functions: a reference request
Level sets of Morse functions 9:25 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 29
读网手记——诺贝尔经济学奖得主与数学
摘录于：http://bbs.ccnu.com.cn/frame.php?frameon=yes&referer=http%3A//bbs.ccnu.com.cn/viewthread.php%3Ftid%3D1980683
1975
1975年的诺贝尔经济学奖授予苏联数学家Leonid Vitaliyevich Kantorovich(1912-1986) 和美籍荷兰裔经济学家Tjalling C.Koopmans (1910-1986)，以奖励他们对资源最优配置理论的贡献。
所谓“资源最优配置问题”就是研究怎样利用有限的资源，使其取得的效益最大。它是经济学中最基本的问题，甚至还有人认为经济学就只研究资源最优配置。这类问题一般可以表达为一个约束极值问题。Kantorovich较多地利用线性规划技巧来研究资源配置，而Koopmans则更多地把它表达为变分学或最优控制问题。如所周知约束极值问题可以用Lagrange乘子法来处理。而Kantorovich和Koopmans都发现问题中的Lagrange乘子（在线性规划情形下，Lagrange乘子就是对偶问题的解）都有特殊的经济意义，并由此提出新的经济概念。Kantorovich对此用的仍然是数学名词“解乘子”，而Koopmans则把它们称为“影子价格”。这些概念现在都已经成为经济分析中的经典。Kantorovich是前苏联的一位大数学家。他14岁就进入了列宁格勒大学数学系，17岁解决了实分析大家Lusin提出的一些难题，并于1930年被邀请参加全苏数学家大会。22岁晋升为正教授。他在实分析、泛函分析、计算数学等许多领域都有开创性工作。他的许多著作都曾被译成中文〖如《高等分析中的近似方法》(1936，与V.I.Krylov合著)、《半序空间中的泛函分析》(1950，与B.Z.Vulich, G.Pinsker合著)、《赋范空间中的泛函分析》(1959与G.P.Akilov合著) 等都有中译本)〗，对我国数学界有很大影响。他在泛函分析和计算数学方面的成就使他获得1949年的斯大林奖金。1939年起Kantorovich开始关心研究生产计划和经济问题，并出版了《生产计划和组织的数学方法》一书（也有中译本）。这是最早应用线性规划来研究生产问题的经典文献。后来他逐渐转入以研究经济问题为主，领导一批苏联数学家共同研究。为此他又获得1965年的列宁奖金。
Koopmans虽不是专业数学家，但他在荷兰的大学学习期间却是先学习数学，后又转向理论物理。再后来，他又对马克思经济学感兴趣。最后，才开始追随他的同胞、1969年第一届诺贝尔经济学奖得主Jan Tinbergen学习数理经济学。他在数学物理系得到博士学位，但是提交的论文却是一篇Tinbergen指导下的经济学论文。二次世界大战期间，他移居美国，逐渐成为经济活动分析和最优经济增长理论研究的带头人。他的许多研究工作都可以看作属于运筹学范畴，因此，运筹学工作者对他也都相当熟悉。
1976
1976年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家Milton Friedman (1912-), 以奖励他在消费分析、货币史和货币理论以及他对稳定化政策的复杂性的论证。
Friedman以作为主张经济自由放任的货币主义芝加哥学派的创始人而著称。他对货币史、货币在通货膨胀中的作用、货币政策的影响的研究极为深刻。对此，他回顾了1867-1960年的美国货币史，并构造数学模型，考察货币供应量与由此引起的收入和价格的变化之间的关系。他的“货币主义”结论，粗糙地说，就是政府在经济方面只要管好货币政策，其他都不必管。这当然在学术上引起很大争论。尽管如此，货币主义理论对欧美各国的中央银行的货币政策的影响仍然是极为深远的。1950年以后，他更是鼓吹他的学说，积极推进基于自由汇率的国际货币体制。但是人们认为他在学术上更有意义的贡献是更新基于“持久收入”假设、而不是基于逐年收入假设的消费理论。也就是说，他用统计分析指出，人们的消费习惯确实更多地是从“终生”来考虑，而较少出于“今日有酒今日醉”。同时，他还提出经济政策中的“观察延迟”、“决策延迟”、“效应延迟”来表达某些以前被忽略的基本问题，由此可更确切地来为商情周期中的稳定化程度定时。这一观点也被一些国家的中央银行在一定程度上所接受。
Friedman出身于美国纽约州的一个东欧移民家庭。他大学时代开始时学的是数学，其志向是通过精算师考试，到保险公司工作。由于他的有些考试没有通过，他又开始对经济学感兴趣。研究生学习阶段，他同时收到了Brown大学的应用数学专业和芝加哥大学经济系的录取通知。最后他选择了去芝加哥大学，师从计量经济学家H. Schultz。后来他又在Schultz的介绍下去哥伦比亚大学向H. Hotelling学习。Hotelling使他受到了严格的数理统计和数理经济学的训练。这些经历都使Friedman的研究带有浓厚的数学色彩。
1977
1977 年的诺贝尔经济学奖授予瑞典经济学家 Bertil Ohlin (1899—1979) 和英国经济学家 James E. Meade(1907—1995), 以奖励他们对国际贸易和国际资本运动的突破性贡献。
Ohlin 的最重要的贡献是他于 1931 年出版的《区间贸易和国际贸易》。在这本专著中，他用一般经济均衡的框架发展了 Heckscher 在 1919 年发表的《外贸对收入的影响》的一文中的思想，而形成今天的国际贸易理论中的经典 Heckscher-Ohlin 定理。这一定理阐明什么因素确定外贸模式和国际分工；同时，也指出外贸对资源配置、价格关系和收入分配的效应。Meade 的主要著作则是 1951－55 年出版的《国际经济政策理论》，其中他论述了外贸经济政策的效应，并剖析了“开放”经济 (极为依赖外贸的经济) 的稳定化政策问题。他的分析尤其集中于内外均衡的必要条件，并指出成功的稳定化政策不但要考虑对商品和劳务的总需求水平，也要考虑价格和费用的关系。
Ohlin 和 Meade 的学说都相当数学化。在上述的 Meade 的著作中， Meade 甚至还专门写了两个相当长的数学附录。Meade 在 1952 年出版的一本专著的标题还被称作《国际贸易的几何学》。他们的理论自然都需要实证分析支持。但是在 20 世纪 50 年代以前，这种实证分析很难进行。而到了 60 年代以后，一方面由于经济体系的全球化，另一方面也由于计算技术的大发展，他们的理论就变得越来越受重视，实际验证也越来越多
1978
1978 年的诺贝尔经济学奖授予美国德裔经济学家Herbert A. Simon (1916—), 以奖励他对在经济组织内部的决策过程的先驱性研究。
Simon 的学术贡献远远超出经济学范围。他对决策过程的研究影响遍及政治学、管理学、心理学、运筹学、信息科学等。他在 1947 年出版的《管理行为》一书是一本划时代的著作。在这本专著以及以后的一系列论文中，尤其是在 1960 年出版的《管理决策的新科学》一书中，Simon 提出了一种与传统的微观经济学研究极为不同的观点。传统的观点不区分企业与企业家，并总假定他们“完全理性”地去追求一个目标：利润最大化。而实际上，随着企业的规模越来越大，企业的所有权与经营权越来越分离，企业内部的组织管理就越来越重要。他把企业描绘为一个物理的、个人的和社会成分的自适应系统，企业家被取代为许多相互合作的决策者。面对着未来的不确定性和当前搜集信息的费用，这些决策者们不再有“完全理性”，而只有“有限理性”。他们不再追求“最大”，而只追求“满意”。每个部门决策者在考虑到别人的情况后，力求对自己的问题求出“满意”解答，使得整个企业不再追求利润最大，而只寻求问题的可接受的解答。这样的思想在今天已经变成管理科学的基本观念。
Simon 年轻时就立志成为一名“数学社会科学家”。他认为社会科学应该与自然科学同样严格，同样有数学根底。因此，他在芝加哥大学学习时，向许多名家学习数理统计、计量经济学、数理经济学、政治学、逻辑学、数学生物物理、科学哲学等等。他在计量经济学方面也有不少出色的工作。投入产出矩阵有正解的存在性定理在今天称为 Hawkins-Simon 定理就是一个例子。他的管理理论带来许多数学问题。为此他发展了动态规划的技巧，导出了对于不确定性条件下的确定等价最优决策定理等等。同时，他的研究还紧密结合算法和计算机程序，并使他曾把认知过程的计算机模拟作为他的中心研究课题。因此，他也是人工智能方面的一位先驱者，并且还曾荣获计算机科学奖。总之，他确实已经成为一位当代影响最大的“数学社会科学家”。
1979
1979 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家Theodore W. Schulz (1902—1998) 和出生于英属西印度群岛的英国经济学家 Sir Arthur Lewis (1915—1990) 以奖励他们对经济增长的先驱性研究，特别是对发展中国家的经济增长研究。
Schultz 和 Lewis 的研究都是非常具体的。Schultz 以一名农业经济学家而著称，而作为一位黑人学者，Lewis 更关注发展中国家的贫困问题。尽管他们着眼的都是各种经济历史资料，但是要上升到经济增长理论，仍然使他们不得不求助于数学思维和数学模型。 Schultz 对农业发展潜力的分析基于非均衡方法。运用这样的方法，Schultz 在不同的背景下对发展中国家的工业化政策和她们对农业的忽视提出详尽的批判。他首先系统分析教育投资是如何影响农业生产率和整个经济。作为一阶近似，他还定义了教育中的累计投资之和来衡量教育资本的大小。这些教育投资的成本的大部分构成就业所得在求学期间的损失。这样的观点在国家和个人两方面都能应用。在经济发展的模型中把人力资源或人力资本作为重要因素也是自 Schultz 及其学生开始的。Lewis 在研究发展中国家的经济时，提出两个著名的模型。第一个模型基于发展中国家的双重本性。一方面是首先基于自给自足的按传统运作的农业部门，它们占用了人口中的极大部分劳力；另一方面是现代市场定向的部门，主要是工业部门。经济的驱动力来自后一部门，它不断向农业部门提出无限制的劳力需求，而工人则接受对应农村中的低生活标准的低工资。现代部门中的利润使储蓄增长，形成扩张的资本积累。 Lewis 的另一个基本模型是把发展中国家和发达国家之间的贸易看成原材料和农产品与工业产品之间的贸易。在模型中有两组国家，每一组国家生产两种产品，其中一种是公共的，那就是食品。另外两种产品，在模型中称为“钢”与“咖啡”，是进行贸易的。Lewis 指出，怎样在规定的条件下，贸易取决于发展中国家和发达国家的农业生产率。
总之，他们两人的研究不但为经济增长理论作出重要贡献，并且也为如何用简单的数学模型来抓住经济现象的本质以及用实际统计数据来进行验证，作出经典性的范例。
1980
1980 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家 Lawrence R. Klein (1920—), 以奖励他创立经济模型，并把它们应用于经济波动和经济政策的分析。
Klein 是宏观经济计量模型的大师。他复兴了 Tinbergen (1969 年首届诺贝尔经济学奖获得者) 在 20 世纪 30 年代开始的宏观经济计量分析，但是他使用不同的经济理论和不同的统计技巧。其追求的目标也有所不同。Tinbergen 针对的是商情状况和价格运动，而 Klein 则期望建立一个预测商情波动的发展和研究经济政策度量的效应的工具。1950 年他发表了某些战争期间的美国经济的数值模型，以后又沿着同样的路线继续研究，提出更多的计量经济模型，其中最著名的是他与 Arthur Goldberger 合作的模型，它已经在计量经济学中成为经典。
Klein 早期的论文主要是方法论性质的。例如他的第一个美国经济模型只有 6 个变量，没有任何实用价值。然而，他后来提出的一些模型就越来越有实用目的。他曾与英国、加拿大等许多国家都合作建立过计量经济模型。20 世纪 60 年代以后，他又领导过“Brookings- SSRC 项目”(SSRC 是“社会科学研究委员会”的缩写)，为美国建立计量经济模型用于预测美国经济的短期发展。后来他在宾州大学创立的 Wharton 计量经济预测协会以一系列 Wharton 计量经济预测模型闻名于世。其规模虽然未能与 Brookings 模型相比，却有极好的声誉。至今人们还用它们来预测国民生产、进出口、投资、消费等等的波动，以及研究税收、公共支出、石油价格的提高等等的变化对这些变量的效应。后来他又领导更大的研究计划 LINK。这一计划的目标是协调世界各国的计量经济模型，其中包括各石油输出国家、前苏联和东欧社会主义国家以及中华人民共和国。为此 Klein 于 1980 年还带领许多美国经济学家来中国讲学。这次讲学几乎成了中国计量经济学研究的开端。
Klein 的这些宏观经济计量模型研究的影响是不可估量的。正是他把建立宏观经济模型成为一个投资巨大 (一个大型宏观计量经济模型可能耗资几亿美元) 的行业，使得世界各国政府、研究机构、公共管理部门，以至银行、大企业等都年复一年地运转计量经济模型。虽然他本人始终从事非盈利的研究工作，但是他的许多门徒开办的经营经济计量模型的公司都收入颇丰。一个宏观经济模型涉及的变量要上千个，甚至几十万个。要驾驭如此之多的变量的统计特性自然引起许多数学问题。Klein 在他的自传中特别强调数学教育对他一生的影响。正是因为他在大学期间同时修了经济学和数学，才使他进入当时方兴未艾的计量经济学领域，并成为这方面的领袖人物。
1981
1981 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家James Tobin (1918--), 以奖励他对金融市场及其与支出决策、就业、生产和价格的关系的分析。
Tobin 的成就覆盖了许多经济学研究领域，其中包括计量经济学方法、严格的形式化的风险理论、居民和厂商行为理论、一般宏观经济学理论、应用经济政策分析等。对于数学工作者来说，首先会想到计量经济学中有 Tobit 模型。这起源于Tobin 1958 年关于耐用消费品的研究。消费者有欲望去购买耐用消费品必须在其它基本需求已得到满足时才有可能。为刻划这样的需求，必须在模型中引进特殊的定性变量。这类模型就是所谓Tobit 模型。Tobin 也被认为是 Markowitz (1990 年诺贝尔经济奖获得者) 证券组合选择理论的奠基人，并且把它广泛地应用到居民和厂商的投资行为理论中去。他实际上最早提出二基金分离定理，即每一有效的投资组合都可由两个有效组合来生成，从而投资者面对众多证券进行组合与只对银行帐户和某一有效的基金进行组合是一样的。但是 Tobin 对经济学最重要的贡献是为凯恩斯经济学提供了最为严格的数学模型基础，并使宏观经济学与货币经济学的逻辑紧密结合。他把证券组合选择理论的观念引进对于金融资产和实在资产的一般经济均衡理论，由此来分析金融市场和实在商品市场之间是如何交互作用的。他强调金融事件对实在资产的 (投资和消费) 需求的影响，并得出两方面的基本结果：首先是所谓“传输机理”：税率变化、中央银行买卖政府债券和国库券的变化之类的货币政策和财政政策是如何影响国民收入的。其次是由货币政策和财政政策所引起的产量和价格水平的变化是怎样成为名义国民收入变化的因素。为此 Tobin 还提出工资形成问题等等。他的一系列研究对西方在 70 年代以后关于货币政策的影响、政府预算赤字的后果、一般的经济稳定化政策等研究都起着奠基作用。
1982
1982 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家George J. Stigler(1911--1991), 以奖励他对行业结构，市场功能以及公共监管的起因和效应的系统研究。
Stigler 被认为是“信息经济学”(这也是他于1961 年出版的专著的标题) 与“监管经济学”的创始人，是经济学与法学的交叉研究的先驱者。传统的经济学在阐述市场过程时，都有很强的假定，使得许多个别市场现象无法解释。例如，一般均衡的市场理论断言，市场上的每一种商品都只能有一种价格。但实际情况并非如此，除了没有考虑运输费用等以外，信息的不完备是一个主要原因。研究信息在市场中的作用就是信息经济学的主题。Stigler 是首先对市场上同样的商品会有不同的价格作出深入分析的经济学家。一个典型例子是人们在购买房屋、汽车、家用电器之类的耐用消费品时，会发现价格分歧很大，而消费者也会广泛收集有关信息，来使自己买到最合用的商品。 Stigler 把这样的问题模型化为效用函数的变量中还有信息变量。这一数学观念很快就被广泛运用。虽然 Stigler 本人的研究是从线性规划、价格理论的实证分析等与数学关系很密切的课题开始的，但是他关于信息经济学的工作总的来说并不很数学化。然而，他的理论框架显然为如何为它们数学建模提出许多问题。信息论在其中肯定大有用武之地。在带不确定性的一般经济均衡模型中引入信息结构，在激励机制模型中引入信息传递等等也都受到 Stigler 的影响。至于“监管经济学”更多地是与法学相联系，但是 Stigler 仍认为，经济学分析的有力工具，尤其是效用最大化的行为理论，仍能给出非常成功的预测。
1983
1983 年的诺贝尔经济学奖授予美籍法裔经济学家Gerard Debreu (1921--), 以奖励他把新的解析方法引进经济理论以及对一般经济均衡理论严格重新叙述。
Debreu 完全是在第二次世界大战期间由法国的 Bourbaki精神培养出来的数学家。1946 年，当他作为数学家在法国国家科研中心工作时，他开始对一般经济均衡的数学理论发生兴趣，从此使他一生都献给了数理经济学。他甚至被认为是现代数理经济学的奠基人，因为他把Bourbaki 的公理化方法引进了经济学。他在 1959 年发表的对一般经济均衡的公理化叙述的专著：《价值理论》被认为是现代数理经济学的划时代著作。
一般经济均衡价格的存在问题是亚当．斯密以来的微观经济学的基本问题，即各经济活动者是如何通过价格体系来互相协调经济活动的。1874 年，法国经济学家 L.Walras 把这一问题表达为数学形式：假定一个经济体中有若干种商品，若干个消费者，若干个生产者。消费者追求消费效用最大，生产者追求生产利润最大。由此引起的消费需求和生产供给都是商品价格的函数。那么是否在一定条件下，存在一个所谓一般均衡价格体系，使得供给与需求相等。Walras 认为这可归结为由供给等于需求决定的方程组的求解。但是 Walras 没有意识到他面临的方程组是一个非线性方程组，而只是简单地比较方程个数与未知量的个数来断定方程有解。这一错误很快就被人们所意识到，以至变为经济理论中的悬案。几十年来许多经济学家和数学家都对此进行过探索。1954 年 Arrow (1972 年诺贝尔经济学奖获得者) 和 Debreu 第一次给出了一般经济均衡的严格叙述和存在证明，其中尤其是引进了集值映射、凸性、不动点定理等数学工具。这使得 80 年来，一般经济均衡理论真正开始成为严格完整的理论体系。而《价格理论》又进一步使这一理论体系变为公理化体系。从此，数学公理化方法成为经济学研究的基本方法。
Debreu 后来还有一系列在数学上相当深刻、经济学上影响很大的研究。其中之一是他于 1970 年为了研究一般均衡的局部唯一性，提出了“正则经济学”的概念。其基本思想是把价格规范化以后,n 维价格向量可看作 n 维单位球面上在第一卦限上的向量，而超需 (需求减去供给) 映射作为价格的 n 维映射，由于它要满足财务平衡的要求，必须与价格向量正交。这样超需映射可看作n 维单位球面上的向量场，以至一般均衡存在问题变为该向量场是否有零点的问题。 Debreu 为此应用了Sard 定理和 Poincare-Hopf 定理，指出“极大多数”经济都是“正则经济”，而“正则经济”必定存在有限个一般均衡。有关研究后来引起1960 年 Fields 奖得主 S.Smale的极大兴趣，使他后来发表了一系列题为“大范围分析与经济学”的论文。另一个问题是 Walras 均衡与 Edgeworth 均衡是否一致的问题。所谓Edgewarth 均衡是在一个不带生产者的纯交换经济中交易者们通过互利谈判最后达到的商品交换均衡。它与一般均衡价格体系下达到的 Walras均衡是否一致被称为 “Edgeworth 猜想”。1963 年他与 H.Scarf 联合发表的论文指出，当交易者越来越多，使得同样的商品交换的机会越来越多时， Edgeworth 均衡会趋于 Warlas 均衡。这一研究引起了对“大 (large)经济”的系统研究。其中尤其引入注目的是 1964 年 Aumann 用无原子测度空间来表示交易者全体以及 1972 年 D.J.Brown 和非标准分析的创始人A.Robinson 用非标准无限大来表示交易者的个数。后者是非标准分析历史上第一个非标准数学模型。
1974 年，Debreu 应邀在温哥华的国际数学家大会上作报告。由此也可见Debreu 的工作对数学的深远影响。
1984
1984 年的诺贝尔经济学奖授予英国经济学家 Richard Stone(1913--1991), 以奖励他对发展国民经济核算体系从而大大改进了经验经济分析基础的基本贡献。
Stone 从 1940 年起就开始为英国设计国民经济核算体系，使各生产部门的产出和资源消耗一目了然。由此推进了非常广泛的统计研究。他的工作很快就被推广到早年的国联和后来的联合国，使后来国民经济核算体系国际化，非常便于比较不同国家之间的经济状况。
Stone 的出发点是要在居民、企业、公共部门、世界各国之间建立起交易关系来。问题在于如何把浩瀚的个体汇总成若干个部门，并且要使汇总后的部门间的交易关系对于国民经济核算来说是有意义的。简单的归并显然不行。这就需要经济学上的考虑以及数学和统计上的处理。
Stone 的著作甚丰。可以说，他的所有研究都围绕如何用数字来度量和表示经济状况。他在他的自传中说到，他小时候热衷于做火车、轮船之类的模型，而成年后却总做数学模型。除了他的大量有关国民经济核算的著作外，他还发表了诸如《社会核算和经济模型 (1959)》、《经济增长的可计算模型 (1962)》、《1920－1938 年英国的消费支出和行为的测量 (1967)》、《人口核算和建模 (1970)》等专著。由这些题目我们都可看到数学建模对 Stone 的经济研究的关键作用。
1985
1985 年的诺贝尔经济学奖授予美籍意裔经济学家Franco Modigliani (1918－), 以奖励他对储蓄和金融市场的先驱性分析。
对于家庭储蓄问题，Modigliani 与他的英年早逝的学生 Brumberg 于 1952－1954 年期间用数学模型提出“生命周期假说”。在这个模型中，他们假定人们储蓄就是为了自己的一生 (特别是包括收入较低的退休期)，而不是为了留给后代；他的消费只依赖于他毕生的收入，而与他当前的收入无关。于是就可得出短期储蓄取决于其毕生平均收入与当前收入的差异以及终生消费分配效用的最大化。这样的模型与实际非常符合。尤其是它能用来合理解释国民收入增加并不使储蓄率提高，穷人的储蓄率通常比富人高等现象。同时，如果这样的“生命周期假说”成立，就要得出征收消费税比征收当前收入的所得税更合理，而试图用临时性所得税来抑制或刺激消费需求是不能成功的。
对于金融市场问题，他与 Miller (1923－, 1990 年诺贝尔经济奖获得者) 在 1958 年提出的 Modigliani-Miller 定理已经成为公司财务理论的基础。我们在介绍 Miller 时已经提到过这一定理。这里可再进一步介绍的是MMT 是用“无套利假设”通过数学推导而得到的第一条金融市场方面的定理。由此后来形成一整套套利定价理论，它是数理金融学的最重要的组成部分。除了这些得奖工作外， Modigliani 在 60 年代一直为美国联邦储备银行负责设计大规模的美国经济模型。直到现在这些模型还在使用。
1986
1986 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家 James McGill Buchanan Jr.(1919—), 以奖励他对政治决策和公共经济学理论的贡献。
Buchanan 所研究的理论称为“公共选择学 (Public Choice)”或 “新政治经济学”。传统经济学研究的是消费者和生产者如何在市场上根据各自的利益在生产、消费、投资、就业上作出抉择；而 Buchanan 则把政治行为理解为类似于市场行为那样来研究政治决策。政治过程由此就变成一种为达到互利的目的的合作手段。但是这种过程的结果依赖于“游戏规则”，即各种法规。这样，制订各种法规和法制改革的可能性就变得特别重要。
Buchanan 的研究中使用数学论证不多。甚至他对某些脱离经济内容的数理经济学研究有相当强烈的批评。例如，他对与公共选择学基本上研究同样问题的“社会选择学 (Social Choice)”就明确表示不满意。社会选择学可以说就是“数理公共选择学”。其奠基定理——Arrow 不可能性定理是 1972 年诺贝尔经济奖得主 K. Y. Arrow 完全用数学公理化方法来陈述和证明的。但是 Buchanan 认为，因为人们的价值观念并不能完全用社会福利函数这种数学形式来表述，这样的研究是有缺陷的。对于一些公共选择学问题的对策论研究他也持类似的态度。总之，他认为数学对于经济学来说，只是提供了一种语言上的补充，而不是全部。尽管如此，我们仍然可以看到 Buchanan 对数理经济学研究非常熟悉，并且在理解上更为深刻。因此，他对某些无视经济学实质的数理经济学研究的批评确实一针见血。这与某些对数学一无所知、却要全盘否定数学方法在经济学中的作用的来自经济学界的批评是截然不同的。此外，我们还可以看到，Buchanan 的论述就像一些法学家那样，显然隐含着一种与数学一样的强大的逻辑力量。
1987
1987 年的诺贝尔经济学奖授予美国经济学家 Robert M. Solow (1924--), 以奖励他对经济增长理论的贡献。
长期来，经济增长理论都是经济学研究的中心论题。Solow 的贡献之一在于他在 1956 年为新古典主义经济增长理论建立了一个数学框架，使得各种经济因素在经济增长中的作用既可在理论上、也可在实际度量上得到阐明。这一数学框架是用微分方程来刻画的。
考虑技术进步时，由此可推出，对长期经济增长来说，资本、劳力和产出趋向于有同样的增长率。如果进一步考虑技术进步，那么可导出实际收入的增长将取决于技术进步。随后，Solow 又在两篇分别题为《技术变更和总量生产函数》和《投资和技术进步》的论文中进一步论证技术进步在经济增长的作用，在理论上和实际统计数据分析上都指出，经济增长中只有很小的比例可用资本和劳力的增长来解释，相当大部分的增长应归功于技术进步。Solow 的数学模型和由此给出的分析对经济增长理论和实际经济分析产生了极为巨大的影响。
Solow 在 Havard 大学攻读博士学位时，师从投入产出分析的创始人 W. Leontief (1973年诺贝尔经济学奖得主)；后来他在麻省理工学院任教时又与大经济学家 P. Samuelson (1970 年诺贝尔经济学奖得主) 共事。这两位诺贝尔经济学奖得主都以用数学方法研究经济学而著称，对 Solow 自然都有很深的影响。Solow 的在Havard 大学荣获 Wells 奖的博士论文就用 Markov 过程来研究工资收入的变化。而他与 Samuleson 和 Dorfmann 合作于 1958 年出版的《线性规划与经济分析》一书在数学界也很受重视。此外，他还长期从事统计学和计量经济学的教学，可见其数学修养是非常全面的。
1988
1988 年的诺贝尔经济学奖授予法国经济学家 Maurice Allais (1911—),以奖励他在市场和资源的有效利用理论中的先驱工作。
Allais 最著名的工作莫过于他在 1953 年所提出的 Allais 悖论。这个悖论是针对所谓期望效用函数理论的。所谓效用函数是衡量消费者满意程度的函数。在确定性的市场环境下，效用函数是商品向量的函数。在不确定的市场环境下，效用函数又是随机商品向量的函数。在数学上，一个自然的数学假定是：随机商品量的数学期望的效用应该等于随机商品量的效用的数学期望。由此出发，人们列出了这种所谓 von Neumnn-Morgenstein 期望效用函数的公理体系，并证明在至多相差一个仿射变换的意义下的，期望效用函数是唯一的。于是对于不确定市场环境下的经济行为 (尤其是金融市场行为) ，就可用期望效用函数来刻画。这样的理论曾风行几十年，谁也没有提出怀疑。而正是 Allais 首先构造了一个例子，并广泛征求人们的判断，使人们发现，上述数学假定与人们日常的判断是不一致的。从数学上来说，随机变量的数学期望有线性性，而要求这种线性性在期望效用函数理论中仍然保持，就会引起与人们对风险态度的不相符。Allais 悖论提出以后，引起了大量的研究，至今仍然方兴未艾。在数学上它导致与经典概率论截然不同的不确定性理论，尤其是可提出非线性的数学期望理论。这方面的研究目前似乎更多的是经济学家在参与。
然而，Allais 获得诺贝尔经济奖主要并非因为 Allais 悖论，而是他对 Walras 的一般经济均衡理论的贡献。一般经济均衡理论是数理经济学的核心。法国经济学家 Lｅon Walras (1834—1910) 也因此被认为是数理经济学的创始人。诺贝尔经济奖获得者有许多人都是因为在一般经济均衡理论研究中有重大贡献而得奖。1983 年获奖的 Gerard Debreu (1923—) 就是其中之一，他正是 Allais 的学生。Allais 的贡献则在于他于 1943 年和 1947 年出版了两本长达八、九百页的巨著，在数学上严格论述一般经济均衡理论。这就为 Debreu 最终严格证明一般经济均衡的存在性奠定了基础。
Allais 的学识极为广博。首先他也是一位著名的运筹学家。他于 1957 年发表的采矿研究论文获得 1958 年的 Johns Hopkins 大学和美国运筹学会Lanchester 奖。同时，他还是一位物理学家，在地球物理方面发表过不少重要论文，并于 1959 年获得法国天文学会的 Galabert 奖和美国重力研究基金会奖。此外，他还是一位历史学家，在 60 年代出版过一本题为《文明的兴起和衰落——经济因素》的专著。此后 20 年间不断修订再版。
1989
1989 年的诺贝尔经济学奖授予挪威经济学家 Trygve Haavlmo (1911—), 以奖励他澄清计量经济学的概率论基础以及他的联立经济结构分析。
Haavelmo 的突破性贡献被称为计量经济学的概率论革命。计量经济学研究开始于本世纪初。当时的计量经济学只使用一些很原始的想法和很简单的回归分析。例如，根据商品的价格和消费的数据，来确定商品需求与价格的关系。这样的研究就像处理物理实验数据，很难对经济现象作出较深刻的结论。Haavelmo 在他发表于 1944 年的博士论文《计量经济学的概率方法》中指出，为了使经济理论可以用实际数据来检验，必须用概率论来陈述；这是因为经济现象涉及大量个体和厂商的行为，各种总量关系必然表现为带有随机“干扰”，以至需要对随机项的分布作一定的假定。于是统计推断理论就可得到应用，并且由此可对经济现象作一定的预测。与此同时，Haavelmo 还指出，在经济现象中各个经济变量之间的关系错综复杂，决不是简单的回归分析可以解决问题，而需要变量间的联立方程组来构造计量经济学模型。这点后来成为一本计量经济学教科书与一本实用数理统计教科书的主要数学区别。Haavelmo 后期的工作是把他的计量经济学方法运用于经济成长理论和投资理论。在这两个研究领域他都是先驱者。Haavelmo 对计量经济学所进行的概率论革命不是偶然的。事实上，概率论与数理统计也正是在本世纪 30 年代才开始严格化。Haavelmo 的早期学术生涯更多地是作为一名统计学者而出现。在概率论与数理统计现代化的影响下，他用现代数学工具来改造计量经济学正是一种必然趋势。他后来还当过挪威驻美国使馆的商务参赞，挪威工商部、财政部的官员。这使他后期就更关心现实的经济学。
1990
1990 年的诺贝尔经济学奖授予三位美国经济学家：Harry M. Markowitz (1927—), Merton H. Miller (1923—) 和 William F. Sharpe (1934—), 以奖励他们在金融经济学理论中的先驱工作。
Markowitz 得奖是因为他在 1952 年开始提出的投资组合选择 (portfolio choice) 理论。他考虑这样的问题：如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投资，那么怎样的投资组合 (portfolio) 将是最好的？为此，Markowitz 把投资组合的价格变化量视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险 (从而 Markowitz 理论又称均值──方差分析)；把投资组合中各种股票之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。Markowitz 又进一步指出，把收益作为参量，它与求得的最小风险相应的标准差之间的关系，形成双曲线的一支；再根据投资者的偏好，由此就可进行投资决策。 Markowitz 的理论后来被誉为“华尔街的第一次革命”。
Sharpe 得奖是因为他对金融资产的价格形成理论 ( 即所谓“资本资产定理模型 ( Capital Asset Pricing Model, CAPM)”) 的基本贡献。其思路起因于 Markowitz 的投资组合的风险计算涉及各种股票的价格变化之间的协方差计算，计算量极大。为简化这一计算，改用投资组合 (或更一般的资本资产) 的价格变化与“市场投资组合” 的价格变化之间的回归系数来衡量股票交易的风险。这里 “市场投资组合” 是刻划股市总体状况的量，理论上可由 Markowitz 的分析得到，实际计算时可用股市指数来得到。由此可导得每种资本资产的收益与市场收益之间的一个线性关系，它就是资本资产定价模型。与 Markowitz 理论一起，这也被看作“华尔街第一次革命” 的一部分。
Miller 得奖是因为他对公司财务 (corporate finance) 理论的基本贡献。其中以他与另一位诺贝尔经济奖获得者 Modigliani从 1958 年起提出的所谓Modigliani-Miller 定理 (MMT) 为代表。他们断言，在一定条件下，公司的市场价值只依赖于它的利润流，而与它的资本结构无关，即与债权与股权之间的比例无关，从而也与它的分红策略无关，即与债权者和股权者之间的利润分割无关。这些定理目前已经成为公司财务的理论和经验分析的基础。
这三位经济学家的工作显然都是非常数学化的。尤其是 Markowitz 更是常被看作一位运筹学家。事实上，他在 1989 年还获得过美国运筹学会颁发的 von Neumann 奖。除奖励他的投资组合选择理论外，还奖励他在稀疏矩阵计算与 SIMSCRIPT 程序语言方面的贡献。
4:44 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 25
日记
越来越发觉 B.A.Dubrovin,A.T.Fomenko,S.P.Novikov 那三卷 Modern Geometry -- Methods and Applications 是非常重要的书了。很多的例子，很值得思考和反复细读。
还发现一本有趣的书 Applied Differential Geometry A Modern Introduction 作者Vladimir G Ivancevic, Tijana T Ivancevic 。这书基本上是把不同的书和文章里的东西揉在一起合成的一本书，像是对微分几何做了一个简单的输理，当然对于我这种初学者是有用的。很多东西都是简单地提了提，甚至感觉当小说读似乎更合适。7:07 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 23
读网手记——关于几何的
From Zeroes To Stacks
Top 10 noncommutative geometry books for newbies5:37 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 12
读网手记——有趣的讨论
俄国数学教育 1
俄国数学教育 23:16 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 07
读网手记——物理学和数学殊途同归
从豆瓣上看到的一篇短文。
物理学和数学从来都是紧密联系在一起的，尽管殊途然而同归。
在刚刚过去的二十世纪里，物理学和数学都经历了前所未有的革命,而两者的密切合作更是奏响了人类文明史上的动人篇章.作为上个世纪物理学发展的基础理论,广义相对论和量子力学都使用了大量的数学工具， 包括Riemann几何，微分方程，线性代数和群论，随后出现的量子场论 则逐渐把拓扑学和大范围微分几何纳入其中，同时把群论尤其是Lie群 和Lie代数运用的更加娴熟。此时，数学家的宝库仍然是丰富多彩的， 物理学可以随意使用,不感到匮乏。
但是到了七十年代，一批前卫的粒子物理学家在尝试将内部与外部对称性结合起来的研究中,发现当时的 数学工具已经无能为力，于是他们撇开数学家,独立发展了超对称的数学基础。在这段时期，物理学对于数学的影响一直是间接的，比如， Einstein使用了Riemann几何以描述他的物理思想，这促使数学家恢复 了对其的兴趣并将其大大发展,甚至有的问题在物理学家加以研究之前， 数学家根本无法了解它们的重要性和解决的可能性,但是数学家毕竟很少从物理学家那里找到现成的结论可供使用.但在二十世纪的最后二十 年,情况发生了意想不到的改变，物理学中超对称理论的建立为数学家研究Clifford代数提供了丰富的资源,物理学中某一类精确可解模型的研究直接导致了Hopf代数的诞生,而二十年来超弦的发展即使在物理学上是毫无意义的，也会在数学史上留下深深的痕迹。1990年,理论物理学家Witten获得了数学界的最高奖---Fields奖，这或许可以作为物理学对数学所产生的巨大影响的最好诠释。
一）量子理论和纽结的拓扑
物理学和几何学之间相互激发的历史已经相当长了，在Euclid时代，几何被用来刻画物理空间，这一空间后来成为Newton力学中的参考系。Maxwell理论和Einstein理论的出现大大加深了人们对几何学的认识，这引发了二十世纪微分几何在多方面的发展。几何学研究对象是可以测量的量，比如距离，角度，曲率等，它在本质上是一门定量的学科。与此相反，拓扑学是一门定性的学科，它研究可测量量被去掉以后的几何性质。举例来说，假如桌子上有一根细线，几何学研究的是这条线的长度和精确形状，拓扑学研究的是它绕桌面上一个点转过的圈数，而这一圈数必为一整数，并且与线的长度和精确形状无关。纽结和环结是拓扑学家非常关心的一个概念，对纽结和环结的研究也是一个很典型的拓扑学的工作领域。
1928年，Alexander 发现可以利用具有整数系数的多项式为纽结或环结定义一个不变量，不同的多项式对应于不同的纽结或环结。这个工作的重要意义在于能够在一定程度上对所有纽结或环结进行分类，它的缺点是无法区分开纽结或环结和它的镜像。大约60年以后，也就是在1987年，Jones 找到了一个新的多项式表示纽结和环结不变量，它比Alexander 多项式的优越之处在于能够区分纽结或环结和它的镜像。到这时候，关于纽结和环结的讨论仍然仅局限于数学的范围内，然而令人吃惊的是，在两年之后，物理学家Witten赋予了Jones 多项式一个非常优美的量子理论解释，这就把纯粹的数学研究与粒子物理的最前沿成果紧密地结合在一起了。在由两维物理空间和一维时间构成的三维时空中，Witten选择了一个恰当的量子场论模型，发现Jones多项式就是Chern--Simons理论中Wilson圈算子的真空期望值，它们的拓扑不变性由理论满足广义协变性得到保证。
现在，我们已经有了很多量子理论与拓扑学结合研究的例子，为了描述这些不寻常的现象，近十五年来物理学家和数学家发展了一个新的研究领域--拓扑量子场论。Witten获得Fields奖也主要是因为上述工作.
二)四维流形研究的新进展
对于大于和等于五维的流形，人们很早就有了很好的处理可微流形的理论，而一维和二维流形因其可以嵌入三维流形中计算而实际上非常容易描述。真正构成困难的是三维流形和四维流形，其中三维流形可用上节提到的Jones方法以及由Thurston 独立发展的方法进行研究，虽然这些方法不是完备的，但是已经比较成功。与其他维数的流形不同，四维流形是解析结构最为丰富（理论上有无穷多种）的流形，它有一个其他维数流形所不具有的奇异空间，即与四维Euclid空间拓扑等价但微分结构不同的奇异四维空间。因此，对于数学家来说，即使我们生活的真实时空不是四维，对四维流形的研究也是最为激动人心的，而它恰好具有物理时空维数这一事实则简直让物理学家兴奋的发狂。
1982年，牛津大学的研究生Donaldson指出，可以用自对偶的nonablien Yang-Mills方程来研究四维流形的拓扑不变量，此后的大多数关于四维平滑流形的成果都来自于对自对偶Yang-Mills理论的研究，而Donaldson不变量也成为研究四维流形结构的基础。然而，Donaldson不变量的计算过程极为复杂繁琐，很多学术论文动辄就达几百页。1989年，Witten曾经指出，对Donaldson不变量的计算，等价于计算四维空间里N=2超对称规范理论中的关联函数。但是在当时，这项工作的用处不大，因为虽然在紫外即高能量区域，由于渐进自由行为，可以很方便的进行计算，但是在红外即低能量区域，由于耦合过于强烈，对规范理论的研究是完全不清楚的。
事情的转机出现在1994到1995年，Seiberg和Witten 的一系列工作掀起了一场世纪末的理论物理学和数学革命，在长达一年半的时间里，人们几乎每个星期都能看见新的进展，以前困扰人们多时的问题一个又一个的得到解决。Seiberg和Witten发展了一套解析技术以处理超对称Yang-Mills 理论，在四维量子场论中，利用这些技术，物理学家首次得到了许多一般的精确解，其中最引人瞩目的是利用磁单极凝聚机制定量描述夸克禁闭。Seiberg和Witten 理论的核心思想是自然界广泛存在对偶现象（电－磁对偶，粒子－孤子对偶，强耦合－弱耦合对偶等），利用对偶性质，能够很好地求解非阿贝尔规范理论中的强耦合区域即红外区域。由于上面所提到的规范理论和Donaldson不变量之间的关系，Seiberg和Witten的工作除了为物理学带来新的曙光，也在拓扑学中引发了一场彻底的革命。在他们理论的框架内，Donaldson 不变量的计算化为数出磁单极方程经典解个数的问题，从而成千倍的简化了对四维平滑流形的研究。
为了摆脱物理学对数学的影响，十九世纪的数学家曾立誓要创造出真正纯粹的数学。群论建立之初就被数学家寄以厚望，他们认为终于发展了一个永远也不会被用于物理学的数学理论。他们又一次失望了，实际上Lie 群已经成为研究基本粒子物理的基础数学工具，而分立群则是固体物理和化学物理工作者的通用语言。但是，至少数学家已经不像他们的前辈那样必须从物理学中发掘数学问题，他们在研究数学时已不必理会物理学家在做些什么，至于他们的成果屡屡被物理学家拿去使用，那只能说明他们发展的数学理论不但优美而且有不斐的实用价值。因此，当陈省身发现以他名字命名的数学名词频频出现在理论物理学家的文章中时，当Atiyah和Singer发现他们的指标定理被理论物理学家用来研究粒子物理时，他们的心情肯定是非常自豪的。但是，Atiyah却惊奇地发现，他的学生Donaldson必须要从物理学家那里借用方法来研究拓扑和几何学，而陈省身的学生丘成桐则毫不犹豫地投身于广义相对论和超弦理论的研究之中。数学和物理学在单飞近二百年以后，在二十世纪的最后二十年里，终于又走到了一起，《三国演义》中倾情演绎的天下大势，竟然毫无二致地在数理科学的身上重现。
数学讲究严密和逻辑，物理学依赖事实和猜想，数学家每走一步都要有确凿的理由，而物理学家则常常凭直觉一步到达事物的核心，然后再转回来寻找理论根据。数学家的缺点在于过于相信推理以至很难在观念上实现大的飞跃，正如丘成桐所说，“。。。在这个年代，我们（数学家）要搞清楚物理学家在量子场论方面的直观是怎样训练出来的，因为我们本身没有这方面的观念”，“二十一世纪至少前几十年在无穷维空间上的几何，要不停地受到量子场论的影响，因为我们很容易定义什么叫做无穷维空间上的几何，可是往往没有办法得出任何有意义的结论。这是因为我们没有办法把物理上的观念搞清楚，而无穷维几何通常不是直观可以得到的，所以往往需接受物理或其他自然科学供给的观念来使我们向前走。。。”
而人的想象力也不可能无限丰富，因此，物理学家除了猜想还需要借助强大的数学工具。现在，物理学家是除数学家外学习数学最多的人，有着良好数学修养的物理学家更能够清晰而有效的表达自己的思想。正如Salam所说，“最近几年中我们看到拓扑学、同伦、上同调论和Calabi-Yau 空间、Riemann面、模空间---真正的、活生生的数学正在渗透到物理中来，我们了解更多真正的数学，就可以具有更深的洞察力”。2:22 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJuly 01
余秋雨《苏东坡突围》
这是我弟弟介绍给我的一篇文章，他说写得很好，读来可能不同的人有不同的感受，确实很好。
(一)
住在这远离闹市的半山居所里，安静是有了，但寂寞也来了，有时还来得很凶猛，特别在深更半夜。只得独个儿在屋子里转着圈，拉下窗帘，隔开窗外壁立的悬崖和翻卷的海潮，眼睛时不时地瞟着床边那乳白色的电话。它竟响了，急忙冲过去，是台北<中国时报>社打来的，一位不相识的女记者，说我的<文化苦旅>一书在台湾销售情况很好，因此要作越洋电话采访。问了我许多问题，出身、经历爱好，无一遗漏。最后一个问题是：“在中国文化史上您最喜欢哪一位文学家？”我回答：苏东坡。她又问：“他的作品中，您最喜欢哪几篇？”我回答：在黄州写赤壁的那几篇。记者小姐几乎没有停顿就接口道：“您是说<念奴娇*赤壁怀古>和前、后<赤壁赋>？”我心里立即为苏东坡高兴，他的作品是中国文人的通用电码，一点就着，哪怕是半山深夜、海峡阻隔、素昧平生。
放下电话，我脑子中立即出现了黄州赤壁。去年夏天刚去过，印象还很深刻。记得去那儿之前，武汉的一些朋友纷纷来劝阻，理由是著名的赤壁之战并不是在那里的苏东坡情感怀错了地方，现在我们再跑去认真凭吊，说得好听一点是将错就错，说得难听一点是错上加错，天那么热，路那么远，何苦呢？
我知道多数历史学家不相信那里是真的打赤壁之战的地方，他们大多说是在嘉鱼县打的。但是最近几年，湖北省的几位中青年历史学家持相反的意见，认为苏东坡怀古没怀错地方，黄州赤壁正是当时大战的主战场。对于这个论争我一直兴致勃勃地关心着，不管争论前景如何，黄州我还是想去看看的，不是从历史的角度看古战场的遗址，而是从艺术的角度看苏东坡的情怀。大艺术家即便错，也会错出魅力来。好像王尔德说过，在艺术中只有美丑而无所对错。
于是我还是去了。
这便是黄州赤壁。赭红色的陡峭石坡直逼着浩荡东去的大江，坡上有险道可以攀登俯瞰，江面有小船可供荡桨仰望，地方不大，但一俯一仰之间就有了气势，有了伟大与渺小的比照，有了视觉空间的变异和倒错，因此也就有了游观的价值。客观景物只提供一种审美可能，而不同的游人才使这种可能变获得不同程度的实现。苏东坡以自己的精神力量给黄州的自然景物注入了意味，而正是这种意味，使无生命的自然形式变成美。因此不妨说，苏东坡不仅是黄州自然美的发现者，而且也是黄州自然美的确定者和构建者。
但是，事情的复杂性在于，自然美也可倒过来对人进行确定和构建。苏东坡成全了黄州，黄州也成全了苏东坡，这实在是一种相辅相成的有趣关系。苏东坡写于黄州的那些杰作，既宣告着黄州进入了一个新的美学等级。也宣告着苏东坡进入了一个新的人生阶段，两方面一起提升，谁也离不开谁。
苏东坡走过的地方很多，其中不少地方远比黄州美丽，为什么一个僻远的黄州还能把如此深厚的历史意味和人生意味投给黄州呢？这一切，决定于他来黄州的原因和心态。
他从监狱里走来，他带着一个极小的官职，实际上以一个流放罪犯的身份走来，他带着官场和文坛泼给他的浑身脏水走来，他满心侥幸又满心绝望地走来。他被人押着，远离自己的家眷，没有资格选择黄州之外的任何一个地方，朝着这个当时还很荒凉的小镇走来。
他很疲倦，他很狼狈，，出汴梁、过河南、渡淮河、进湖北、抵黄州，萧条的黄州没有给他预备任何住所，他只得在一所寺庙中住下。他擦一把脸，喘一口气，四周一片静寂，连一个朋友也没有，他闭上眼睛摇了摇头。他不知道，此时此刻，他完成了一次永载史册的文化突围。黄州，注定要与这位伤痕累累的突围者进行一场继往开来的壮丽对话。
（二）
人们有时也许会傻想，像苏东坡这样让中国人共享千年的大文豪，应该是他所处的时代的无上骄傲，他周围的人一定会小心地珍惜他，虔诚地仰望他，总不愿意去找他的麻烦吧？事实恰恰相反，越是超时代的文化名人，往往越不能相容于他所处的具体时代。中国世俗社会的机制非常奇特，它一方面愿意招待所和轰传一位文化名人的声誉，利用他、榨取他、引诱他，另一方面从本质上却把他视为异类，迟早会排拒他、糟践他、毁坏他。起哄式的传扬，转化为起哄式的贬损，两种起哄都起源于自卑而狡黠的觊觎心态，两种起哄都与健康的文化氛围南辕北辙。
苏东坡到黄州之前正陷于一个被文学史家称为“乌台诗狱”的案件中，这个案件的具体内容是特殊的，但集中反映了文化名人在中国社会中的普遍遭遇，很值得说一说。搞清了这个案件中种种人的面目，才能理解苏东坡到黄州来究竟是突破了一个什么样的包围圈。
为了不使读者把注意力耗费在案件的具体内容上，我们不妨先把案件的底交代出来。即便站在朝廷的立场上，这也完全是一个莫须有的可笑事件。一群大大小小的文化官僚硬说苏东坡在很多诗中流露了对政府的不满和不敬，方法是对他诗中的词句和意象作上纲上线的推断和诠释，搞了半天连神宗皇帝也不太相信，在将信将疑之间几乎不得已地判了苏东坡的罪。
在中国古代的皇帝中，宋神宗是不算坏的，在他内心并没有迫害苏东坡的的任何企图，他深知苏东坡的才华，他的祖母光献太皇太后甚至竭力要保护苏东坡，而他又是非常尊重祖母意见的，在这种情况下，苏东坡不是非常安全吗？然而，完全不以神宗皇帝和太皇太后的意志为转移，名震九州、官居太守的苏东坡还是下了大狱。这一股强大而邪恶的力量，就很值得研究了。
这件事说来话长。在专制制度下的统治者敢常常会摆出一种重视舆论的姿态，有时甚至还设立专门在各级官员中找岔子、寻毛病的所谓谏官，充当朝廷的耳目和喉舌。乍一看这是一件好事，但实际上弊端甚多。这些具有舆论形象的谏官所说的话，中国人无法声辩，也不存在调查机制和仲裁机制，一切都要赖仗于他们的私人品质，但对私人品质的考察机制同样也不具备，因而所谓舆论云云常常成为一种歪曲事实、颠倒是非的社会灾难。这就像现代的报纸如果缺乏足够的职业道德又没有相应的法规制约，信马由缰，随意褒贬，受害者无处可以说话，不知怀者却误以为白纸黑字是舆论所在，这将会给人们带来多大的混乱!苏东坡早就看出这个问题的严重性，认为这种不受任何制约的所谓舆论和批评，足以改变朝廷决策者的心态，又具有很大的政治杀伤力(“言及乘舆，则天子改容，事关廊庙，则宰相待罪”)，必须予以警惕，但神宗由于自身地位的不同无法意识到这一点。没想到，正是苏东坡自己尝到了他预言过的苦果，而神宗皇帝为了维护自己尊重舆论的形象，当批评苏东坡的议论几乎不约而同地聚合在一起时，他也不能为苏东坡讲什么话了。
那么，批评苏东坡的言论为什么会不约而同地聚合在一起呢？我想最简要的回答是他弟弟苏辙说的那句话：“东坡何罪？独以名太高”。他太出色、太响亮，能把四周的笔墨比得地十分寒伦，能把同代的文人比得有点狼狈，引起一部分人酸溜溜的嫉恨，然后你一拳我一脚地糟践，几乎是不可避免的。在这场可耻的围攻中，一些品格的文人充当了急先锋。
例如舒颤。这个人可称之为“检举专业户”在揭发苏东坡的同时他还揭发了另一个人，那人正是以前推荐他做官的大恩人。这位大恩人给他写了一封信拿了女婿的课业请他提意见、辅导，这本是朋友间非常正常的小事往来，没想到他竟然忘恩负义地给皇帝写了一封莫名其妙的检举揭发信，说我们两人都是官员，我又在舆论领域，他让我辅导他女婿总不大妥当。皇帝看了他的检举揭发，也就降了那个人的职。这简直是东郭先生和狼的故事。就是这么一个让人恶心的人，与何正臣等人相呼应，写文章告诉皇帝，苏东坡到湖州上任后写给皇帝的感谢信中“有讥切时事之言”。苏东坡的这封感谢信皇帝早已看过，没发现问题，舒颤却苦口婆心地一款一款分析给皇帝听，苏东坡正在反您呢，反得可凶呢，而且已经反到了“流俗翕然，争相传诵，忠义之士，无不愤惋”的程度!“愤”是愤苏东坡，“惋”是惋皇上。有多少忠义之士在“愤惋”呢？他说是“无不”，也就是百分之百，无一遗漏。这种数量统计完全无法验证，却能使注重社会名声的神宗皇帝心头一咯噔。
又如李定。这是一个曾因母丧之后不服孝而引起人们唾骂的高官，对苏东坡的攻击最凶。他归纳了苏东坡的许多罪名，但我仔细鉴别后发现，他特别关注的是苏东坡早年的贫寒出身、现今在文化界的地位和社会名声。这些都不能列入犯罪的范畴，但他似乎压抑不住地对这几点表示出最大的愤慨。说苏东坡“起于草野垢贱之余”，“初无学术，滥得时名”，“所为文章，虽不中理，亦足以鼓动流俗”，等等。苏东坡的出身引起他的不服且不去说它，硬说苏东坡不学无术、文辞不好，实在使我惊讶不已了。但他不这么说也就无法断言苏东坡的社会名声和世俗鼓动力是“滥得”。总而言之，李定的攻击在种种表层动机下显然埋藏着一个最深秘的原素“妒忌。无论如何，诋毁苏东坡的学问和文采毕竟是太愚蠢了，这在当时加不了苏东坡的罪，而在以后却成了千年笑柄。但是妒忌一深就会失控，他只会找自己最痛恨的部位来攻击，已顾不得哪怕是装装样子的可信性和合理性了。
又如王圭。这是一个跋扈和虚伪的老人。他凭着资格和地位自认为文章天下第一，实际上他写诗作文绕来绕去都离不开“金玉锦绣”这些字眼，大家暗暗掩口而笑，他还自我感觉良好。现在，一个后起之秀苏东坡名震文坛，他当然要想尽一切办法来对付。有一次他对皇帝：“苏东坡对皇上确实有二心。”皇帝问：“何以见得？”他举出苏东坡一首写桧树的诗中有“蛰龙”二这为证，皇帝不解，说：“诗人写桧树，和我有什么关系？”他说：“写到了龙还不是写皇帝吗？”皇帝倒是头脑清醒，反驳道：“未必，人家叫诸葛亮还叫卧龙呢!”这个王王圭用心如此低下，文章能好到哪儿去呢？更不必说与苏东坡来较量了。几缕白发有时能够冒充师长、掩饰邪恶，却欺骗不了历史。历史最终也没有因为年龄把他的名字排列在苏东坡的前面。
又如李宜之。这又是另一种特例，做着一个芝麻绿豆小官，在安徽灵璧县听说苏东坡以前为当地一个园林写的一篇园记中有劝人不必热衷于做官的词句，竟也写信给皇帝检举揭发，并分析说这种思想会使人们缺少进取心，也会影响取士。看来这位李宜之除了心术不正外，智力也大成问题，你看他连诬陷的口子都找得不伦不类。但是，在没理性法庭的情况下，再愚蠢的指挥也能成立，因此对散落全国各地的李宜之们构成了一个鼓励。为什么档次这样低下的人也会挤进来围攻苏东坡？当代苏东坡研究者李一冰先生说得很好：“他也来插上一手，无他，一个、默默无闻的小官，若能参加一件扳倒名人的大事，足使自己增重。”从某种意义上说，他的这种目的确实也部分地达到了，例如我今天写这篇文章时竟然还会写到李宜之这个名字，便完全是因为他参与了对苏东坡的围攻，融他没有任何理由被哪怕是同一时代的在印刷品里。我的一些青年朋友根据他们对当今世俗心理的多方体察，觉得李宜之这样的人未必是为了留名于历史，而是出于一种可称作“砸窗子”的恶作剧心理。晚上，一群孩子站在一座在楼前指指点点，看谁家的窗子亮就拣一块石头扔过去，谈不上什么目的，只图在几个小朋友中间出点风头而已。我觉得我的青年朋友们把李宜之看得过于现代派、也过于城市化了。李宜之的行为主要出于一种政治投机，听说苏东坡有点麻烦，就把麻烦闹得大一点，反正对内不会负道义责任，对外不会负法律责任，乐得投井下石，撑顺风船。这样的人倒是没有胆量像李定舒颤和王王圭那样首先向一位文化名人发难，说不定前两天还在到处吹嘘在什么地方有幸见过苏东坡、硬把苏东坡说成自己的朋友甚至老师呢。
又如---我真不想写出这个名字，但再一想又没有讳避的，还是写出来吧：沈括。这位在中国古代科技史上占有不小地位的著名科学家也因忌妒而陷害过苏东坡，用的手法仍然是检举揭发苏东坡的诗中有讥讽政府的倾向。如果他与苏东坡是政敌，那倒也罢了，问题是他们曾是好朋友，他所检举揭发的诗句，正是苏东坡与他分别时手录近作送给他留作纪念的。这实在太不是味道了。历史学家们分析，这大概与皇帝在沈括面前说过好话有关，沈括心中产生了一种默默的对比，不想让苏东坡的文化地位高于自己，另一种可能是他深知王安石与苏东坡政见不同，他投注到了王安石一边。但王安石毕竟也是一个讲究人品的文化大师，重视过沈括，但最终却得出这是一个不可亲近的小人的结论。当然，在人格人品上的不可亲近，并不影响我们对沈括科学成就的肯定。
围攻者还有一些，我想举出这几个也就差不多了，苏东坡突然陷入困境的原因已经可以大致看清了，我们也领略了一组有可有能超越时空的“文化群小”的典型。他们中的任何一个人要单独搞倒苏东坡都是很难的，但是在社会上没有一种强大的反诽谤、反诬陷机制情况下，一个人探头探脑的冒险会很容易地招来一堆凑热闹的人于是七嘴八舌地组合成一种伪舆论，结果连神宗皇帝也对苏东坡疑惑起来，下旨说查查清楚，而去查的正是李定这些人。
苏东坡开始很不在意。有人偷偷告诉他，他的诗被检举揭发了，他先是一怔，后来还潇洒、幽默地说：“今后我的诗不悉皇帝看不到了。”但事态的发展却越来越不潇洒，一○七九年七月二十日，朝廷派人到湖州的州衙门来逮捕苏东坡，苏东坡事先得知风声，立即不知所措。文人终究是文人，他完全不知道自己犯了什么罪，从气势汹汹的样子看，估计会处死，他害怕了，躲在后屋里不敢出来，朋友说躲着也不是办法，人家已经在前面等着了，要躲也躲不过。正要出来他又犹豫了，出来该穿什么服装呢？已经犯了罪，还能穿官服吗？朋友说，什么罪还不知道，还是穿官服吧。苏东坡终于穿着官服出来了，朝廷派来的差官装模作样地半天不说话，故意要演一个压得人气都透不过来的场面出来。苏东坡越来越慌张，说：“我大概把朝廷惹恼了，看来意得死，请允许我回家与家人告别。”差官说“还不到于这样”，便叫两个差人用绳子捆扎了苏东坡，像驱赶鸡犬一样上路了。家人赶来，号啕大哭是，湖州城的市民也在路边流泪。
长途押解，犹如一路示众，可惜当时几乎没有什么传播媒介，沿途百姓不认识这就是苏东坡。贫瘠而愚昧的国土上，绳子捆扎着一个世界级的伟大诗人，一步步行进。苏东坡在示众，整个民族在丢人。
全部遭遇还不知道半点起因，苏东坡只怕株连亲朋好友，在途经太湖和长江时都想投水自杀，由于看守严密而未成。当然也很可能成，那未，江湖淹没的，将是一大截特别明丽的中华文明。文明的脆弱性就在这里，一步之差就会全盘改易，而把文明的代表者逼到这一步境地的则是一群小人。一群小人能做成如此大事，只能归功于中国的独特国情。
小人牵着大师，大师牵着历史。小人顺手把绳索重重一抖，于是大师和历史全都成了罪孽的化身。一部中国文化史，有很长时间一直捆押在被告席上，而法官和原告，大多是一群群挤眉弄眼的小人。
究竟是什么罪？审起来看!
怎么审？打!
一位官员曾关在同一监狱里，与苏东坡的牢房只有一墙之隔，他写诗道：
遥怜北户吴兴守，
诟辱通宵不忍闻。
通宵侮辱、摧残到了其他独坐也听不下去的地步，而侮辱、摧残的对象，竟然就是苏东坡!
请允许我在这里把笔停一下。我相信一切文化良知都会在这里颤栗。中国几千年间有几个像苏东坡那样可爱、高贵而有魅力的人呢？但可爱、高贵、魅力之类既构不成社会号召力也构不成自我卫护力，真正厉害的的是邪恶、低贱、粗暴，它们几乎战无不胜、攻无不克、所向无敌。现在，苏东坡被它们抓在手里搓捏着，越是可爱、高贵、有魅力，搓捏得越起劲。温和柔雅如林间清风、深谷白云的大文豪面对这彻底陌生的语言系统和行为系统，不可能作任何像样的辩驳，他一定变得非常笨拙，无法调动起码的言词，无法完成简单的逻辑。他在牢房里的应对，绝对比不过一个变通的盗贼。因此审问者们愤怒了也高兴了，原来这么个大名从竟是草包一具，你平日的滔滔文辞被狗掉了？看你这副熊样还能写诗作词？纯粹是骗人家的吧!接着就是轮番扑打，诗人用纯银般的嗓子哀号着，哀号到嘶哑。这本是一个只需要哀号的地方，你写那么美丽的诗就已荒唐透顶了，还不该打？打，打得你淡妆浓抹，打得你乘风归去，打得你密州出猎!
开始，苏东坡还试图拿点儿正常逻辑顶几句嘴，审问者咬定他的诗里有讥讽朝廷的意思，他说：“我不敢有此心，不知什么人有此心，造出这种意思来。”一切诬陷者都喜欢把自己打扮成某种“险恶用心”的发现者，苏东坡指出，他们不是发现者而是制造者。那也就是说，诬陷者所推断出来的“险恶用心”，可以看作是他们自己的内心，因此应该由他们自己来承担。我想一切遭受诬陷的人都会或迟或早想到这个简单的道理，如果这个道理能在中国普及，诬陷的事情一定会大大减少。但是，在牢房里，苏东坡的这一思路招来了更凶猛的侮辱和折磨，当诬陷者和办案人完全合成一体、串成一气时，只能这样。终于一，苏东坡经受不住了，经受不住日复一日、通宵达旦的连续逼供，他想闭闭眼，喘口气，唯一的办法就是承认。于是，他以前的诗中有“道旁苦李”，是在说自己不被朝廷重视；诗中有“小人”字样，是讽刺当朝大人；特别是苏东坡在杭州做友谊赛时兴冲冲去看钱塘潮，回来写了咏弄潮儿的诗“吴儿生长狎涛渊”，据说竟是在影射皇帝兴修水利!这种大胆联想，连苏东坡这位浪漫诗人都觉得实在不容易跳跃过去，因此在承认时还不容易“一步到位”，审问者有本事耗时间一点点通过去。案卷记录上经常出现的句子是：“逐次隐讳，不说情实，再勘方招。”苏东坡全招了。同时他也就知道必死无疑了。试想，把皇帝说成“吴儿”，把兴修水利说成玩水，而且在看钱塘潮时竟一心想着写反诗，那还能活？
他一心想着死。他觉得连累了家人，对不起老妻，又特别想念弟弟。他请一位善良的狱卒带了两首诗给苏辙，其中有这样的句子：“是处青山可埋骨，他时夜雨独伤神，与君世世为兄弟，又结来生未了因。”埋骨的地点，他希望是杭州西湖。
不是别的，是诗句，把他推上了死路。我不知道那些天他在铁窗里是否抱怨甚至痛恨诗文。没想到，就在这进，隐隐约约地，一种散落四处的文化良知开始汇聚起来了，他的诗文竟然在这危难时分产生了正面回应，他的读者们慢慢抬起了头，要说几句对得起自己内心的话了。很多人不敢说，但毕竟还有勇敢者；他的朋友大多躲避了，但毕竟还有侠义人。
杭州的父老百姓想起他在当地做官时的种种美好行迹，在他入狱后公开做了解厄道场，求告神明保佑他；狱卒梁成知道他就是大文豪，在审问人员离开时尽力照顾生活，连每天晚上的洗脚热水都准备了；在他在朝中的朋友范镇、张方平不怕受到牵连，写信给皇帝，说他在文学上“实天下之奇才”，希望宽大；他的政敌王安石的弟弟王安礼也仗义执言，对皇帝说：“自古大度之君，不以言语罪人”，如果严厉处罚了苏东坡，“恐后世谓陛下不能容才”。最有趣的是那位我们上文提到过的太皇太后，她病得奄奄一息，神宗皇帝想大赦犯人来为她求寿，她竟说：“用不着去赦免天下的凶犯，放了苏东坡一人就够了!”最直截了当的是当朝左相吴充，有次他与皇帝谈起曹操，皇帝对曹操评价不高，吴充立即接口说：“曹操猜忌心那么重还容得下祢衡，陛下怎么容不下一个苏东坡呢？”
对这些人，不管是狱卒还是太后，我们都要深深感谢。他们比研究者们更懂得苏东坡的价值，就连那盆洗脚热水也充满了文化的热度。
据王巩<甲申杂记>记载，那个带头诬陷、调查、审问苏东坡的李定，整日得意洋洋，有一天与满朝官员一起在崇政殿的殿门外等候早朝时向大家叙述审问苏东坡的情况，他说：“苏东坡真是奇才，一、二十年前的诗文，审问起来都记得清清楚楚!”他以为，对这么一个轰传朝野的著名大案，一定会
有不少官员感兴趣，但奇怪的是，他说了这番引逗中国人提问的话之后，没有一个人搭腔，没有一个人提问，崇政殿外一片静默。、这静默算不得抗争，也算不得舆论，但着实透着点儿高贵。相比之下，历来许多诬陷者周围常常会出现一些不负责任的热闹，以嘈杂助长了诬陷。
就在这种情势下，皇帝释放了苏东坡，贬谪黄州。黄州对苏东坡的重要性，不言而喻。
（三）
我非常喜欢读林语堂先生的<苏东坡传>，前后读过多少遍都记不清了，但每次总觉得语堂先生把苏东坡在黄州的境遇和心态写得太理想了。语堂先生酷爱苏东坡的黄州诗文，因此由诗文渲染开去，由酷爱渲染开去，渲染得通体风雅、圣洁。其实，就我所知，苏东坡在黄州还是很凄苦的，优美的诗文，是对凄苦的挣扎和超越。
苏东坡在黄州的生活状态，已被他自己写给李端叔的一封信描述得非常清楚。信中说：
得罪以来，深自闭塞，扁舟草履，放浪山水间，与樵渔杂处，往往为醉人所推骂， 辄自喜渐不为人识。平生亲友，无一字见及，有书与之亦不答，自幸庶几免矣。
我初读这段话时十分震动，因为谁都知道苏东坡这个乐呵呵的大名人是有很多很多朋友的。日复一日的应酬，连篇累牍的唱和，几乎成了他生活的基本内容，他一半是为朋友们活着。但是，一旦出事，朋友们不仅不来信，而且也不回信了。他们都知道苏东坡是被冤屈的，现在事情大体已经过去，却仍然不愿意写一两句哪怕是问候起居的安慰话。苏东坡那一封封用美妙绝伦、光照中国书法史的笔墨写成的信，千辛万苦地从黄州带出去，却换不回一丁点儿友谊的信息。我相信这些人都不是坏人，但正因为不是坏人，更让我深长地叹息。总而言之，原来的世界已在身边轰然消失，于是一代名人也就混迹于樵夫渔民间不被人认识。本来这很可能换来轻松，但他又觉得远处仍有无数双眼睛注视着自己，他暂时还感觉不到这个世界对自己的诗文仍有极温暖的回应，只能在寂寞中惶恐。即便这封无关宏旨的信，他也特别注明不要给别人看。日常生活，在家人接来之前，大多是白天睡觉，晚上一个人出去溜达，见到淡淡的土酒也喝一杯，但绝不喝多，怕醉后失言。
他真的害怕了吗？也是也不是。他怕的是麻烦，而绝不怕大义凛然地为道义、为百姓，甚至为朝廷、为皇帝捐躯。他经过“乌台诗案”已经明白，一个人蒙受了诬陷即便是死也死不出一个道理来，你找不到慷慨陈词的目标，你抓不住从容赴死的理由。你想做个义无反顾的英雄，不知怎么一来把你打扮成了小丑；你想做个坚贞不屈的烈士，闹来闹去却成了一个深深忏悔的俘虏。无法洗刷，无处辩解，更不知如何来提出自己的抗议，发表自己的宣言。这确实很接近有的学者提出的“酱缸文化”，一旦跳在里边，怎么也抹不干净。苏东坡怕的是这个，没有哪个高品位的文化人不怕。但他的内心实在仍有无畏的一面，或者说灾难使他更无畏了。他给李常的信中说：
吾侪虽老且穷，而道理贯心肝，忠义填骨髓，直须谈笑于生死之际...虽怀坎土禀时，遇事有可尊主***者，便忘躯为之，祸福得丧，会与造物。
这么真诚的勇敢，这么洒脱的情怀，出自天真了大半辈子的苏东坡笔下，是完全可以相信的。但是，让他在何处作这篇人生道义的大文章呢？没有地方，没有机会，没有观看都民没有裁决者，只有一个把是非曲直忠奸善恶染成一色的大酱缸。于是，苏东坡刚刚写了上面这几句，支颐一想，双立即加一句：此信看后烧毁。
这是一种真正精神上的孤独无告，对于一个文化人，没有比这更痛苦的了。那阕著名的“卜算子”，用极美的意境道尽了这种精神遭遇：
缺月挂疏桐，漏断人初静。谁见幽人独往来？缥缈孤鸿影。 惊起却回头，有恨无人省。拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷。
正是这种难言的孤独，使他彻底洗去了人生的喧闹，去寻找无言的山水，去寻找远逝的古人。在无法对话的地方寻找对话，于是对话也一定会变得异乎寻常。像苏东坡这样的灵魂竟然寂然无声，那么，迟早总会突然冒出一种宏大的奇迹，让这个世界大吃一惊。
然而，现在他即便写诗作文，也不会追求社会的轰动了。他在寂寞中反省过去，觉得自己以前最大的毛病是才华外露，缺少自知之明。一段树木靠着瘿瘤取悦于人，一块石头靠着晕纹取悦于人，其实能拿来取悦于人的地方恰恰正是它们的毛病所在，它们的正当用途绝不在这里。我苏东坡三十余年来想博得别人叫好的地方也大多是我的弱项所在，例如从小为考科举学写政论、策论，后来更是津津乐道于考论历史是非，直言陈谏曲直，做了官以为自己真的很懂得这一套了，洋洋自得地炫耀无知。三十多年来最大的弊病就在这里。现在终于明白了，到黄州的我是觉悟了的我，与以前的苏东坡是两个人(参见致李端叔书)。
苏东坡的这种自省，不是一种走向乖巧的心理调整，而是一种极其诚恳的自我剖析，目的是想找回一个真正的自己。他在无情地剥除自己向上每一点异己的成分，哪怕这些成分曾为他带来过官职、荣誉和名声。他渐渐回归于清纯和空灵，在这一过程中，佛教帮了他大忙，使他习惯于淡泊和静定。艰苦的物质生活，又使他不得不亲自垦荒种地，体味着自然和生命的原始意味。
这一切，使苏东坡经历了一次整体意义上的脱胎换骨，也使他的艺术才情获得了一次蒸馏和升华，他，真正地成熟了---与古往今来许多大家一样，成熟于灭寂之后的再生，成熟于穷乡僻壤，成熟于几乎没有人在他身边的时刻。幸好，他还不年老，他在黄州期间，是四十岁到四十八岁，对一个男人说，正是最重要的年月，今后还大有可为。中国历史上，许多人觉悟在过于苍老的暮年，换言之，成熟在过了季节的年岁，刚要享用成熟所带来的恩惠，脚步却已踉跄蹒跚；与他们相比，苏东坡真是好命。
成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的音响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终于停止向周围申诉求告的大气，一种不理会哄闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无须声张的厚实，一种并不陡峭的高度。勃郁的豪情发过了酵，尖利的山风收住了劲，湍急的细流汇成了湖，结果----
引导惊世杰作的前奏已经鸣响，一道神秘的天光射向黄州，<念艰娇*赤壁怀古>和前后<赤壁赋>马上就要产生。 12:39 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJune 19
The interesting in Mathoverflow 6
关于微分几何：
How much of differential geometry can be developed entirely without atlases?
Sheaves and bundles in differential geometry
What is torsion in differential geometry intuitively?
关于指标定理：
What do heat kernels have to do with the Riemann-Roch theorem and the Gauss-Bonnet theorem?
Intuitive explanation for the Atiyah-Singer index theorem
Explanation for the Chern character
6:56 PM | Add a comment | Permalink | Blog itJune 07
读网手记-Kontsevich 《Beyond Numbers》
Kontsevich 《Beyond Numbers》7:07 PM | Add a comment | Read comments (1) | Permalink | Blog it读网手记-数论相关
Weil's proof of " Riemann hypothesis" for curves
de Franchis定理:再谈曲面上的相交论的一个应用
关于Arakelov几何(一)
关于Arakelov几何(二)7:05 PM | Add a comment | Permalink | Blog it读网手记-保角几何
保角几何（一）
保角几何（二）
6:57 PM | Add a comment | Permalink | Blog itMay 29
读网手记-Tate's Thesis
Tate's thesis seminar -- Fall 2009
TATE'S THESIS
数论大师J. Tate (Tate's 1950 thesis)
Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta functions
对数论的发展带来了巨大影响。
我一定要学习之。10:23 PM | Add a comment | Permalink | Blog it读网手记-网络资料
1、Segal's Lecture Notes
内容包括：
Topological Field Theory
Quantum Field Theory
Symplectic Manifolds and Quantization
2、Quantum Field Theory Lecture Notes, Fall 200712:29 PM | Add a comment | Permalink | Blog itMay 25
读网手记-非交换代数几何的一些comments
非交换代数几何的一些comments 1:哲学
非交换代数几何的一些Comments 2：几何化---硬币的两面
非交换代数几何的一些Comments 3： Historical observations：A5:06 PM | Add a comment | Permalink | Blog itMay 23
The interesting in Mathoverflow 7
Why are modular forms interesting?
Quick proofs of hard theorems9:53 PM | Add a comment | Permalink | Blog it
© 2010 Microsoft Terms PrivacyAbout our adsAdvertise Code of Conduct Safety Help Center FeedbackReport abuseEnglish
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
