一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列,一旦方向变了，兵败如山倒

定向的, linear

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。
一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。
如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢？