虚位移原理广为人知，但虚力原理较少人知道。
首先从弹性力学说起，当弹性体处于平衡状态，介质内任意点，分别在x，y，z方向上产生了真实位移（u，v，w），我们应用变分原理时，取虚位移δu，δv，δw，虚位移必须是几何上可能的，它满足已知位移边界条件，即在位移边界上虚位移等于0，虚位移场在真实力作用下产生的外虚功W等于真实内应力在虚应变上所做的内虚功。真实力包括已知应力边界（但未知位移，故可以虚位移）的表面力及弹性体内的体积力。
现在，我们换个思路，我们取虚应力，我们假定真实位移不变，但未知力出现了微形的任意的扰动，容许有虚的应力δσ（i，j），但这些应力的变分必须是静力平衡上可能的，
δσ（i，j）+σ（i，j）必须满足平衡方程及已知的静力边界条件，即在力学边界上虚应力等于0，但在位移边界上由于有未知力故可以有虚应力。
虚应力原理：在已知位移边界上虚力在真实位移上所做的虚功等于虚内应力在真实内位移（应变）上所做的虚功（虚余能）。（体积力及已知的边界力是已知力，没有虚力，所以不做功）
进一步推导还可以得出结论：弹性体受表面外力的作用，我们使应力有扰动变化但不影响平衡方程和边界条件，则实际应力是这样的应力，使余能的一阶变分等于0，实际应力使余能功最小，表达了所谓的最小功原理。
不论材料的应力应变关系怎样，虚应力与虚位移原理总是有效的，因此这些原理同样可以应用到非线性体。
实际运用中，根据问题的性质及边界条件的特征等，哪一个方便解决问题就决定用哪一个。
2009-1-21 15:23 回复
鲁来豪夫
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3楼
由虚位移原理可以推导出功的互等定理:
考察同一个结构的两种受力状态1与2,则有:
状态1上的外力在状态2产生的位移上所做的功等于状态2上的外力在状态1产生的位移上所做的功.
若结构先加载状态1上的力,此时产生状态1下的位移,
紧接着,结构加载状态2的力,此时结构在状态2作用下产生在新增的位移,但状态1依然保持对结构的加载,此力必在这新增的位移上做功.功的互等定理解决此类问题十分有效,即一个状态紧接着一个状态进行加载的力学问题.
2009-1-21 17:29 回复
fishwoodok
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4楼
好贴。
2009-1-22 12:12 回复
鲁来豪夫
7位粉丝
5楼
实功与虚功的区别：
1，力的实功是力在其本身引起的位移上所作的功。
2，质点发生的位移与作功的力无关，则说此力在此位移上作了虚功。
举例说明：设已完成的某一对象或结构作静力加载作用于1点，加载过程是平缓地缓慢地加载（例如建筑物的施工，汽车飞机等的制造组装过程等），在加载过程中惯性略去不计，荷载从0逐渐增加到P1，随着力的增大，作用点的位移也逐渐增大，在P1方向下1点的最终稳定的位移是S1，若材料是线性Hooke的，并且变形不大，则静力加载的过程中力与位移的关系是通过0点的直线，则P1做的实功W1为：
W1=（1/2）P1S1 （1）
在P1加完之后，又在别处2点加P2但依然保持P1的加载状态，在P2方向下2点最终稳定的位移是S2，则P2做的实功W2为：
W2=（1/2）P2S2 （2）
由于加P2，P1的作用点1点在P1的方向下发生了附加位移U1，显然U1与P1无关，
所以加P2时，P1又作了功，此功为虚功W3，即：
W3=P1U1 （3）
对照（1）、（2）、（3）可以发现，实功有系数1/2，而虚功没有系数1/2。
虚位移、虚力原理的“虚假任意”不仅仅具有数学的变分意义，而且还具有一定实际的物理意义，其“原型”来自工程实践：
虚位移可以是一个力或一组力引起的，也可以是由于温度改变，支坐的微小移动引起的，概括地说虚位移就是结构或固体所可能发生的容许的连续的微小的位移。
同样“虚力”也具有的一定的物理意义，力出现“颤抖”或微型“松动”但又不影响整个结构的静力平衡体系。
在数学上，对这种实际上的“虚”进行高度概括并推广到满足一定约束的“任意的虚假”。
对于动力学问题，也可以利用“虚情假意”的思想，根据达朗贝尔原理，将动力学问题转化为静力学问题，即：
每一瞬时，都有一个“静力状态”，每一个“状态”的连续播放就是动力学图案。
2009-1-22 14:30 回复
鲁来豪夫
7位粉丝
6楼
利用3楼的功的互等定理不但可以求解一个状态接着一个状态的力学问题，还可以通过特殊构造，解决一类难以用数学进行求解的力学问题（"怪"题）。
例如：有一个弹性体（可以是实心或空心球，椭球或具有复杂封闭曲面边界的实体或多孔体），有二个大小相等方向相反的力Q分别作用在这个实体的边界上的A与B两点上，A与B之间的距离为|AB|=L，材料的弹性模量为E，泊松比μ，试计算此弹性体的的实体体积减少量v？
解：如果采用一般的力学方法，在数学上将遭重大阻击！主要表现在：
一：“复杂封闭曲面边界”的数学形式很难确定，若有内孔，孔边界也很难写出。
二：Q力是集中力，而非连续面力，数学上出现奇点处理问题。
如果采用功的互等定理，问题将迎刃而解，设问题的Q力是1状态。
我们虚设另一状态2，状态2越简单越好。状态2是这样的一个状态，这一个弹性体承受均匀分布的压力p的作用。
显然，对于2，体应变u满足：
u=（εx+εy+εz）=[（1-2μ）/E]（σx+σy+σz） （1）
2中有：（σx+σy+σz）=-3p （2）
εx=εy=εz （3）
（2）、（3）代入（1）可解得：
εx=εy=εz =-[（1-2μ）/E]p （4）
于是在2中A与B之间的距离减少量为[（1-2μ）/E]pL
根据功的互等定理有：
Q[（1-2μ）/E]pL=pv
由上式解得：
v=QL[（1-2μ）/E] （解毕）
2009-1-24 22:06 回复
鲁来豪夫
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7楼
开春以后，本人有重要任务，没有时间与各位交流了，临走之前，再提供一个力学“绝技”，位移互等定理。
考察一个静力学系统的两种状态，在这两种状态中分别作用一个广义力P1及P2（可以是力，也可以是力偶），按功的互等定理有：
W12=W21 （1）
W12为状态1的外力P1在状态2下在1点处的附加位移S12上做的功，即：
W12=（P1）（S12） （2）
类似的有：W21=（P2）（S21） （3）
（2）、（3）代入（1）得到
P1S12=P21S21
上式写为：
S12/P2=S21/P1
令 δ12=S12/P2，δ21=S21/P1，
则有δ12=δ21 （4）
（4）即为位移互等定理。
δ12的物理意义是：单位广义力P2=1引起P1作用点沿P1方向的广义位移。
δ21的物理意义是：单位广义力P1=1引起P1作用点沿P2方向的广义位移。
由（1）与（4）可知道，一般的力学系统的结构矩阵是对称的，如果出现不对称，一般说明你的模型或分析方法出现问题。
我们从“虚”的能量角度出发推导出功的互等定理及位移互等定理，然后用此定理又回到矢量力学角度出发解决实际的力学问题，在实际运用中就可以避开复杂的数学运算，只要我们合适地虚拟一个状态2，就能快速地找到局部系统的力学解决方案。
对于动力学问题，由“虚位移原理”可以拓展为“虚轨道原理“，限于篇幅，只简单说明一下：
对于动力学或运动的问题，如果运动轨迹是确定的已知条件，则轨道方程的变分等于0，以r表示矢径，
则δr=0（有兴趣的可参考莫斯科大学理论力学讲义）
最后，祝各位新春快乐，事业有成，财源广进。
再见。
2009-1-25 19:55 回复
空夢殘冉
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8楼
经典&
这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-2-4 00:21 回复
基灵矢量
schrodinger
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9楼
写得真好。
2009-2-8 02:33 回复
鲁来豪夫
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10楼
约束互等定理:
(有的书称为约束反力互等或反力互等定理,这容易与牛三混淆,苏联学派称为约束互等定理比较贴切)
一个力学系统或结构存在众多约束,
我们任取两个约束,称为约束1与约束2,
考察两种状态,令约束1发生单位广义位移为状态1,
约束2发生单位广义位移为状态2,
根据功的互等定理有:
T12=T21 (1)
T12为状态1的外力在状态2位移上的功,由于状态2上只有约束2发生单位位移(广义的,下同)S2=1,于是:
T12=r21乘以1, (2)
r21的含义:是由于约束1的单位位移而引起约束2的反力.
同理,状态2上的外力在状态1位移上只有r12做功,即
T21=r12乘以1 (3)
由(1)(2)(3)得到: r21=r12 (4)
(4)即为约束互等定理.
注意理解其重大的物理意义:
约束1的单位位移所引起的约束2的反力r21等于约束2的单位位移所引起的约束1的反力r12.
2009-2-8 18:19 回复
鲁来豪夫
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11楼
10楼的约束互等定理的重大好处是：
对于一个线性力学系统，
以位移为基本未知量求解时，立马就可以写出（不必进行复杂力学系统分析，只需简单分离力学元件分析）：
∑r（i，j）x（j）+f（i）=0（或m（i）dv（i）/dt）
i=1，2,....,n
求和指标j从1跑到n
其中r（i，j）由约束j（或结点，即把结点推广为约束）单位广义位移引起约束i的广义反力，x（j）为结点j的广义位移，
f（i）为结点i的自由项（外源广义荷载），m（i）为结点i的等效集中质量或广义质量。
2009-2-8 21:10 回复
鲁来豪夫
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12楼
一般情况下,我们忽略了更高阶的无穷小,
所以11楼的r(i,j)矩阵是个对称的拉稀矩阵,即
凡是i与j不邻接,i与j互不贡献.
所谓i与j邻接,就是通过杠件,刚片或弹性体等力学元件连接
通常一个i是与多个j邻接,1个邻接是"一阶幅射",
2个邻接是"2阶幅射",k个邻接"k个阶幅射"
2009-2-8 21:47 回复
鲁来豪夫
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13楼
回答一下11楼有关:
是如何将结点(也可以是动点)推广为约束的问题.
以平面转动位移为例:
设有一个线性平面力学系统受外源荷载P的作用,有一个结点1,它可以发生转动位移,即转角为Z1,
我们在1上虚加一个约束,即附加一个厚度近似为0,刚度无穷大的平面,称之为附加墙刚臂,它的作用是限制1的转动,虚加后的力学系统称为基本系统,基本系统与原系统发生了差别:
1)由于虚加了约束,1不能转动,而原来是能转动的.
2)由于虚加了约束,产生了约束反力偶,而原来是没有这个反力偶的.
为了消除这种差别,强行转动1点(与约束一起转动)到应有的位置,即使之发生自然状态的Z1角,这时虚加的约束就不起作用,即使去掉这个约束,也不会再转动.假如强行转动的角度不够大,则虚加的约束要起作用,即去掉约束后还要继续转动,如果强行转动过火,则约束也要起作用,去掉约束后,要反方向转,所以应有的转角Z1（真实位移）的标志是，到这个位置后虚加的约束不起作用，即：
所加约束处的反力偶Ｒ１＝０，
Ｒ１是基本力学系统在外源Ｐ与强行转动Ｚ１共同作用的结果，根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：
Ｒ１＝Ｒ１１＋Ｒ１ｐ＝０ （１）
Ｒ１１为强行转动基本力学系统的１发生Ｚ１时产生的反力偶，
Ｒ１ｐ为外源作用下产生的反力偶，
因为１虚加了约束，根据１０楼的约束互等定理有：
Ｒ１１＝ｒ１１Ｚ１ （２）
ｒ１１为单位转角，（２）代入（１）得到：
Ｚ１＝－Ｒ１ｐ／ｒ１１
基本力学系统的－Ｒ１ｐ与ｒ１１很容易求得．
（因为我们虚加的约束就是为了方便我们求解的）
虚加约束的实质正是运用了经典力学的等效原理，”等效原理”是求解力学问题的重要武器装备之一．
首先从弹性力学说起，当弹性体处于平衡状态，介质内任意点，分别在x，y，z方向上产生了真实位移（u，v，w），我们应用变分原理时，取虚位移δu，δv，δw，虚位移必须是几何上可能的，它满足已知位移边界条件，即在位移边界上虚位移等于0，虚位移场在真实力作用下产生的外虚功W等于真实内应力在虚应变上所做的内虚功。真实力包括已知应力边界（但未知位移，故可以虚位移）的表面力及弹性体内的体积力。
现在，我们换个思路，我们取虚应力，我们假定真实位移不变，但未知力出现了微形的任意的扰动，容许有虚的应力δσ（i，j），但这些应力的变分必须是静力平衡上可能的，
δσ（i，j）+σ（i，j）必须满足平衡方程及已知的静力边界条件，即在力学边界上虚应力等于0，但在位移边界上由于有未知力故可以有虚应力。
虚应力原理：在已知位移边界上虚力在真实位移上所做的虚功等于虚内应力在真实内位移（应变）上所做的虚功（虚余能）。（体积力及已知的边界力是已知力，没有虚力，所以不做功）
进一步推导还可以得出结论：弹性体受表面外力的作用，我们使应力有扰动变化但不影响平衡方程和边界条件，则实际应力是这样的应力，使余能的一阶变分等于0，实际应力使余能功最小，表达了所谓的最小功原理。
不论材料的应力应变关系怎样，虚应力与虚位移原理总是有效的，因此这些原理同样可以应用到非线性体。
实际运用中，根据问题的性质及边界条件的特征等，哪一个方便解决问题就决定用哪一个。
2009-1-21 15:23 回复
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3楼
由虚位移原理可以推导出功的互等定理:
考察同一个结构的两种受力状态1与2,则有:
状态1上的外力在状态2产生的位移上所做的功等于状态2上的外力在状态1产生的位移上所做的功.
若结构先加载状态1上的力,此时产生状态1下的位移,
紧接着,结构加载状态2的力,此时结构在状态2作用下产生在新增的位移,但状态1依然保持对结构的加载,此力必在这新增的位移上做功.功的互等定理解决此类问题十分有效,即一个状态紧接着一个状态进行加载的力学问题.
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5楼
实功与虚功的区别：
1，力的实功是力在其本身引起的位移上所作的功。
2，质点发生的位移与作功的力无关，则说此力在此位移上作了虚功。
举例说明：设已完成的某一对象或结构作静力加载作用于1点，加载过程是平缓地缓慢地加载（例如建筑物的施工，汽车飞机等的制造组装过程等），在加载过程中惯性略去不计，荷载从0逐渐增加到P1，随着力的增大，作用点的位移也逐渐增大，在P1方向下1点的最终稳定的位移是S1，若材料是线性Hooke的，并且变形不大，则静力加载的过程中力与位移的关系是通过0点的直线，则P1做的实功W1为：
W1=（1/2）P1S1 （1）
在P1加完之后，又在别处2点加P2但依然保持P1的加载状态，在P2方向下2点最终稳定的位移是S2，则P2做的实功W2为：
W2=（1/2）P2S2 （2）
由于加P2，P1的作用点1点在P1的方向下发生了附加位移U1，显然U1与P1无关，
所以加P2时，P1又作了功，此功为虚功W3，即：
W3=P1U1 （3）
对照（1）、（2）、（3）可以发现，实功有系数1/2，而虚功没有系数1/2。
虚位移、虚力原理的“虚假任意”不仅仅具有数学的变分意义，而且还具有一定实际的物理意义，其“原型”来自工程实践：
虚位移可以是一个力或一组力引起的，也可以是由于温度改变，支坐的微小移动引起的，概括地说虚位移就是结构或固体所可能发生的容许的连续的微小的位移。
同样“虚力”也具有的一定的物理意义，力出现“颤抖”或微型“松动”但又不影响整个结构的静力平衡体系。
在数学上，对这种实际上的“虚”进行高度概括并推广到满足一定约束的“任意的虚假”。
对于动力学问题，也可以利用“虚情假意”的思想，根据达朗贝尔原理，将动力学问题转化为静力学问题，即：
每一瞬时，都有一个“静力状态”，每一个“状态”的连续播放就是动力学图案。
2009-1-22 14:30 回复
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6楼
利用3楼的功的互等定理不但可以求解一个状态接着一个状态的力学问题，还可以通过特殊构造，解决一类难以用数学进行求解的力学问题（"怪"题）。
例如：有一个弹性体（可以是实心或空心球，椭球或具有复杂封闭曲面边界的实体或多孔体），有二个大小相等方向相反的力Q分别作用在这个实体的边界上的A与B两点上，A与B之间的距离为|AB|=L，材料的弹性模量为E，泊松比μ，试计算此弹性体的的实体体积减少量v？
解：如果采用一般的力学方法，在数学上将遭重大阻击！主要表现在：
一：“复杂封闭曲面边界”的数学形式很难确定，若有内孔，孔边界也很难写出。
二：Q力是集中力，而非连续面力，数学上出现奇点处理问题。
如果采用功的互等定理，问题将迎刃而解，设问题的Q力是1状态。
我们虚设另一状态2，状态2越简单越好。状态2是这样的一个状态，这一个弹性体承受均匀分布的压力p的作用。
显然，对于2，体应变u满足：
u=（εx+εy+εz）=[（1-2μ）/E]（σx+σy+σz） （1）
2中有：（σx+σy+σz）=-3p （2）
εx=εy=εz （3）
（2）、（3）代入（1）可解得：
εx=εy=εz =-[（1-2μ）/E]p （4）
于是在2中A与B之间的距离减少量为[（1-2μ）/E]pL
根据功的互等定理有：
Q[（1-2μ）/E]pL=pv
由上式解得：
v=QL[（1-2μ）/E] （解毕）
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开春以后，本人有重要任务，没有时间与各位交流了，临走之前，再提供一个力学“绝技”，位移互等定理。
考察一个静力学系统的两种状态，在这两种状态中分别作用一个广义力P1及P2（可以是力，也可以是力偶），按功的互等定理有：
W12=W21 （1）
W12为状态1的外力P1在状态2下在1点处的附加位移S12上做的功，即：
W12=（P1）（S12） （2）
类似的有：W21=（P2）（S21） （3）
（2）、（3）代入（1）得到
P1S12=P21S21
上式写为：
S12/P2=S21/P1
令 δ12=S12/P2，δ21=S21/P1，
则有δ12=δ21 （4）
（4）即为位移互等定理。
δ12的物理意义是：单位广义力P2=1引起P1作用点沿P1方向的广义位移。
δ21的物理意义是：单位广义力P1=1引起P1作用点沿P2方向的广义位移。
由（1）与（4）可知道，一般的力学系统的结构矩阵是对称的，如果出现不对称，一般说明你的模型或分析方法出现问题。
我们从“虚”的能量角度出发推导出功的互等定理及位移互等定理，然后用此定理又回到矢量力学角度出发解决实际的力学问题，在实际运用中就可以避开复杂的数学运算，只要我们合适地虚拟一个状态2，就能快速地找到局部系统的力学解决方案。
对于动力学问题，由“虚位移原理”可以拓展为“虚轨道原理“，限于篇幅，只简单说明一下：
对于动力学或运动的问题，如果运动轨迹是确定的已知条件，则轨道方程的变分等于0，以r表示矢径，
则δr=0（有兴趣的可参考莫斯科大学理论力学讲义）
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约束互等定理:
(有的书称为约束反力互等或反力互等定理,这容易与牛三混淆,苏联学派称为约束互等定理比较贴切)
一个力学系统或结构存在众多约束,
我们任取两个约束,称为约束1与约束2,
考察两种状态,令约束1发生单位广义位移为状态1,
约束2发生单位广义位移为状态2,
根据功的互等定理有:
T12=T21 (1)
T12为状态1的外力在状态2位移上的功,由于状态2上只有约束2发生单位位移(广义的,下同)S2=1,于是:
T12=r21乘以1, (2)
r21的含义:是由于约束1的单位位移而引起约束2的反力.
同理,状态2上的外力在状态1位移上只有r12做功,即
T21=r12乘以1 (3)
由(1)(2)(3)得到: r21=r12 (4)
(4)即为约束互等定理.
注意理解其重大的物理意义:
约束1的单位位移所引起的约束2的反力r21等于约束2的单位位移所引起的约束1的反力r12.
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10楼的约束互等定理的重大好处是：
对于一个线性力学系统，
以位移为基本未知量求解时，立马就可以写出（不必进行复杂力学系统分析，只需简单分离力学元件分析）：
∑r（i，j）x（j）+f（i）=0（或m（i）dv（i）/dt）
i=1，2,....,n
求和指标j从1跑到n
其中r（i，j）由约束j（或结点，即把结点推广为约束）单位广义位移引起约束i的广义反力，x（j）为结点j的广义位移，
f（i）为结点i的自由项（外源广义荷载），m（i）为结点i的等效集中质量或广义质量。
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一般情况下,我们忽略了更高阶的无穷小,
所以11楼的r(i,j)矩阵是个对称的拉稀矩阵,即
凡是i与j不邻接,i与j互不贡献.
所谓i与j邻接,就是通过杠件,刚片或弹性体等力学元件连接
通常一个i是与多个j邻接,1个邻接是"一阶幅射",
2个邻接是"2阶幅射",k个邻接"k个阶幅射"
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是如何将结点(也可以是动点)推广为约束的问题.
以平面转动位移为例:
设有一个线性平面力学系统受外源荷载P的作用,有一个结点1,它可以发生转动位移,即转角为Z1,
我们在1上虚加一个约束,即附加一个厚度近似为0,刚度无穷大的平面,称之为附加墙刚臂,它的作用是限制1的转动,虚加后的力学系统称为基本系统,基本系统与原系统发生了差别:
1)由于虚加了约束,1不能转动,而原来是能转动的.
2)由于虚加了约束,产生了约束反力偶,而原来是没有这个反力偶的.
为了消除这种差别,强行转动1点(与约束一起转动)到应有的位置,即使之发生自然状态的Z1角,这时虚加的约束就不起作用,即使去掉这个约束,也不会再转动.假如强行转动的角度不够大,则虚加的约束要起作用,即去掉约束后还要继续转动,如果强行转动过火,则约束也要起作用,去掉约束后,要反方向转,所以应有的转角Z1（真实位移）的标志是，到这个位置后虚加的约束不起作用，即：
所加约束处的反力偶Ｒ１＝０，
Ｒ１是基本力学系统在外源Ｐ与强行转动Ｚ１共同作用的结果，根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：
Ｒ１＝Ｒ１１＋Ｒ１ｐ＝０ （１）
Ｒ１１为强行转动基本力学系统的１发生Ｚ１时产生的反力偶，
Ｒ１ｐ为外源作用下产生的反力偶，
因为１虚加了约束，根据１０楼的约束互等定理有：
Ｒ１１＝ｒ１１Ｚ１ （２）
ｒ１１为单位转角，（２）代入（１）得到：
Ｚ１＝－Ｒ１ｐ／ｒ１１
基本力学系统的－Ｒ１ｐ与ｒ１１很容易求得．
（因为我们虚加的约束就是为了方便我们求解的）
虚加约束的实质正是运用了经典力学的等效原理，”等效原理”是求解力学问题的重要武器装备之一．
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