离散总体的概率密度函数:引入Dirac δ广义函数后，在x=i这点，概率密度就是Piδ

离散总体的概率分布是一个频数表，但离散总体的概率密度函数是什么，这可不能用普通的函数加以描述。

比如，一般的教材中都会有：离散分布有ΣPi=1；连续分布有∫P(x)dx=1。从概念上看，这两个公式反映的都是一个事实，即P(Ω)=1。那么能否把这两个公式统一为一个公式？答案是只有引入广义函数：狄拉克δ后才可以。

首先：Σ针对可列无穷，∫针对连续统，因此尽量考虑把这两个公式往∫P(x)dx=1的形式统一。

但是对于离散总体，在x=i这点，概率为Pi，概率密度是多少？用不严谨的话来说是无穷大！这不是普通函数可以描述的。
还可以从cdf的角度看，对于对于离散总体，在x=i这点，累计概率从a阶跃到了b，b-a=Pi，cdf不连续！pdf是cdf的微分，因此在x=i这点，pdf不存在。
所以，无法将上面两个公式统一为∫P(x)dx=1。

数学上（其实历史上是先从电工领域的信号与系统分析中）为了描述这种冲击／阶跃，对函数的定义作扩充，引入了Dirac δ函数（wikipedia.org上有关于狄拉克δ函数，Dirac Delta function的词条），引入Dirac δ广义函数后，在x=i这点，概率密度就是Piδ，此时可以把上述两个公式统一为∫P(x)dx=1。

我并非数学专业，以上是我个人给出的感悟，没在其他书上看到过，必定存在不严谨之处，但大意应该是正确的。

至于最后的问题，我不是统计专业的，只是在工作中对此感兴趣而以，所以不要对我苛求喔。:)

Comment by miniwhale — 2009/06/22 @ 17:46