简析等价鞅测度及其应用
分类：金融、保险与证券监管 金融、保险与证券监管
文章提交者：罗猛 发表时间：2004-12-21
字号：大 中 小
简析等价鞅测度及其应用
罗猛（中国人民大学财政金融学院博士）
摘要：自从20世纪50年代后数理分析工具广泛用于金融分析领域，其中最为知名的当属M-M定理、CAMP以及无套利(APT)定理和鞅等价定理等。在这当中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题。并且，等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价、消除金融投机套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到应用。剖析等价测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法、优化金融产品投资组合、降低金融产品投资风险将有所裨益。
关键词：鞅；测度；等价鞅测度
早在1900年，法国人L.巴恰利埃在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生证券的定价问题。但是直到20世纪50年代，金融研究仅有一些含混不清的“大拇指法则”和对所观察到的财务数据的文字性描述。然而进入50年代以后，数学工具在金融研究领域的应用蓬勃发展。马科维茨1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，又标志着现代金融理论的诞生。随后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次应用无套利定理证明了以他们名字命名的M-M定理。同时，德布鲁（1959年）和阿罗（1964年）将一般均衡模型推广至不确定性经济分析当中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。稍后，夏普（1964年）、林特内（1965年）和莫辛（1966年）共同导出了著名的资本资产定价模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡体系中证明了M-M定理。20世纪70年代，布莱克推导出无风险不存在情况下的“零-ß CAPM”；萨缪尔森、鲁宾斯坦、克劳斯和利茨伯格导出了跨期CAPM；而莫顿则将伊藤积分引入经济分析；提出了连续时间的CAPM；另一方面，罗斯提出 了与CAPM相平行的套利定价理论。当然，上世纪70年代最具革命性意义的事件是布莱克和斯科尔斯的期权定价公式以及哈里森与克雷普斯的证券定价鞅定理。哈里森与克雷普斯（1979年）将鞅引入金融分析当中来，使得金融分析发生了革命性的飞跃，为随后的金融分析提供了一个崭新的分析工具与思路。在这当中，最有名的莫过于等价鞅测度定理。等价鞅测度定理为消除套利机会，减少资产投资风险提供了一个简便而又逻辑严谨的分析工具。
一、 鞅的定义及含义
一个关于{8497; } 适应的过程 称为一个（关于{8497; } 的）鞅 ，如每个 可积，且 Ⅰ8497; ， （1）称为一个上鞅，如式（1）换为 Ⅰ8497; ， （1）‘称为一个下鞅，如式（1）换为 Ⅰ8497; ， 显然， 是上鞅，当且仅当 是下鞅。
现在，我们考虑股票价格的多元二维格栅模型化 。在现存框架中，过程 由最初股票价格 和 等式中独立随机变量序列 决定。更精确而言， 由概率空间 中的 决定，或对等地，由下列关系决定：
（2）
。通过下式，引入贴现股票价格过程 ：
（3）
设 为随机变量 生成的空间 的解析族 ，即，对于任意 ， 。明显地，解析族 ， 为 域递增族，意指对于任意
， 。注意到 族同时也是由随机变量族 生成而致，从而更精确而言，
，等式中依据惯例， 。，解析族 ， 可将股票价格观测值生成的离散信息流模型化。从金融意义而言，解析族 意指时间 时所有投资者可以获取的市场信息。对于任意 ，设定 ，式中 是解析族 生成的 域。显然 。最后， 表示过程 的自然 域族，或简言之，过程 的自然过滤因子。
下面引入与任一 中概率测度 对等的概率测度 的定义，如此，贴现股票价格 在 下对于它自身的过滤因子而言为公平博弈。另外，假定 属于 类。根据 类定义，任一 中概率测度取决于隐含参数 的选取，而 仅仅与 值相关。而且，此假设不会丧失一般性；不难求证： 外不存在与任一 类概率测度相等的概率测度 ，从而CRR模型中的贴现股票价格 必将遵循 －分布。从而，可在不丧失一般性条件下采用下列鞅测度定义。
定义：概率测度 可称为贴现股票价格过程的鞅测度如果下列等式成立：
； （4）
即，如果过程 相对过滤因子 而言在 下遵循鞅分布。这种情况，人们可以断言贴现股票价格 遵循 －鞅分布，或简言之， －鞅分布，如果没有歧义引起的话。
在某些情况中，可以假定股票价格是在隐含过滤概率空间 上给出，等式中隐含过滤因子 严格大于股票价格过程生成的自然因子 。但是，在本节中，为了方便，设定 ，如同上述定义所明确表示。
引理：贴现股票价格 的鞅测度存在当且仅当 。本例中， 的鞅测度 是相对于 而言的唯一 类因子。
证明：利用（2）和（3）等式，我们可以根据以下方式重新构建等式（4）：
（5）
或等价地， 。
由于随机变量 相对于 －域 独立，那么后一等式成立的充分必要条件是 ，或明显地，等式 必须满足。对最后方程求解 值，人们可以得到使得等式（5）成立的唯一 值。
注意到股票价格遵循唯一鞅测度 分布，递增概率的指数随机游走（参见公式（ ）就等于 。这个特征阐明了在不丧失一般性条件下，为什么可将人们的注意力限定在隐含锥空间 的特殊概率测度类型上。重要的是要指出：鞅概率测度 不是为了将股票价格实际波动观测值模型化而外生引入的。相反的是，它应该被看作是衍生证券套利估价中非常有用的技术工具。
评价： 鞅测度（或风险中性概率）概念本质上取决于基数资产的选择。可以确认相对股票价格 的唯一鞅测度为 类的唯一因子 ，且 与 的以下值一致：
二、 等价鞅测度及其性质
等价鞅测度 ：具体地，如果一项证券价格 是一个连续随机过程，其样本概率分布记为 －我们称其为等价鞅测度，使得以 计算的未来期望恰好等于当前地价格：
（6）
其中 是在时刻 的信息 已知的条件下以 计算的条件期望算子。
考虑一种普通证券，其价格变化呈几何维纳过程：
（7）
其中 服从正态分布： （8）
注意这种表示法与前面随机微分方程的表示法是等价的——事实上， 满足方程：
利用伊藤引理， 满足的随机微分方程是
（9）
为了后面的推导，任取一个参数 ，我们先计算下面的矩生成函数（moment generating function）：
（10）
函数 具有这样的性质：将其求导 次并在 取值就得到 的 阶矩。譬如容易验证
现在我们利用 来计算证券价格的条件期望。假设 ，由定义（7）式，有 （11）
注意到这个分布与信息 （时刻 及之前的股价 ）无关：
最后一个等式用到了矩生成函数（10）式。又因为在信息 下 是已知的，上式两端乘以 ，得到 （12）
对照 实际的概率分布（8）式，我们将 定义为正态分布 ，其中期望值系数 待定。利用（12）式，以 计算 的条件期望：
选取 （13）
立即有 （14）
在上述构造下， 成为概率分布 下的一个鞅。同时，仿照（9）式的推导，在 下 满足的随机微分方程是
用（8）式置换后为：
（15）
这里的 是一个标准维纳过程，它与（11）式中的 是不同的：后者的概率分布是 ，而 的概率分布是 。（15）式与（14）式是等价的，它们的直观解释是：在等价鞅测度下，每一种风险资产的期望收益率都等于无风险资产收益率。
由性质（14）式，衍生资产等价完全转化成为一个技术过程。只要知道到期日衍生资产的终值函数，利用 求其期望值，再以无风险利率贴现，就是它当前的定价。下面以布莱克—斯科尔斯公式的推导为例加以说明。
为简化表示式，只求 时的买权价格 。我们知道，一份欧式买权在到期日的价值是
由前面的推导，有
（16）
而 （17）
由等价鞅性质，买权的当前价格就是其到期日的期望价值：
由于 等价于 ，将（16）式代入上式，进一步将 简写为 ： （18）
可以验证前后两个积分恰好是布莱克-斯科尔斯公式中的 和 。
等价鞅测度概念能够很好地说明为什么在布莱克-斯克尔斯公式不含有标的股票的预期收益和投资者的风险偏好。在金融市场均衡中，每种股票在等价鞅测度下的预期收益率正好是无风险收益率。所以，无论投资者是风险厌恶者还是风险爱好者，通过使用等价鞅测度，它们都将按照同一无风险收益率 来衡量标的资产的收益 。
三、 等价鞅测度的应用
等价鞅测度工具性质如此良好，以至于在金融市场定价中得以广泛应用，国内研究主要将等价鞅测度应用于外汇市场定价（田蓉、柴俊2000）、可转换债券定价（王梓坤2000）、资产组合最优定价分析（魏正红、张曙光2003）等；当然，等价鞅测度的最基本应用应为其在即期市场与期货市场中的应用。
1、 即期市场鞅测度
尽管，我们注意到，主观概率在对期权定价时不能发挥作用，概率手段在状态依存估价中仍有很大作用。它们取决于概念鞅的使用，即，直观上讲，公平博弈的一种概率模型的使用。为了应用衍生证券的鞅方法，必须首先找到一等同于 的概率测度 ，从而贴现（或非贴现）股票价格过程 可通过以下公式来定义：
，
遵循 鞅分布；即，等式 成立。对于贴现股票价格过程 而言，这样的概率测度 称为鞅测度。在两期模型中，容易得出概率测度 （假定它存在）被下列线性方程唯一地确定： （19）
等式中 且 。求解方程中的 得
， （20）
现在让我们考虑与 一致相关得价格 ，此处 代表概率测度 下期权贴现最终支付的预期值－即
评价：考虑到价格过程 遵从 － 鞅分布，那么贴现股票价格过程可被视为风险中性经济中的公平博弈模型－即，在随机经济体系中期货股票价格波动得概率由鞅测度 决定。但是，应该强调的是，套利定价得基本理念完全基于资产组合的存在，这种资产组合能将与风险证券的不确定期货价格相关的风险完美地对冲。从而，这个模型的概率性质不具有本质意义。特别地，实际上人们不认为现实世界经济是风险中性的。相反地，风险中性经济体系更应该视为一种技术工具。鞅测度引入的目的有两方面：首先，它将衍生证券套利价格的明确评估简单化；其次，它利用相关价格行为来刻画原生证券的给定定价模型的无套利性质。这种途径经常被视为局部均衡方式，与一般均衡方式相对。强调的是，在后一理论中，投资者偏好在随机模型中通常表示为他们（预期）效用函数，且扮演重要的角色。
总之，衍生证券套利价格概念并不取决于衍生证券特定定价模型中概率测度的选取。进一步精确而言，标准概率术语的引用，意味着套利价格取决于主观概率测度 的支撑，但是不随同一等值概率测度集合中的特定概率测度的选取而改变。金融术语中，上述论断可被重述为：所有投资者在原生证券的期货价格波动幅度上的认识达成一致；尽管他们在相应的主观概率评估上有所不同。
2、期货市场鞅测度
寻求一概率测度 ，使得其期货价格过程（未贴现）遵循 鞅分布。一概率 ，如果存在，将由下列等式决定：
容易得出
，
这表明鞅方法同样可用于期货市场，只要对鞅测度概念稍加修改。
借助数理金融传统术语，人们可能得出结论：风险中性经济体系具有期货价格过程公平博弈性质。应该记住：风险中性即期经济中贴现股票价格（与股票价格本身相对）可将公平博弈模型化。
参考文献：
1、 龙瑞麟，《 鞅论》，北京大学出版社，1985年3月第1版
2、 Marek Musiela Marek Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modeling, Springer, 1998
3、 马俊海 著，《金融衍生证券定价的数值分析方法》，浙江人民出版社，2002年6月第1版
4、 蒋殿春 著，《现代金融理论》，上海人民出版社，2001年11月第1版
5、 杨云红 编著，《高级金融理论》，武汉大学出版社，2001年3月第1版
6、 姜礼尚 著，《期权定价的数学模型和方法》，高等教育出版社，2003年1月第1版
7、 田蓉 柴俊，《等价鞅测度模型在外汇期权定价中的应用》，载于《华东师范大学学报（自然科学版）》，2003年6月第2期，页码：27——31
8、 秦学志 吴冲锋，《基于鞅和线性规划对偶原理的或有要求权定价方法》，载于《控制与决策》，2001年11月第16卷增刊，页码：846——848
9、 毛二万 宋逢明，《有摩擦的金融市场套利与鞅》，载于《系统工程理论与方法》，2000年第9卷，页码：202——2008
10、魏正红 张曙光，《最优增长投资组合与等价鞅测度之间的关系》，载于《应用概率统计》，2003年2月第19卷第11期，页码：14——18
分类：金融、保险与证券监管 金融、保险与证券监管
文章提交者：罗猛 发表时间：2004-12-21
字号：大 中 小
简析等价鞅测度及其应用
罗猛（中国人民大学财政金融学院博士）
摘要：自从20世纪50年代后数理分析工具广泛用于金融分析领域，其中最为知名的当属M-M定理、CAMP以及无套利(APT)定理和鞅等价定理等。在这当中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题。并且，等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价、消除金融投机套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到应用。剖析等价测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法、优化金融产品投资组合、降低金融产品投资风险将有所裨益。
关键词：鞅；测度；等价鞅测度
早在1900年，法国人L.巴恰利埃在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生证券的定价问题。但是直到20世纪50年代，金融研究仅有一些含混不清的“大拇指法则”和对所观察到的财务数据的文字性描述。然而进入50年代以后，数学工具在金融研究领域的应用蓬勃发展。马科维茨1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，又标志着现代金融理论的诞生。随后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次应用无套利定理证明了以他们名字命名的M-M定理。同时，德布鲁（1959年）和阿罗（1964年）将一般均衡模型推广至不确定性经济分析当中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。稍后，夏普（1964年）、林特内（1965年）和莫辛（1966年）共同导出了著名的资本资产定价模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡体系中证明了M-M定理。20世纪70年代，布莱克推导出无风险不存在情况下的“零-ß CAPM”；萨缪尔森、鲁宾斯坦、克劳斯和利茨伯格导出了跨期CAPM；而莫顿则将伊藤积分引入经济分析；提出了连续时间的CAPM；另一方面，罗斯提出 了与CAPM相平行的套利定价理论。当然，上世纪70年代最具革命性意义的事件是布莱克和斯科尔斯的期权定价公式以及哈里森与克雷普斯的证券定价鞅定理。哈里森与克雷普斯（1979年）将鞅引入金融分析当中来，使得金融分析发生了革命性的飞跃，为随后的金融分析提供了一个崭新的分析工具与思路。在这当中，最有名的莫过于等价鞅测度定理。等价鞅测度定理为消除套利机会，减少资产投资风险提供了一个简便而又逻辑严谨的分析工具。
一、 鞅的定义及含义
一个关于{8497; } 适应的过程 称为一个（关于{8497; } 的）鞅 ，如每个 可积，且 Ⅰ8497; ， （1）称为一个上鞅，如式（1）换为 Ⅰ8497; ， （1）‘称为一个下鞅，如式（1）换为 Ⅰ8497; ， 显然， 是上鞅，当且仅当 是下鞅。
现在，我们考虑股票价格的多元二维格栅模型化 。在现存框架中，过程 由最初股票价格 和 等式中独立随机变量序列 决定。更精确而言， 由概率空间 中的 决定，或对等地，由下列关系决定：
（2）
。通过下式，引入贴现股票价格过程 ：
（3）
设 为随机变量 生成的空间 的解析族 ，即，对于任意 ， 。明显地，解析族 ， 为 域递增族，意指对于任意
， 。注意到 族同时也是由随机变量族 生成而致，从而更精确而言，
，等式中依据惯例， 。，解析族 ， 可将股票价格观测值生成的离散信息流模型化。从金融意义而言，解析族 意指时间 时所有投资者可以获取的市场信息。对于任意 ，设定 ，式中 是解析族 生成的 域。显然 。最后， 表示过程 的自然 域族，或简言之，过程 的自然过滤因子。
下面引入与任一 中概率测度 对等的概率测度 的定义，如此，贴现股票价格 在 下对于它自身的过滤因子而言为公平博弈。另外，假定 属于 类。根据 类定义，任一 中概率测度取决于隐含参数 的选取，而 仅仅与 值相关。而且，此假设不会丧失一般性；不难求证： 外不存在与任一 类概率测度相等的概率测度 ，从而CRR模型中的贴现股票价格 必将遵循 －分布。从而，可在不丧失一般性条件下采用下列鞅测度定义。
定义：概率测度 可称为贴现股票价格过程的鞅测度如果下列等式成立：
； （4）
即，如果过程 相对过滤因子 而言在 下遵循鞅分布。这种情况，人们可以断言贴现股票价格 遵循 －鞅分布，或简言之， －鞅分布，如果没有歧义引起的话。
在某些情况中，可以假定股票价格是在隐含过滤概率空间 上给出，等式中隐含过滤因子 严格大于股票价格过程生成的自然因子 。但是，在本节中，为了方便，设定 ，如同上述定义所明确表示。
引理：贴现股票价格 的鞅测度存在当且仅当 。本例中， 的鞅测度 是相对于 而言的唯一 类因子。
证明：利用（2）和（3）等式，我们可以根据以下方式重新构建等式（4）：
（5）
或等价地， 。
由于随机变量 相对于 －域 独立，那么后一等式成立的充分必要条件是 ，或明显地，等式 必须满足。对最后方程求解 值，人们可以得到使得等式（5）成立的唯一 值。
注意到股票价格遵循唯一鞅测度 分布，递增概率的指数随机游走（参见公式（ ）就等于 。这个特征阐明了在不丧失一般性条件下，为什么可将人们的注意力限定在隐含锥空间 的特殊概率测度类型上。重要的是要指出：鞅概率测度 不是为了将股票价格实际波动观测值模型化而外生引入的。相反的是，它应该被看作是衍生证券套利估价中非常有用的技术工具。
评价： 鞅测度（或风险中性概率）概念本质上取决于基数资产的选择。可以确认相对股票价格 的唯一鞅测度为 类的唯一因子 ，且 与 的以下值一致：
二、 等价鞅测度及其性质
等价鞅测度 ：具体地，如果一项证券价格 是一个连续随机过程，其样本概率分布记为 －我们称其为等价鞅测度，使得以 计算的未来期望恰好等于当前地价格：
（6）
其中 是在时刻 的信息 已知的条件下以 计算的条件期望算子。
考虑一种普通证券，其价格变化呈几何维纳过程：
（7）
其中 服从正态分布： （8）
注意这种表示法与前面随机微分方程的表示法是等价的——事实上， 满足方程：
利用伊藤引理， 满足的随机微分方程是
（9）
为了后面的推导，任取一个参数 ，我们先计算下面的矩生成函数（moment generating function）：
（10）
函数 具有这样的性质：将其求导 次并在 取值就得到 的 阶矩。譬如容易验证
现在我们利用 来计算证券价格的条件期望。假设 ，由定义（7）式，有 （11）
注意到这个分布与信息 （时刻 及之前的股价 ）无关：
最后一个等式用到了矩生成函数（10）式。又因为在信息 下 是已知的，上式两端乘以 ，得到 （12）
对照 实际的概率分布（8）式，我们将 定义为正态分布 ，其中期望值系数 待定。利用（12）式，以 计算 的条件期望：
选取 （13）
立即有 （14）
在上述构造下， 成为概率分布 下的一个鞅。同时，仿照（9）式的推导，在 下 满足的随机微分方程是
用（8）式置换后为：
（15）
这里的 是一个标准维纳过程，它与（11）式中的 是不同的：后者的概率分布是 ，而 的概率分布是 。（15）式与（14）式是等价的，它们的直观解释是：在等价鞅测度下，每一种风险资产的期望收益率都等于无风险资产收益率。
由性质（14）式，衍生资产等价完全转化成为一个技术过程。只要知道到期日衍生资产的终值函数，利用 求其期望值，再以无风险利率贴现，就是它当前的定价。下面以布莱克—斯科尔斯公式的推导为例加以说明。
为简化表示式，只求 时的买权价格 。我们知道，一份欧式买权在到期日的价值是
由前面的推导，有
（16）
而 （17）
由等价鞅性质，买权的当前价格就是其到期日的期望价值：
由于 等价于 ，将（16）式代入上式，进一步将 简写为 ： （18）
可以验证前后两个积分恰好是布莱克-斯科尔斯公式中的 和 。
等价鞅测度概念能够很好地说明为什么在布莱克-斯克尔斯公式不含有标的股票的预期收益和投资者的风险偏好。在金融市场均衡中，每种股票在等价鞅测度下的预期收益率正好是无风险收益率。所以，无论投资者是风险厌恶者还是风险爱好者，通过使用等价鞅测度，它们都将按照同一无风险收益率 来衡量标的资产的收益 。
三、 等价鞅测度的应用
等价鞅测度工具性质如此良好，以至于在金融市场定价中得以广泛应用，国内研究主要将等价鞅测度应用于外汇市场定价（田蓉、柴俊2000）、可转换债券定价（王梓坤2000）、资产组合最优定价分析（魏正红、张曙光2003）等；当然，等价鞅测度的最基本应用应为其在即期市场与期货市场中的应用。
1、 即期市场鞅测度
尽管，我们注意到，主观概率在对期权定价时不能发挥作用，概率手段在状态依存估价中仍有很大作用。它们取决于概念鞅的使用，即，直观上讲，公平博弈的一种概率模型的使用。为了应用衍生证券的鞅方法，必须首先找到一等同于 的概率测度 ，从而贴现（或非贴现）股票价格过程 可通过以下公式来定义：
，
遵循 鞅分布；即，等式 成立。对于贴现股票价格过程 而言，这样的概率测度 称为鞅测度。在两期模型中，容易得出概率测度 （假定它存在）被下列线性方程唯一地确定： （19）
等式中 且 。求解方程中的 得
， （20）
现在让我们考虑与 一致相关得价格 ，此处 代表概率测度 下期权贴现最终支付的预期值－即
评价：考虑到价格过程 遵从 － 鞅分布，那么贴现股票价格过程可被视为风险中性经济中的公平博弈模型－即，在随机经济体系中期货股票价格波动得概率由鞅测度 决定。但是，应该强调的是，套利定价得基本理念完全基于资产组合的存在，这种资产组合能将与风险证券的不确定期货价格相关的风险完美地对冲。从而，这个模型的概率性质不具有本质意义。特别地，实际上人们不认为现实世界经济是风险中性的。相反地，风险中性经济体系更应该视为一种技术工具。鞅测度引入的目的有两方面：首先，它将衍生证券套利价格的明确评估简单化；其次，它利用相关价格行为来刻画原生证券的给定定价模型的无套利性质。这种途径经常被视为局部均衡方式，与一般均衡方式相对。强调的是，在后一理论中，投资者偏好在随机模型中通常表示为他们（预期）效用函数，且扮演重要的角色。
总之，衍生证券套利价格概念并不取决于衍生证券特定定价模型中概率测度的选取。进一步精确而言，标准概率术语的引用，意味着套利价格取决于主观概率测度 的支撑，但是不随同一等值概率测度集合中的特定概率测度的选取而改变。金融术语中，上述论断可被重述为：所有投资者在原生证券的期货价格波动幅度上的认识达成一致；尽管他们在相应的主观概率评估上有所不同。
2、期货市场鞅测度
寻求一概率测度 ，使得其期货价格过程（未贴现）遵循 鞅分布。一概率 ，如果存在，将由下列等式决定：
容易得出
，
这表明鞅方法同样可用于期货市场，只要对鞅测度概念稍加修改。
借助数理金融传统术语，人们可能得出结论：风险中性经济体系具有期货价格过程公平博弈性质。应该记住：风险中性即期经济中贴现股票价格（与股票价格本身相对）可将公平博弈模型化。
参考文献：
1、 龙瑞麟，《 鞅论》，北京大学出版社，1985年3月第1版
2、 Marek Musiela Marek Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modeling, Springer, 1998
3、 马俊海 著，《金融衍生证券定价的数值分析方法》，浙江人民出版社，2002年6月第1版
4、 蒋殿春 著，《现代金融理论》，上海人民出版社，2001年11月第1版
5、 杨云红 编著，《高级金融理论》，武汉大学出版社，2001年3月第1版
6、 姜礼尚 著，《期权定价的数学模型和方法》，高等教育出版社，2003年1月第1版
7、 田蓉 柴俊，《等价鞅测度模型在外汇期权定价中的应用》，载于《华东师范大学学报（自然科学版）》，2003年6月第2期，页码：27——31
8、 秦学志 吴冲锋，《基于鞅和线性规划对偶原理的或有要求权定价方法》，载于《控制与决策》，2001年11月第16卷增刊，页码：846——848
9、 毛二万 宋逢明，《有摩擦的金融市场套利与鞅》，载于《系统工程理论与方法》，2000年第9卷，页码：202——2008
10、魏正红 张曙光，《最优增长投资组合与等价鞅测度之间的关系》，载于《应用概率统计》，2003年2月第19卷第11期，页码：14——18
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