股票Beta的理解误区
随便找个AI问一下，what is a stock's beta，往往得到如下差不多的解释：
A stock's beta (β) is a measure of its volatility, or how much its price tends to move in relation to the overall market. It quantifies the degree to which a stock's price fluctuates compared to a benchmark index, typically the S&P 500. Investopedia explains that investors can check a stock's beta when choosing a stock that matches their tolerance for risk.
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许多人想当然认为 beta 就是该股票波动率对市场（比如S&P500）波动率的比例。如以波动率为风险标准，beta=1想当然就是与市场（S&P500）风险大致相当，beta>1就是比市场风险更高，beta<1就是比市场风险更低。
我们来看一下 beta 的定义再看这个说法是否准确。 假定某股票的回报率是 \(r_s\)，市场（比如S&P500）的回报率是 \(r_m\)，二者都是随机变量，那么beta的定义就是回归系数： \[ \beta = \frac{\mbox{Cov}(r_s, r_m)}{\mbox{Var}(r_m)} \] \[ \mbox{Cov: covariance, 中文协方差} \] \[ \mbox{Var: variance, 中文方差} \] 意思是 \[ r_s = \alpha + \beta r_m + \epsilon \] 这里 \(\epsilon\) 是回归误差，\(\epsilon\) 与 \(r_m\) 不相关: \[ \mbox{Cov}(r_m, \epsilon) = 0 \] 这样该股票回报率的方差可以被分解为两个部分: \[ \mbox{Var}(r_s) = \beta^2 \mbox{Var}(r_m) + \mbox{Var}(\epsilon) \] 把该股票的波动率及市场的波动率分别写为 \[ \sigma_s = \sqrt{\mbox{Var}(r_s)} \] \[ \sigma_m = \sqrt{\mbox{Var}(r_m)} \] 同样，把回归误差项的波动率写为 \[ \sigma_\epsilon = \sqrt{\mbox{Var}(\epsilon)} \] 那么 \[ \sigma_s^2 = \beta^2 \sigma_m^2 + \sigma_\epsilon^2 \] 显然可见该股票波动率与市场波动率之比不一定正好是 \(\beta\) 。
熟悉回归分析的都知道相关系数 \[ \rho = \frac{\mbox{Cov}(r_s, r_m)}{\sqrt{\mbox{Var}(r_s)\mbox{Var}(r_m)}} \] 也知道相关系数 \(\rho\) 与回归系数 \(\beta\) 之间的关系 \[ \beta = \rho \frac{\sigma_s}{\sigma_m} \] 也就是 \[ \frac{\sigma_s}{\sigma_m} = \frac{\beta}{\rho}\] 熟悉回归分析的也都知道 \( | \rho | \leq 1\)，所以波动率之比一般都是大于 \(\beta\) 。\(\rho\) 越接近1，波动率比例越接近 \(\beta\) 。
回归分析中的 beta 项是市场系统风险。回归的误差项 \(\epsilon\) 投资界称为idosyncratic risk（中文公司特质风险）。举个例子，大苹果AAPL的 \(\beta\) 大约在1.0左右是1.16，但单个苹果股票的风险（波动率）远高于市场（S&P500），大约是1.65:1。另一个例子是AT&T，\(\beta\) 是0.24，但 \(\rho\) 只有0.20，所以波动率比很高约1.40。
投资界一般认为 idiosyncratic risk 可以通过 diversification 降低，但 \(\beta\) 风险不能通过 diversification 降低
【谢谢perentb关于AAPL beta的指正，也谢谢颜阳大姐提示low correlation的例子，在跟帖中加了AT&T例子】
