数学精神与方法
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数学精神与方法 第一讲 从数学是什么谈起 数学是什么——历史的理解 数学是人类文化中历史最悠久的知识领域之一， 是人类文明的一个重要组成部分。 从远古曲指 计数到借助高速电子计算机进行大型科学计算，从勾股定理的发现到抽象公理化系统的产生， 数学经过了五千余年的发展演变历程。即使作为一门独立而理性的学科，她也有两千五百年的 历史了。 与其他学科领域相比，数学的发展具有很强的累积性。 数学正是经过这种发展的长期累积过程才铸就出今天这般宏大的思想理论体系。数学常常被人 们比喻成一棵茂密的大树，她包含着并且正在生长出越来越多分枝。按照美国《数学评论》 （Mathematical Reviews）的分类，当前数学学科包含 60 多个二级学科，400 多个三级学科，更 细的分科难以统计。可以说，数学历经五千余年的累积演进，已经发展成为适用面最广泛、应 用功能最强大的学科；而且，她还是人们最信得过的学科之一，被称作科学的基础。 公元前 6 世纪以前，数学主要是关于“数”的研究，主要是计数、初等算术与算法，而几何则只 能看作是应用算术。这一历史阶段，数学在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区得到率先发展。 从公元前 6 世纪开始，数学在希腊蓬勃兴起并得到空前发展。希腊人主要对几何感兴趣，突出 了对“形”的研究；他们当然也没有忽略对“数”的研究，但却将“数”放在了几何的形式下去考察 （只有少数例外，如丢番图） 。从那时起，一直到 17 世纪，数学的研究对象是数与形——静止 的、常量的数与形；而且，两千两百年间数学的研究对象没有本质的变化。数学于是成为了关 于数与形的学问。 亚里士多德（Aristotle , 384—322BCE） “数学是量的科学。” 笛卡尔（R. Descartes, 1596-1650） “凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关。” 由笛卡尔、费马（P. de Fermat, 1601-1665）开创的解析几何学，为数学乃至整个科学树起了一 座划时代的里程碑，数学从此由常量时代进入了变量时代——这标志着数学发展迈入了近代数 学时期。 微积分的创立无疑是 17 世纪数学最为重要的成就，也是科学发展史上最重大的事件之一。由牛 顿（Isaac Newton, 1642-1727）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）所制定的微 积分，本质上就是关于运动与变化的数学，它使科学家们能够以数学为工具去深入研究行星运 动、机械运动、流体运动以及动植物生长等等。因此，数学在牛顿和莱布尼兹生活的时代已经 成为研究数与形、运动与变化的学问。 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 然而，就在恩格斯所在的 19 世纪，数学家不仅仅研究现实世界中的数学对象，而且开始关注并 研究数学自身的大量基础性问题，而这类问题——以数学自身的协调、完备以及模式化为目的 ——只是出于使数学自身达到完美与统一的需要。 从 19 世纪后期开始，数学成为了研究数与形、运动与变化以及数学自身问题的学问，而且数 学理论的论述呈现以公理化倾向为特征的规范形式。从此，数学发展进入了所谓现代数学阶段。 这种对数学自身问题的研究，实现了数与形的统一，促成了数学与逻辑的融合，开辟了全新而 广阔的数学发展空间和应用领域，从根本上刷新了人类的数学观念。 康托尔（G. Cantor 1845---1918） “数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说，它的概念必须摆脱自相矛盾， 并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。” 罗素（B. Russell, 1872---1970） “数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是 否正确。” 20 世纪初，英国哲学家兼数学家罗素（B. Russell, 1872-1970）给数学下了如下一个定义： “纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题 对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否成立，也不管使此命题成立的那些事物究 竟是什么，……。只要我们的假定是关于一般事物的，而不是关于某些特殊事物的，那么我们 的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的（事 物）是什么，也不知道所说的内容（断语）是否正确。” 数学是什么？ 20 世纪 80 年代，一批美国学者将数学简单地定义为关于“模式”的科学： “[数学]这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界 中所观察到的结构和对称性。” 搜索并揭示隐藏模式的过程是在交织着许多对立面的斗争中进行的，这些对立面是：具体与抽 象、特殊与一般、有限与无限、离散与连续、算法的与存在的、随机的与决定论的、精确的与 近似的，等等。正是这些对立面的相互作用、反复综合并在更高层面上达成统一，在不停地推 动着数学的创造、更新和应用，在生动地体现着数学理论的思想脉搏和蓬勃生机。因此，这些 对立统一因素构成了数学科学发展的基本要素，理应在数学教育中作为通识知识加以系统地阐 释。 数学是抽象的，追求精确性和可靠性 随着数学家开发模式的范围自然地、无限制地扩张到任何 领域中去，数学的历史边界已完全消失，同样数学应用的边界也没有了：现代数学不再只是自 然科学和工程技术领域（如物理学、化学、生物学、生态学、各种工程设计和控制技术等）的 语言，它与计算机相结合已经成为众多行业和部门（如银行业、制造业、医药业、统计与审计 部门、信息处理与信息安全部门等）以及社会科学领域（如经济学、社会学、历史学、心理学、 考古学、语言学等）必不可少的工具。 “知道重大发明特别是那些绝非偶然的﹑经过深思熟虑而得到的重大发明的真正起源是很有 益的。这不仅在于历史可以给每一位发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉， 而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法。” 希尔伯特（ D. Hilbert , 1862---1943 ) “数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。” “凡服从于科学思维的一切知识，只要准备发展成一门理论，就必然要受公理化方法的支配， 受数学的支配。” 数学精神与方法 第二讲 有限无限纵横谈（一） §2.1 从自然数谈起 ?对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列： 0，1，2，3，…… 这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本， 作为我们考察数学的起点。 ?如果问：自然数是什么? 这可就不那么容易回答了。事情说到根上，看起来简单的问题反而 难以回答。 皮亚诺的自然数公理系统 ?三个基本概念： 0，数，后继 ?五条公理： ?0 是一个数。 ?任何数的后继是一个数。 ?若两个数不同，则它们的后继也不同。 ?0 不是任何数的后继。 ?数学归纳法原理。 数学归纳法原理 ?如果每个数 n 都对应有一个命题 P(n)，又如果 （1）P(0) 真， （2）假若 P(n) 真，则必有 P(n+1) 真， 那么对所有的数 n ，P(n) 都真。 ?注：数学归纳法原理是我们从有限通向无限的桥梁。 关于 0、数、后继 皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括 0 在内的自然数全 体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知 道我们所指的是什么。 ?皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器 ——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。 ? 这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 ?“0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描 皮亚诺的自然数公理系统将经典数学“算术化”做到了最后完善的地步 ?从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关 系，可以证明已有的所有算术结果。当然，完成这一切还需要加上一些逻辑的概念和命题。 ?算术理论是分析数学的基础，是整个经典数学的基础；这点以后会很清楚。看明白这一点很重要 ?皮亚诺的三个基本概念是逻辑抽象化的，只有形式，没有内容，可以允许多种解释。例如，如 果“0”代表实数 1，“数”代表实数列 1，0.5，0.25，…而一个数的“后继”规定为取这个数的一半，那么这些解释完全可以与皮亚诺的 五条公理相容不悖。 ?这表明“0” 、“数”和“后继”不能由皮亚诺的五条公理去定义，而必须单独地去了解。 §2.2 归约到逻辑 ?“ 一这个数是什么，或者，1 这个符号意谓什么，对这个问题，人们通常得到的答案是：一个 事物。此外，如果人们注意到， ‘一这个数是一个事物’ 这个句子不是定义，因为它一边是定冠词，另一边是不定冠词，如果人们还注意到，这个 句子只是说 1 这个数属于事物，而没有说是哪个事物，那也许人们就不得不自己选择人们愿意 称之为 1 的任何一个事物。但是，如果每个人都可以有权任意理解这个名词，那么关于 1 的同 一个句子对于不同的人就会意谓不同的东西；这样的句子就不会有共同的内容。” 一个数（自然数）是什么？ ?或许有人提出，我们不用回答这个问题，因为我们不能定义“0” 、“数”与“后继”，也不必假定 我们知道这些概念的意义，不必令它们与通常的意义相符，我们可以让它们代表任何能适应皮 亚诺公理的三个概念——它们将是变项，是我们对其作出某种假设而此外别无规定的概念。 这种方略并不荒谬，它提供一种推广，对于某种目的，确有价值。 ?但是，这种方略未能为算术奠定一个适当的基础。第一，它不能使我们知道是否确有适合皮亚 诺公理的项的集合；它甚至没有略略提示任何方法，以发现是否有这样的项的集合。第二，我 们需要我们的数能计数通常的事物，也就是要求我们的数不仅具有某种形式的性质，还应具有 一种确定的意义。 试着给数 1 下个定义 ?1 这个数是所有含一个元素的集合所组成的类——这个类的集合共蕴一个特性（含有一个元 素） ，且这一特性仅为这个类中的每个集合所具有。 ?这里所谓“1 的定义”使我们在逻辑上处于一种为难境界——正好可用于定义一个特定数目的此 数之特性恰恰不能用于定义这个数！ 启发：单独地、孤立地去定义一个特定数目是行不通的，这在逻辑上会把事情逼到“自己定义自 己” 的境界，因为我们的眼界没有超出此数的本类，即这个数的外延所界定的对象集合的范围。 定义数该从何处着手？ ?我们必须了解：每个数都有自己的特有属性；特有属性之所以 “特有”，就在于它具有将该数 本类的集合与另类的集合区分开的作用——本类的任何两个集合都“具有相等的元素个数”，而 本类的和另类的集合之间则永不“具有相等的元素个数”。 ?判断两个集合是否“具有相等的元素个数”比定义它们的“元素个数”是什么在逻辑上要简单得 多。 “具有相等的元素个数” ?我们称集合甲与集合乙是“相似”的，如果集合甲与集合乙是“具有相等的元素个数”的。 ?“相似”是在集合之间建立起来的一种关系，它具有如下性质： （1）每个集合都自己与自己“相似”； （2）若甲与乙“相似”，则乙与甲“相似”； （3）若甲与乙“相似”，乙与丙“相似”，则甲与丙“相似”。 正是基于这些性质， “相似”关系可用于将全体集合划分成一个个两两互不相交的集合类—— 若甲与乙“相似”，则甲与乙归于同一个集合类。这种集合类称作“相似类”。 数的定义 ——弗雷格-罗素说法 ?一个集合的数是所有与此集合相似的集合所构成的类，即此集合所在的“相似类”。注：两个集合相似意指这两个集合间存在着双射。 ?所谓一个数目就是某一个集合的数。评说“数”之弗雷格-罗素定义 ?注意下定义的程式：一个集合的数（一个数） 数（所有数目） 一个相似类 所有相似类 所有集合 因此，数的定义归约到“集合” 、“相似” 和“分类”这三个项——逻辑主义者认为这三项 隶属于逻辑范畴，我们权且这样去看。 关键点：数的确定性 离不开的思维观念 ?注意，没有集合就没有这里所谓的“数”，这里的“数”本质上就是对所有集合给出了一种分类。 一个给定的“数”现在之所以是确定的——不允许有多种解释——正在于它的凭借集合构成的类 （即相似类）是非空的和唯一的。 ?在给数下定义时，无论是前面的皮亚诺定义，还是现在的弗雷格-罗素定义，有三个特别的数 “0” 、“1” 和“2”似乎必须先验的出现在定义中。事实上，这三个数是人的两种基本思维观念的 集中反映： “1 与 0”意味着“有与没有” ——存在观念， “1 与 2”意味着“相同与相异”——区分观念。 离开这两种基本的思维观念，我们的意识就退化到几近不存在的境界。因此，在给数 下定义的表述中，先验地出现这三个数的影子我们只好容忍。 数与集合的朴素观念 ?对数的理解离不开对集合和类的理解。 ? 集合和类，按我们的朴素观念去理解，都是由确定对象所组成的群体。不过，组成集合 的对象我们将视作“不必再分的”，故而称作“元素”；而组成类的对象则可以有元素，有集合， 甚至还有类。这种朴素的理解，事实上，将“集合”和“类”视作了同义词。 ? 定义一个具体的集合或类通常采用的定义方式有两种——“外延”定义法和“内涵”定义法： “外延”定义法——枚举集合的所有元素以确定集合 “内涵”定义法——提出集合的元素应满足的一种特有属性以确定集合 ? 并非所有集合都可用“外延”定义法去定义。全体集合可分为两大类——“可枚举集合类” 和“不可枚举集合类”。这反映到数的概念上来就会将数分为有限数与无限数两类。 问题与思考 ?自然产生的问题： ?全体集合可分为两大类， 即“可枚举集合类”和“不可枚举集合类” ， 同时又可分为一个个两两互 不相交的“相似类” 。试问：这两种分类法相容吗？——答案是肯定的。 ?“不可枚举集合类”会不会是空类或只是一个“相似类”呢？——首先完满回答这个问题的人是康 托。 ?“可枚举集合类”中的所有“相似类”能是我们习以为常的自然数系吗？也就是问， 在由“可枚举集 合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？ ?在由“不可枚举集合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？若不 能，那该建立怎样的公理系统架构？ ?集合是什么？相似类是什么？还有，“相似类”作为“数”而成为数学的基本对象能使数学家们对 其性能和功效感到满意吗？ 逻辑主义 数学与逻辑的关系至少可以上溯到数学还是一门经验科学的时代， 那时逻辑已经有 了最初的思想萌芽，并对数学思维开始发生作用。经过古希腊数学家们，特别是亚里士多德和 欧几里德的工作，数学同当时相对比较完善的形式逻辑结合起来，真正变成了一门演绎科学。 从此，数学与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科学知识体系中成为逻辑性最强的学 科。到了 19 世纪末 20 世纪初，数学的高度公理化和形式逻辑向数理逻辑的跨越发展，似乎一 度取消了数学与逻辑的分界线。在这个时期出现了逻辑主义学派（以罗素和弗雷格为代表） ，他 们宣称数学与逻辑是一回事。罗素曾说：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青 年与壮年没有明显的分界线，故数学与逻辑亦然。” 走近逻辑殿堂 数理逻辑又称符号逻辑，是用数学方法研究数学思维模式的科学。它把数学的推理方法 及其使用的语言作为研究对象，运用形式语言（人造符号语言）来表达思维形式的规则和结构。 筑造起一个将思维规律的研究变换为对符号系统的研究的理论体系。它既是数学，也是逻辑学。 国际数学界把它列入“核心数学”（纯数学） ，而逻辑学界称它为现代逻辑。它发展到今天已形成 四大分支：公理集合论、模型论、证明论与递归论。 形式逻辑的基本规律 数学的语言 在康托创立集合论，弗雷格创立谓词逻辑的时代（1870---1900） ，数学界使用的语言是 混杂冗赘和模棱两可的，这对数学的研究和教育十分不利。数学家们逐渐感受到在数学的各个 领域中采用相似的、统一的语言的需要。随着戴德金及其后一些人物的参与，康托的集合论和 弗雷格的谓词逻辑一起以朴素的形式成为了数学界的统一语言， 这就是所谓的朴素集合论语言； 这种语言现今已被我们广泛使用，达到了离开它就做不成事的程度。 康托的集合“定义” ?康托和戴德金都觉得有必要来“定义”集合。 ?康托的“定义”：“把我们感觉或思维的不同对象收集在一起”，看作一个整体，这个整体就叫做 集合。 ?戴德金的定义也没有什么差别。 ?那时“类”被视作“集合”的同义词。 一些基本的记号 罗素悖论 策墨罗的有限抽象原则 ?罗素的悖论，表述简单而明确，不容置疑；其特点是只用到了“集合” 、“元素” 、“属于”这些 §2.3 最基本的概念，涉及的集合既符合康托的集合定义，又符合弗雷格的用概念的外延来确定集合 的方法。从如此基本的概念出发竟推出了矛盾，这就表明康托和弗雷格的理论存在着令人恐惧 的漏洞。 ?数学家们觉得之所以出现罗素悖论是因为集合概念太宽泛，太不严密了。按康托和弗雷格的想 法，每个性质或条件可以确定一个集合，亦即每个概念可以确定一个集合；这叫做集合的概括 原则，也叫做无限抽象原则。 怎能不加限制地使用概括原则呢？ 观察概括原则的标准形式 就会发现：集合 s 由性质 P 和论域 x 所决定。策墨罗觉得罗素悖论的产生在于 x“太大”所致；因 此，定义一个集合应首先对论域 x 加以限制。基于这样的观点，策墨罗提出了一个“有限抽象原 则”： 如果已有了一个集合 x，又给了一个性质 P，那么构成一个集合。 ?按有限抽象原则，罗素悖论可解释成是对命题“所有集合组成的整体不构成一个集合。” 的证 明。 策墨罗提出了 第一个公理集合论系统 策墨罗认为，避免悖论的最好办法是，通过用公理系统来定义集合，使集合概念恢复作为数 学对象的特征。首先，策墨罗提出，任何数学对象之间只有一个“本原”关系 u∈x，其它的关系 由本原关系导出。然后，他提出康托的“朴素”集合语言中的运算，并以公理的形式陈述它们用 到的性质。这些公理的第一条是所谓的外延公理，它给出了两个集合相等的条件。然后有一系 列公理，断言空集φ的存在性、偶的集合的存在性、集合的子集的集合的存在性。在这些公理 之上，他又添加了“选择公理”和断言无穷集合存在性的“无穷公理”。 培里（G. G. Perry）型悖论 （培里告诉罗素这种类型的悖论） 罗素提出了集合的层次理论 集合概念怎样引入才能消除悖论呢？罗素提出了集合的层次理论。他认为集合也好，概念也 好，都应当分层次地引入： · 最基本的一层是第 0 层，此层的东西都是个体，不是集合； · 以第 0 层的个体为元素的集合是第 1 层集合； · 第 2 层集合的元素，只能是第 0 层和第 1 层的成员； · 第 3 层集合的元素，只能是第 0 层、第 1 层、第 2 层的成员； 相应地，罗素把谓词、命题也都分了层次和类型。用这种分层的办法，罗素不仅去掉 了悖论的困扰，而且还把算术归结到集合论。他与怀特海合作写了一部巨著《数学原理》 ，把自 己的思想观点详细地表述在这部著作里。 但是，罗素的理论太复杂，太庞大了。数学家们不倾向于接受罗素的宏大设计， 而希望数学能建立在简明可靠的牢固基础之上，用尽可能简单的方式解决悖论危机。 对策墨罗的继承、批判和发展 ?策墨罗不承认由具有给定性质 P 的对象构成的集合的存在性， 除非这些对象已是早先已定义的 一个集合的元素。但是，在策墨罗所做研究的一般性水平上，怎样理解“性质”这个词？策墨罗 限于说“不管一个性质是否有用，它必须由公理和普遍适用的逻辑规则以非任意的方式确定”。 显然，他心中的性质是以直到那时数学家所考虑的性质为典型。培里悖论表明他对“性质”的界 定不够精密。 ?对性质怎样表述适应数学家用法的限制，从而 避免像培里悖论中的那种寄生式“性质”的陈述？弗伦克尔和斯科朗于 1922 年提出的解决办法 在于在数学的性质或关系的陈述中消除日常语言，代之以形式语言（一种人造符号语言） ，它由 固定一组初始符号按特定方式合成符号“词语”（原子公式） ，并将“词语”按一套可以避免产生日 常语义歧义的硬性文法排列成用于表达性质或关系的陈述（合式公式） 。 ?从康托 （1845 —1918） 和弗雷格 （1848 —1925） 到策墨罗 （1871---1953） 和罗素 （1872---1970） ， 再到弗伦科尔（1891---1965）和斯科朗（1887---1963） ，经过三代 ?人的探索和研究， 终于形成了一套用形式语言和公理条款规划的集合理论 —— ZF-系统。 集合 论的这一公理系统首先由策墨罗于 1905 年提出，后经弗伦克尔于 1920 年修改完善而成，因此 称作 ZF-系统。这一系统是否可以抗击悖论侵袭呢？迄今还没有人在此系统的框架内表述可以 引出“悖论”的性质。 ?当今，绝大多数数学家使用 ZF-系统，但通常不明确声明。就数学家所关注内容而言，所有数 学分支都可规约到集合论，因而最终都可规约到 ZF-系统或 ZFC-系统。 理发师悖论 某村庄有一位理发师，他把村里的人分为两类：一类是自己不给自己理发的人；另一 类是自己给自己理发的人。基于此，他挂出了一张招牌，上写： “本人只给村中自己不给自己理发的人理发，请自己不给自己理发的人惠顾。” 有人问：“那么您的头发由谁理？” 理发师瞠目结舌，无言以对。 这是罗素于 1919 年提出来的悖论，所以也叫“罗素悖论”。 上帝是全能的吗？ ?甲说：“上帝是全能的。” ?乙说：“全能就是什么事都能办到，对吗？那么请问，上帝能造出一个连自己也举不起来的大 石头吗？” ?甲无法回答了。如果说不能，则上帝就不是全能的。如果说能，则上帝造出的石头上帝自己也 举不起来，说明上帝仍然不是全能的。 ?这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也就能否定一切。但他自己也在这一切之中，所以当他 肯定一切的时候，同时也就否定了自己能肯定一切。 唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问 题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 旅游者被送到国王那里。 国王苦苦想了好久： 他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死？ 如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答 错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ 、 数学精神与方法 第三讲 有限无限纵横谈（二） §2.4 ZFC 系统的逻辑套路 今日数学的基础是建立在集合论之上的，而集合论中出现的悖论使数学家们认为 有必要做出关于集合的基本假设（即提出一组适当的集合论公理） ，以便彻底避免各式各样的、 已发觉的和潜在的悖论或不相容现象的出现，以使数学的各种系统和方法能够建立在一个统一 的牢固的逻辑基础之上。为此，数学家和逻辑学家提出并发展了多种集合论的形式化系统，其 中最有名的要数 ZFC 系统和 GBN 系统。 在此，我们将向大家简介 ZFC 系统，它是由上节说到的 ZF 系统发展完善而成的。 逻辑套路图 ZFC 系统有两方面内容：一是形式语言和逻辑演算，二是非逻辑公理。本节介绍第一方面 的内容。 关于 ZFC 系统 ZFC 系统是一种受到数学界偏爱的形式系统。“形式”这个词常常用于这样的场合，该处用到了 一些符号，而这些符号的作用和属性又完全由一组给定的规则所确定。在一个形式系统中，符 号没有任何意义；在处理它们时，我们必须注意不要在系统规定之外对它们的属性作任何假设。 不过，形式符号可以加以解释，解释可以有多种版本，但这些解释并不是系统的一部分。 ZFC 系统像其他形式系统一样，有两方面内容，一是它的形式语言和逻辑演算（包括逻辑公理 和演绎规则） ，二是非逻辑公理（用于“规划”集合概念的特殊公理，又称集合论公理） 。这两方 面内容，前者体现出“逻辑数学化”倾向，而后者则体现出“数学逻辑化”倾向，如今两者已融合 成一个有机的开放的整体。 ZF 系统的形式语言 一 ZF 符号库 ZF 系统的形式语言 二 ZF 公式库 关于形式语言的注释 关于形式语言的注释 ZF 系统的逻辑演算 一 ZF 的逻辑公理模式（附带等词公理模式） 关于 ZF 的逻辑公理模式的注释 ZF 系统的逻辑演算 二 ZF 的逻辑演绎规则 关于 ZF 的逻辑逻辑演绎规则的注释 ZF 系统的逻辑证明 现在 ZF 形式系统的纯逻辑要素——符号库、公式库、公理模式、演绎规则——都已建立起来， 那么怎样运用这些逻辑要素去进行逻辑演绎（即证明推理）呢？ 形式证明的实例 形式证明的实例 形式证明的实例 简单评注 ZFC 系统有两方面内容：一是它的形式语言和逻辑演算，二是它的非逻辑公理。以上所讲是第 一方面内容的简介，目的在于帮助同学们了解数学系统的逻辑结构——这方面内容体现出 ZFC 系统的“逻辑套路”。尽管形式语言与逻辑演算的表述方式完全可以说是“数学化”的，但是就其 本质而言，这方面的内容是没有多少数学价值的。ZFC 系统的数学价值将由其第二方面的内容 ——非逻辑公理——体现出来。那么这组非逻辑公理又说了些什么呢？且听下回分解。 §2.5 ZFC 系统的数学价值 ?逻辑主义有一个重大的不可否认的成就：它成功地根据合理的简单标准（完备性例外） ，把全 部经典数学都归约为单一的形式系统。这一成就被形式主义者——绝大多数数学家——大加赞 赏，尽管他们并不像逻辑主义者那样认为“数学已被全部归约为逻辑”。 ?数学家们认为：数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直 观的——而非逻辑的——产物。 ?对于 ZFC 系统，可以说现代数学建立在以其为基础的结构之上，它是否可以全部归约为逻辑 呢？数学界和哲学界一般认为，答案是否定的，原因就在于它有一组公理（共九条）是非逻辑 性的，我们称之为 ZFC 的非逻辑公理组。这组公理体现着数学家来自心灵的共同信条，这正是 ZFC 系统的数学价值之所在。 ZFC-系统的非逻辑公理 （ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。 （外延公理） （ZF2）没有元素的集合存在。 （空集公理） （ZF3）给出任何集合 x 和 y，总存在着集合 z，它的元素是 x 和 y。 （配对公理） （ZF4）给出任何集合 x，总存在着集合 y，它以 x 的元素的元素为元素。 （并集公理） （ZF5）给出任何集合 x，总存在着集合 y，它以 x 的一切子集为元素。 （幂集公理） （ZF6）若对于任意的 x，恰好存在唯一的 y，使得公式 A(x,y)成立，那么对于任意的集合 z，存在集合 u，使得 u = { v | 存在 w∈z ，使得 A(w,v)成立 }。 （替换公理模式） ZFC-系统的非逻辑公理（续） （ZF7）存在一个集合 x，它含有无穷多个元素。 （无穷公理） （ZF8）每个非空集合 x 含有一个元素 y，y 作为集合与 x 无公共元素。 （基础公理） （AC） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合 x，总存在一个集合 y，它与 x 的每个成 员恰有一个公共元素。 （选择公理） 关于 ZF-系统的非逻辑公理的评注 ?公理（ZF1）－（ZF8）和（AC）的建立归功于策墨罗和弗伦克尔，但所谓 ZF-系统却是指非 逻辑公理只取（ZF1）－（ZF8）的形式集合论系统。 ?公理（ZF2）断言了空集的存在。可以证明空集是唯一的，记之为 ?。 ?公理（ZF3）断言：对任何集合 x 和 y，存在一个集合{ x , y }。 注意{ x , y }是由 x 和 y 所 唯一确定的，但 x 和 y 间没有次序问题，这就是说， { x , y } = { y , x }。 有了此等无序对的概念，我们可以定义单元集和序偶的概念如下： { x } = { x , x }， （ x , y ）= { x , { x , y } }。 需指出：表述（ZF6）需要利用序偶的概念。 在（ZF6）中，命 A(x,y) 代表 A(x)∧(x=y)， 则可推出策墨罗的有限抽象原则： 对任一给定的谓词公式 A(x)和任何集合 z， 存在集合 u 使得 u = {v∈z| A(v)}。 ?（ZF2）和（ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空 集 ? 和自然数集 N 存在。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的数学公理。因此， 将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标——数 学化为逻辑，成为逻辑的一部分——不可能实现。 如果在 ZF 系统中不引入无穷公理（ZF7） ，那么我们得到的是一个有限数学的框架，也就是说， 我们处理的数学对象只能限于有限集合。在这样的框架里，我们无法断定“全体自然数”是否构 成一个集合。 “自然数的全体”是否为一个集合？这问题其实是“自然数的全体”作为一个数学对 象我们该怎样看待的问题。在这个问题上，数学界的看法是统一的： “自然数的全体” 构成一 个集合。这是现代数学基础的任何令人可接受的模式都必须俯就的基本要求——本质上讲，这 意味着数学学科不能不认可“数学归纳原理”。 “数学归纳原理”是一条数学原理，它不能归约为 逻辑。无穷公理的价值正是在集合论的公理系统中给出“数学归纳原理”的位置。 】 注意，公理（ZF8）所断言的是：任一非空集合 x 必有∈-极小元，即，存在 y∈x，对任意的 u ∈y，u 不∈x。 利用（ZF8）我们立即可证如下命题： “ 对任意的集合 x，x 不∈x。” 事实上， 对任意的集合 x，集合{x}非空；于是，{x}有∈-极小元， 此∈-极小元只能是 x， 故 x 不∈x。 让我们引入“集宇宙”这个术语：集宇宙由全体集合构成，记作Ω。这样一来，上述命题 可富有启发性地表述为 Ω={x|x 不∈x}。 进一步，立即可证下述命题成立： ?° 集宇宙Ω不是集合。?± ?公理（ZF1）－（ZF8）在描述集合的基本真理性方面已经经受住了时间的考验。 ZF-系统引出的基本数学概念 关于选择公理 选择公理的各种等值形式人们研究的很多，不同的形式适应于不同的应用，这 足以表明它是一条基本的数学原则。由哥德尔定理我们知道，选择公理与 ZF-系统是相容的； 那么，一个自然的问题是：它是不是 ZF-系统的一条定理呢？这个问题历经半个多世纪的研究， 终于在 1963 年由美国的一位年青的数学家科恩所解决。科恩证明： （AC）不能作为 ZF-系统的 定理而推演出来。将科恩和哥德尔的结果合在一起的结论是（AC）和它的否定都不是 ZF-系统 的定理，它们之中任意一个都可以相容地补加到 ZF-系统中作为新公理使用。从这样的结论看， （AC）的可接受或不可接受必然是一个直觉问题，它乃是也只能是数学家们的基本信条之一。 选择公理被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。 哥德尔（Kurt G?del,1906-1978） 。奥地利─美国数学家、逻辑学家。美国《时代》杂志评选 出对２０世纪人类思想产生重大影响的１００人中，哥德尔列为第４。 数学精神与方法 第四讲 有限无限纵横谈（三） §2.6 自然数系 有限集与无限集 人类在进化的蒙昧时期， 就已经有一种才能， 这种才能姑且称作“数觉”。 由于人有了这种才能， 当在一个小的集合里边增减一样东西的时候，尽管他未曾知道增减已经发生，他也能觉察到其 中的变化。这种原始数觉，许多权威动物学家认为，少数几种鸟类和蜂类也具有。注意，依靠 数觉，普通文明人可以分辨的数目很少能超过四。 应该承认，这种比鸟类高明不了多少的原始数觉，就是产生 “数”概念的核心——“0” 、“1”和 “2”三个数目的先验性区分构成为了人类理性思维的自然出发点。 数觉、计数技术、模范集合 但是，毫无疑问，如果单凭直接的数觉，人类在计算的技术上就不会比鸟类有什么进步。事实 上，经历了一连串的特殊的环境，人类在极为有限的数觉之外，学会了另一种技巧来给自己帮 忙，这种技巧注定了使人类未来的生活要受到难以估量的影响，这种技巧就是“计数”。“计数” 与“数觉”不同，它牵扯到一种颇为复杂的心理过程，是人类很晚以后才有的收获，也是人类独 有的特性。计数技术的灵魂就是序列的观念（想一想皮亚诺公理系统） ，它使具体的、不同质的 表达多寡的各种模式演变为统一的抽象的数概念，形成了数学学科建立和发展的前提。 数觉、计数技术、模范集合 然而，不用计数技术，也可以得出一种合乎逻辑的明晰的数概念，那就是通过建立集合间所谓 的相似关系来把全体集合分为一个个的相似类。当然，原始人类不会有弗雷格和罗素的相似类 概念，但他们会不自觉地在身边的环境中找一个模范集合作为相似类的代表。原始人类有了语 言及表达语言的符号（特别是能够被视觉分辨或听觉分辨的符号）后，他们就越来越依赖于语 言及其符号，结果他们以符号来代替所表的模范集合——这样，最初的各式各样的数字就产生 了。记忆和习惯又使这些数字在人类的思维中获得了概念化的具体性，于是人类就只用数字来 量度多寡，而将原来作为比较对象的模范集合渐渐忘却了。 相似与计数······对应与序列 数学的进一步发展实在应当归功于人类感悟到，数的相似类表示与计数表示的统一性。在实用 上，相似类的数字表示很有用，也较简单，但它不能直接创造出算术来。算术的运算是依据“我 们总是可以由一个数目数到它的后继数目”这一默认的假定而发展起来的， 而这个假定正是计数 技术的本质。 相似与计数，体现了两大数学原理——对应和序列。这两条原理已经深深渗透到全部数学—— 不只是数学，实际是精密思想的全部领域——之中。 数的弗雷格-罗素定义 要在集合论的框架下展开全部数学，首先就必须在集合论中定义自然数。回顾数的弗雷格-罗 素定义： 一个数目就是某个集合的数，而一个集合的数是所有 与此集合相似的集合所成的类，称作相似类。 “相似”概念由双射概念来定义： 集合 x 与 y 是相似的，如果存在从 x 到 y 的双射。 与集合 x 相似的全体集合所组成的类称作 x 的相似类。 问题一：每个“相似类”是集合吗？ 在 ZF-系统的框架下，数学对象都作为集合处理；这样，数学的基础就可以避免悖论的产生。 因此，像集宇宙这样的对象就不宜作为数学对象看待。依此观点，我们会形成这样的认识：如 果每个“相似类”不是 ZF-集合，那么它也就不应该称作是一个“数”。 注意！ “数”是一个数学术语，一个“数”，或说一个“数目”，理应是一个普通的数学对象，因 而在 ZF-系统的框架下理应是一个集合。 问题二：在 ZF-系统中怎样定义自然数？ 在 ZF-系统中，定义自然数应当满足四条要求： 每个自然数都应当用一个集合去定义，它应当在相似关系下是其所在相似类的代表， 并且全体 自然数应当组成一个集合。 全体自然数的集合应当适合皮亚诺的五条公理，并因此特称作自然数系。 在自然数之间应能定义加法和乘法运算，应能定义序关系。 在一定的意义上说，自然数系是唯一的。 答问题一：非空集合的相似类不是集合 证明：不是 ZF-集合 答问题二：自然数系就是最小归纳集 归纳集是存在的——数学信条之一 最小归纳集ω????第一无限集合 自然数和自然数系的定义 自然数系ω与皮亚诺的自然数公理 皮亚诺所定义的自然数系 N 是抽象的，其抽象性表现在：它有三个原始概念 数、 零、 后继 是未加定义的，它们由皮亚诺的五条公理来界定相互之间的关系，并由此得以表现自 己，仅此而已。 因此，这三个原始概念有无对应的实体存在无法由这一理论自身回答。事实上，从 ZF-系统这一形式集合论的角度看，皮亚诺的自然数公理化方案可以纳入到 ZF-系统的框架内作 为自然数系的一个抽象定义处理。这就是说，可作如下定义： 自然数系的抽象定义 递归原理——自然数系的基本定理之一 数学归纳原理——自然数系的基本定理之二 数学归纳原理，包含着一串无限多个三段论，每一个自身都是一致的。其有限 个三段论所断言的都是逻辑的必然，但无限多个三段论所断定的却只能是数学的必然。当一个 动作一旦可能，我们的心灵就能设想这个动作的无限次重复。这不是逻辑和经验强加给我们的， 这是心灵的力量才能带给我们的。 自然数系的统一性——自然数系的基本定理之三 零，神奇无比！ 单纯地看，零就是零，但仔细研究后，你会发现通过它你将可以了解这个世界。因为，数学表 述着事物复杂的本质，而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到复杂的运 算，从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值，这些有力的数学工 具都让我们使用这样的思考方法：一个事件的发生与其他的事件相关，并且所有这些都离不开 零这个中心。 π ei +1=0 数学中最重要的常数都集中在这里了，而它们叄? 数学的思想灵魂存乎于有限与无限之间 有限集、无限集、可列集 定义 4 设 S 是一个集合，我们规定 （1）如果存在 n∈N 使得 S 与｛0，1，…，n｝相似，或 S 与 ? 相似，则称 S 是有限集； 否则，称 S 是无限集。 （2）如果 S 与 N 相似，则称它是可列集。 （3）如果 S 是有限集或可列集，则称 S 是可数集或至多可列集。 定理 5 设 S 是一个集合，那么 （1）S 是有限集当且仅当 S 与它的任何真子集不相似； （2）N 是可列集； （3）S 是无限集当且仅当 S 的某个子集与 N 相似。 基数的比较 基数比较的三条重要定理 数学精神与方法 第五讲 运算与迭代的威力（一） §3.1 经典数学的统一 ——“数形合一” 我们已在 ZFC 形式集合论的框架下定义了抽象的自然数系 N，并知道最小归纳集 ω就是一个具体的自然数系，而所有的自然数系在结构上是统一的。本讲我们将阐明：正是自 然数系的结构，最终为分析数学，乃至整个经典数学，奠定了稳固而可靠的基础，在数学史上， 第一次实现了真正意义上的?°数形合一?±。 自然数的运算 定义 1 的合理性 自然数的运算性质 自然数的大小顺序 考虑由加法运算引出的最简方程式 就会发现，方程（Eq.1）并非总是有解的。围绕方程（Eq.1）的求解，产生了自然数 的序的概念。 自然序的性质 有了上面的定理 1、定理 2 和定理 3，我们所熟悉的自然数系统就从逻辑上严 格地确立起来了。值得注意的是，上面三条定理的建立是基于自然数系的抽象结构的，即基于 皮亚诺的五条公理，与自然数系的具体实现无关。 从自然数系到整数系 自然数系的数学结构尚不能保证方程（Eq.1）总是有解，这在实际应用中极不 方便。人的实践活动要求把自然数系扩充成一个使方程（Eq.1）总有解的新数系。怎样实现这 样的扩充呢？ 整数系的定义 整数系上的运算的性质 整数系上的序 阿基米德 (公元前 287-前 212)，古希腊伟大的数学家、力学家。 有理数系的构造 有理数系的定义 有理数的运算性质 有理数的分数表示 有理数系上的序 第一次数学危机 ?有了自然数系及其上的加法和乘法运算，自然就有了方程（Eq.1）和（Eq.2） 。它们的形式是如 此简单，以致使人们觉得它们必须有解，且解唯一。然而，自然数系的结构不足以满足人们的 这种愿望，这才有了扩充自然数系的强烈愿望和动机。事实上，人类从自然数向有理数的跨越 早在青铜器文化崛起的时代就初见端倪（公元前 2500 年左右） ，到了毕达哥拉斯学派宣称“万物 皆是数”的时代，这种跨越才趋于完成（公元前 500 年左右） 。 ?毕达哥拉斯相信世界上的任何量都可以表示成两个整数之比，即某个有理数。在几何上，这相 当于说：对于任何两条线段，总能找到第三条线段，以它为单位能将两条给定的线段分为整数 段。古希腊人称这样的两条线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位的一对量。 ?然而，毕达哥拉斯学派后来发现：并不是任意两条线段都是可共度的，例如，正方形的对角线 与其一边就构成了不可公度的一对线段。这在当时人们的心理上引起了极大的震撼，引发了数 学史上所谓的“第一次数学危机” 。 ?“ 第一次数学危机” 其实是数学学科的一次巨大进步，它表明数学已经发展到这样的阶段：1） 发现了无理量；2）把证明引入了数学；3）数学已由经验科学变成为演绎科学。 数学精神与方法 第六讲 运算与迭代的威力（二） §3.2 经典数学的统一 ——“数形合一”（续） 上一节我们已看到怎样从 ZFC 系统制定出自然数系，整数系，直至有理数系。 本节将带领大家看一看： ?怎样由有理数系制定出实数系？ ?怎样理解实数系与直线的统一？ ?怎样理解数与形的统一？无理量的存在性 思考题：证明上述命题。 “ 完备化” 观念 无理数的存在说明有理数系并不像毕达哥拉斯想象的那么“完备”， 有理数系还 有必要作进一步的扩充。可是，“完备”究竟意味什么意思呢？简单地说，这里的“完备”是数学 家渴望达到的一种境界——“数与形统一” 。让我们自然地设想一下： 在一条连绵不断的直线上，选定一个原点和一个序向，并选定单位长度，那么可 以将有理数 0 对应于直线上的原点， 将数目 1 对应于直线上沿序向离原点有一个单位长度的点， 将数目 2 对应于沿序向离原点有二个单位长度的点，等等——凡是有理数都唯一地对应于直线 上 一点，这一点离开原点的距离与单位长度是可公度的，并且不同的有理数对应于直线上不同 的点——这样就实现了从有理数系 Q 到直线上某个稠密子集间的一个保序双射。可是，这条连 绵不断的直线上终归本性地存在着不能被任何有理数对应的点， 这一现象正是有理数系 Q“不完 备” 的表象。 透过 Q 的这种“不完备” 表象， 可以体会“完备” 的意味——“完备”是“数与直线 （形） 统一”的想法。】 、 分析数学的基本问题 怎样将有理数系扩充成一个完备的有序数系， 从而达成“数与直线的统一”呢？ 这事实上是事关“分析数学”基础的一个大问题。 牛顿和莱布尼兹在 17 世纪发明的微积分理论， 被誉为“人类精神的最高胜利”， 开启了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。然而，牛顿和莱布尼兹的 微积分是不严格的，特别在使用无穷小概念上是随意和混乱的。这种状况长期困扰着数学家们， 长达 200 年之久。 数学家们经过几代人的不懈努力才搞清楚，彻底消除微积分理论的漏洞，靠的 是有理数系的“完备化”思想， 即将有理数系扩充成一个完备的有序数系——实数系——的理论。 牛顿与莱布尼茨 ?牛顿和莱布尼茨都是他们所处时代的科学巨人，他们在相互独立的情况下各自创立了微积分。 就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。 ?微积分发明权的争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。由此产生的严重影响是，整个 18 世 纪英国与欧陆国家在数学发展上分道扬镳。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进 了科学的进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离了分析的主流。分析的进 步，在 18 世纪，主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。 英雄世纪 ?微积分诞生之后，数学迎来一次空前繁荣的时期。18 世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时 期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了广泛的科学领域。 ?18 世纪的数学家知道他们的微积分概念是不清楚的， 证明也不充分， 但他们却自信他们的结果 是正确的。 ?在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固；这使得在微积分的研 究和应用中出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微 积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。 ?因此在 18 世纪结束时，微积分和建立在其上的其他分析分支，在逻辑上，处于一种混乱的状 态之中。 ?历史要求给微积分以严格的基础。 】 ?微积分的严格基础 ?微积分理论和应用经过整个 18 世纪的空前展开和长期发展，在说明这一理论极其有效的同时， 也使得它的逻辑基础备受数学家们的关注， 数学界再也不能无视微积分建立在一个“随意的和混 乱的”无穷小概念之上。进入 19 世纪，分析基础严格化的时代到来了。 ?法国数学家柯西首先向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他的许多定义和论述已经相当接 近微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但 他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久就发现他的理论也存在漏洞。例如，他用了许多“无 限趋近” 、“想要多小就多小”等直观描述的语言。 ?事实上，要真正为微积分奠定牢固的基础是必须充分理解实数系的完备性才能办得到的。 可是，直到 19 世纪中叶，对于什么是实数竟没有严格的定义，数学家对实数系的理解仅停留在 数轴这种直观的感觉上，他们相当随便地使用无理数而没有考察它们的确切意义和性质。 ? 柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789---1857） ，法国数学家。他对数学的最大贡献 是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法，使微积分摆脱了对于几何与运动的直观理 解和物理解释，从而形成微积分的现代体系。 “分析算术化”纲领 ?对于实数缺乏认识，不仅造成逻辑上的间断，而且导致错误结果时常出现，同时使人无法明辨 错误出在哪里。19 世纪后半叶，数学家们开展了一场数学史上著名的“分析算术化”运动，其目 的就是要把分析建立在“纯粹算术”的基础上。这场运动的主帅是德国数学家魏尔斯特拉斯，他 关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。 ?魏氏的严格化突出表现在，他创造了一套ε-δ语言，用于重建分析体系。他用这套严格语言去 代替前人的?°无限地趋近?±等说法而重新定义了极限、连续、导数等分析学的基本概念，特 别是引进了以往被忽视的“一致收敛性”概念， 从而消除了微积分中不断出现的各种混乱和异议。 可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏氏的工作。 ?魏尔斯特拉斯认为，实数赋予我们极限、连续等基本概念，因而成为整个分析的逻辑本源。要 使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此，最可靠的办法是，按照严密的逻辑将实 数归结为整数（有理数） 。这样，分析的所有概念便可以由整数导出，以往的漏洞和缺陷就能得 以弥补。这就是魏氏的“分析算术化”纲领。 外尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815---1897） ，德国数学家。他的主要贡 献在函数论和分析方面。他发现了函数项级数的一致收敛性，借助级数构造了复变函数论，开 始了分析的算术化过程。他给出的处处连续处处不可微的函数震动了数学界。在代数方面，他 第一个给出了行列式的严格定义。他被誉为“现代分析之父”。 实数的“戴德金分割”理论 鉴于各种实数理论本质上是一回事，我们只简介戴德金的实数定义方案。 如上所见，戴德金定义实数的方法以有理数系 的分割为基础。 数与构造数的方法达成了统一！ 实数系的完备性 实数系的完备性究竟是什么意思呢？这需从实数的大小关系说起。 戴德金完备性定理 现在建立起来的全序集（R, ≦）本质上已具有将有理数系 Q 扩充成一个完备的 有序数系的功能。这里需说明（R, ≦）具有完备性是什么意思，然后再将 Q 上的加法和乘法运 。这样， （R, ≦，+，-）就构成 算扩充到 R 上（扩充到 R 上的加法和乘法运算是唯一确定的） 了我们理想中的完备有序数系——即我们精神世界中的理想直线。 （R, ≦）的完备性是什么意思呢？ 戴德金（Dedekind, J. W. Richard ，1831-1916） ，德国数学家，他因提出了把每个实数 都定义成是有理数集的一个“戴德金分割”的理论，而成为现代实数理论的奠基人 。 “自然数是万物之母”的复生 “直线”只是一个不能加以定义的几何对象——尽管它在我们心中的影像是那么地 确定无疑——与其让它这般地亦真亦幻，不如将它就“等同”于实数系（R，≦，+，-）好了。这 种“等同”实现了“数与直线的统一”。 ?现在想来， ?进一步，利用笛卡尔的坐标几何的思想就可以实现“数与形的统一”。有理数的连分数表示法 注：注意有理数的连分数表示法中有有限个整数 被使用；若使用无 限个，那么就可以表示无理数了。 无理数的连分数表示 自然数 + 四则运算 = ？ 数学精神与方法 第七讲 运算与迭代的威力（三） §3.3 迭代产生的混沌与分形 回顾自然数的基本原理之一——递归原理： 无限次迭代会发生什么现象？ 加法和乘法连同其逆运算（减法和除法）的威力在上一讲我们已有所感受。 想一想，“数形合一”的实现，竟然是对自然数无限次地运用简单四则运算的结果。那么，我们 在惊叹“万物皆数”此言不虚的同时，能不感受运算——尤其是无限次运算——的震撼吗？！感 谢上苍让我们，按逻辑给予的启示，凭借自身心灵的力量就学会了无限次运算。 在此，我们提醒大家，不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用，不要无 视“无限” 的观念所蕴含的超越性力量。 迭代与动力系统 ?自然界中的许多现象，是由严格的因果关系所支配的。例如，月亮的阴晴圆缺、四季的交替更 迭、日食和月食的发生等等。这一类完全由因果关系支配的系统，叫做决定性系统。研究决定 性系统的数学分支，称作动力系统理论。 ?决定性系统的基本特征是：在这个系统中，今日的种种现象，是昨日种种现象的必然结果；而 明日种种现象，又以今日的种种现象为其原因。这就是说，从系统的初始状态出发，依据系统 的因果规律，将确定系统的未来的一切。 ?从数学的角度看，一个映射φ:S→S 可以代表某种因果规律，其定义域 S 用于表示系统的各 种可能状态构成的集合。设 x0∈S 表示一个初始状态，那么由状态 x0 到下一个状态φ(x0) 就 是因果规律φ 在起作用；设想这种规律相继地不断作用下去，我们就会得到一个状态的序列 ——一个迭代序列： x0， x1=φ(x0) ， x2 =φ(x1) ， x3 =φ(x2) ，……。 动力系统理论的基本目的就是了解一个迭代过程之最终的或渐进的性态。 基本概念 混沌的数学描述 注：在动力系统理论中，对混沌有许多可行的定义，我们选择的定义适用面较宽且较 易检验。 简单迭代的无限次使用竟然能使二维正方形由一条曲线填满 分形几何 ?分形的概念是 1975 年由英国数学家 B.B.Mandelbrot 引入的；此概念是指欧氏空间中那种“支离 破碎”的集合。 ?分形的研究开拓了人们对于维度、尺度、结构的新看法 ；由此产生了分形几何这样一个数学 分支。 ?三十年间，混沌理论、分形几何与复杂性科学汇合，把触角伸入物理、化 学、生理学、经济 学、社会学、气象学，乃至于天文学所谈及的星体分布等领域，试图解释过去科学家们所忽略 的非线性现象，进而解释大自然和人类社会的复杂系统及其结构 。 非整数的 Hausdorff 维数—— 分形的重要特征之一 ?维数是几何对象的一个重要特征量。对于欧氏空间及其线性流形，它们的维数我们很清楚；对 于欧氏空间中的每个局部可以与一定维数的线性流形同胚的子集，其维数也是清楚的。它们的 维数统统都是整数。例如，点是 0 维的，线段和圆周是 1 维的，正方形和球面是 2 维的，等等。 ?可是，康托集 C、科赫曲线 K 和皮亚诺曲线 P（具有精细的自相似结构）是多少维呢？只有推 广了维数的概念，方能解决这些问题。 Hausdorff 维数 分形的奇妙性质 ?分形可具有分数维度：不同于整数维度的一维线段，二维矩形，分形所具有的维度可以是非整 数的，称作分数维。 ?分形具有自相似性：对于同一个分形结构，自相似就是尺度一层一层缩小的结构重复性，它们 不仅在越来越小的尺度里重复细节，而且是以某种固定的方式将细节缩小尺寸，造成某种循环 重现的复杂景象。 ?分形具有尺度无关性：对于同一个分形结构，以不同大小的量尺来量度「可观察的区域」 ，分 形会具有一致的分数维度和自相似方式。 例如， 如果我们不同程度地放大或缩小科赫雪花 曲线， 我们会发现图形的复杂度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改变。 数学精神与方法 第八讲 拓扑眼光看世界（一） 从感觉开始 人用啼哭声向世界宣布了自己的降生。光的闪烁和亲人的拍打使他进入了一个感觉世界。 人们根据自己的经验去认识客观世界，即现实存在的世界。 这些经验构成了科学的原始材料，并在人的头脑中以某种方式被加工整理，产生出 秩序、结构和系统；这就形成了科学的内容和体系。 这些科学内容健全了我们思维的基础，依靠它们我们天天去考察和评价各种事物和 各种自然现象。 冷眼观察科学体系的大厦， 我们就会发现其基础由一些确定的假设或公理构成。 在这些假设中， 从哲学的视角看，最根本的是一种信念，即，相信世界不依赖于我们，也不取决于我们的认识 而客观地存在着，并且这客观世界存在着一定的秩序和结构。我们大家也都同意这样一种信念， 即，相信我们能够感觉客观世界及其秩序和结构的存在。 那么，现在就让我们用拓扑的眼光来感觉感觉这世界的景象吧！ 拓 扑 眼 光 以拓扑的眼光来观察，世界会是什么样子？ 世界 = 空间 + 时间 + 运动 拓扑的眼光（拓扑眼）是怎样观看空间、时间和运动的呢？ 拓扑眼怎样观看空间 虽然以上的（一维) 几何图形形状各异，但拓扑眼将它们视为同一的空间而不予区分！ 面窝的拓扑变换 拓扑眼感兴趣的几何性质是那些最为持久不变的的东西， 即那些能在扭曲和拉伸后仍能保持的 性质；扭曲与拉伸只在没有断开原来连通的地方，也不连接原来本不连通的地方时才被允许。 拓扑眼蕴藏的基本概念 拓扑空间是一个高度抽象的概念；在此，空间的延展性（连续性）已不能借助于度量的手段来 描述，而靠拓扑来描述。 无形胜有形， 无招胜有招 ——一种境界！ 拓扑眼看到的空间 在拓扑眼看来，拓扑等价的空间没有区别，可视为同一个空间；拓扑 眼观察到的空间是没有定形的，它观察一个空间时，只关注与这个空间拓扑等价的全体空间所 共有的性质，这种性质称作拓扑性质，或拓扑不变量，例如， ? 稠密性、可分性、紧致性、连通性， ? Hausdorff 分离性、正则性、正规性， ? 有边与无边，可定向与不可定向， ? 维数、Euler 示性数， ? 同调群、同伦群，等等； 拓扑眼区分出两个空间的不同是靠观察到它们具有不同的拓扑性质而实现的。 拓扑空间的例子 德国数学家 M?bius 和 Klein 拓扑眼怎样观看时间 为表达我们的时间概念，先引入必要的代数结构。 时间，不论长短，只论时刻。 拓扑眼看到的时间 在拓扑眼看来，时间，不论长短，只论时刻，可用拓扑交换群（或拓扑 交换幺半群）的概念来描述——所有观察时刻在结构上形成一个拓扑交换群（或拓扑交换幺半 群） ，其中观察的初始时刻用群的零元来代表。 注意：时间有三条基本属性，连续性、交换可加性和单一方向性。连续性和交换可加性可以用 拓扑交换群的拓扑结构和群结构自然地加以表现； 而时间的单一方向性， 则可以用拓扑性质—— 维度限定在“0 维”或“1 维”——来加以体现。 拓扑交换群与拓扑交换幺半群的例子 庞加莱论空间和时间 空间为什么是相对的？它在多大程度上是相对的？很清楚， 如果我们周围的所有物体和我们身 体本身以及我们的测量仪器在它们彼此之间的距离丝毫不变的情况下被转移到空间的另一个区 域，那么我们便不会觉察到这一转移。……假使所有的物体也和我们的测量仪器以相同的比例 伸长，我们也不会觉察到伸长的发生。因此，我们不仅无法知道物体在空间中的绝对位置，甚 至连“物体的绝对位置”这种说法也毫无意义，我们同意仅仅说它相对于另一物体的位置；“物体 的绝对大小”和“两点之间的绝对距离”的说法也无意义；我们必须说的只是两个大小的比例、两 个距离的比例。 但是， 就此而言还有更多的东西： 让我们设想， 所有的物体都按某一比原先更复杂的规律形变， 不管任何规律，我们的测量仪器也按同一规律形变。这样，我们也将不能觉察出形变这一点； 空间比我们通常认为的还要相对的多。我们只能觉察到物体的跟测量仪器之形变按不同规律进 行且同时发生的形变。 空间具有独立于用来测量它的仪器的几何学特性吗？我们说过， 如果我们的仪器经受了同样的 形变，那么空间也能够在我们意识不到它的情况下经受无论什么样的形变。因此，空间实际上 是无定形的、松弛的形式，没有刚性，它能适应于每一个事物；它没有自己的特性。[把空间] 几何化就是研究我们的仪器的性质，即研究固体的性质。 但是，由于我们的仪器是不完善的，每当仪器被改进时，几何学必须修正。……如果仪器理想 的话，那么几何学就是研究仪器所具有的性质。但是，为了做到这一点，就必须知道，什么是 理想的仪器（而我们并不知道，因为不存在理想的仪器） ，只有借助于几何学，才能够确定理想 的仪器；这是一种循环论证。 于是，我们将说，几何学研究一组规律，这些规律与我们的仪器实际服从的规律几乎没有什么 不同，只是更为简单而已，这些规律并没有有效地支配任何自然界的物体，但却能够用心智把 它们构想出来。在这种意义上，几何学是一种约定，是一种在我们对于简单性的爱好和不要远 离我们的仪器告诉我们的知识这种愿望之间的粗略折衷方案。这种约定既定义了空间，也定义 了理想仪器。 我们就空间所说过的话也适用于时间。 ……时间本质上是相对的。如果所有的现象都慢下来， 我们的钟表也如此，那么我们便不会意识到它；无论支配这种放慢的规律是什么，情况都是如 此，只要它对于所有各种现象和所有钟表都相同。因此，时间的特性只不过是我们的钟表的性 质而已，正如空间的特性只不过是测量仪器的特性一样。 我们不仅没有关于两段时间相等的直觉， 甚至没有关于发生在两个不同地点的两个事件的同时 性的直觉。 一个事件发生在地球上，另一个事件发生在天狼星上；我们将怎样知道，谁在前发生，或者同 时发生，或者在后发生呢？这只能是作为约定的结果。 空间和时间不再是两个绝然不同的、能够被独立看待的实体，而是同一整体的两个部分，是两 个如此紧密结合的部分，以致于不能轻易地把它们分开。 大数学家庞加莱 虽然最初一些重要的拓扑结果和关系早已为欧拉、高斯和黎曼所发现，但是，拓扑学作为科学 的分支是在 19 世纪由庞加莱奠基的。 拓扑眼怎样观看运动 拓扑共轭 拓扑眼看运动 世界上的运动虽然是复杂的和多样的， 但可以被归结为一些基本的模式加以观察和研究。 在拓 扑眼看来，拓扑动力系统就是运动的基本模式之一。 拓扑眼观察运动时，把拓扑共轭的拓扑动力系统看作是同一种运动模式而不予区分。因此，拓 扑眼对运动的观察是定性的观察，是整体的观察。当它观察一个质点的运动情况时，它关心的 是该质点的最终的运动趋势和整体轨道的定性性态；当它观察一个质点组的运动情况时，即观 察一个子空间的运动情况时，它关心的是该质点组最终的运动趋势、各质点的轨道性态以及各 轨道间的关系。 了解一个拓扑动力系统的轨道空间， 可以给出对该系统所支配运动的一种总体看法， 可以看作 是对动力系统所呈现的力场的一个总体看法。 龟兔赛跑——拓扑动力系统一例 芝诺说： 兔的速度是龟的十倍—— 数学精神与方法 第九讲 拓扑眼光看世界（二） 关于物理学空时概念的评述 我们对于运动在空间和时间连续统中的物质有着来自直觉的观念， 但是其中每一个观念都是难 以捉摸的。 空间的广延性、 时间的流逝、 物质的惯性和运动， 其中没有一个概念是完全独立于其它概念的， 它们的定义互相依赖，而且在一定程度上是集体性的。 爱因斯坦的相对论表明了，空时是什么的问题，在某种程度上与观察者有关，而且空间和时间 都不是独立于物质而存在的。从概念观点上看，使情况更为复杂的是，量子物理告诉我们，观 察者要影响观察结果。因此，似乎先验地独立于观察者而存在的空间和时间事实上不仅与牛顿 的绝对性观念不相容，而且与人类的客观性理想也不相容。 物理学是一门充满着概念上的陷阱的学科， 其刻意追求的科学客观性事实上已成为一个难以达 到的目标。 拓扑眼中的一维世界 观察蚂蚁搬家，候鸟迁徙，两者运动的轨迹都给出了一维空间的图景。一维空间，通常我们认 为，就是欧几里得几何中的“直线”——令人疑惑， 这是物理世界中的“直线”吗？ “每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。” （摘自牛顿的《自然哲学之数学原理》 ） 看来，物理世界中的“直线”，就是物体没有受到外力作用时，它运动的轨迹。问题是： 有没有不受外力作用的物体？若有，它所做的匀速直线运动是相对于那个参照物的？ 何谓“直线”？从观念上讲，“直”的概念离不开“运算”（尤指线性运算） “运算”需先对参与运 ， 算的量进行“测量” ，而“测量”永远摆脱不了“误差”，更不必说“测量”会不可避免地对被测对象 产生影响 （所测的必然不是要测的） 因此， ， 我们原则上没办法知道物理上的直线是什么， 当然， 也就从来没有真正弄明白过一维空间是什么！ 我们能否撇开“测量”来考量物理世界中的一维空间呢？ 以拓扑的眼光来考察一维空间——或许， 这更接近于所要理解之对象的本质 ——不愧为是一种明智之举。在拓扑眼看来，一维空间可用一维的无边连通流形作为数学模型 来加以描述。一维的无边连通流形只有两类： 在拓扑眼看来：选 S1 比选 E1 好 1 E 可以嵌入 S1 中而成为后者的一个真子空间； S1 是紧致而连通的（有界无边） ，它是 E1 的一点紧致化； S1 没有与自身同胚的真子空间，而 E1 无此性质。 S1 中的运动 有趣的问题是：圆周上的哪种运动可以看作自然运动，即，不受外力作用的运动？自然运动的 观念有存在的必要吗？ 拓扑眼中的二维世界 在拓扑眼看来， 二维空间的合理模型可在紧致的二维无边连通流形中搜寻。 紧致的二维无边连 通流形称作闭曲面，其拓扑分类情况远比一维无边连通流形的分类情况复杂。事实上，闭曲面 用拓扑眼看，有无穷多类，其分类情况现介绍如下： 闭曲面分类定理 任何一个闭曲面必定同胚于且只能同胚于下列曲面之一： S2 （可定向） ； T2，2T2，3T2，…，mT2，… （可定向） ； RP2，2RP2， 3RP2，…，mRP2, … （不可定向） 。 球面与圆盘 Mobius 带及其表示 German mathematician August M?bius ?Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany) Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany ?M?bius was the first to attempt the classification of surfaces. In an 1870 paper he proved the above theorem for orientable surfaces smoothly imbedded in 3-dimensional Euclidean space. 环面 T2 与环柄 在环面上挖去一个圆盘（的内部）得到的就是所谓的环柄。 在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个环柄的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接， 这种手术称作在该曲面上添加一个环柄。例如，在球面上添加一个环柄，得到环面。 环面的形变（包志强制作） 实射影平面 RP2 的制作 在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个 M?bius 带的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周 焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个 M?bius 带。例如，在球面上添加一个 M?bius 带，得 到实射影平面 RP2。注意，实射影平面 RP2 是不能嵌入 3 维欧氏空间的。 Klein 瓶 2RP2 的制作（1） Klein 瓶事实上不能嵌入 3 维欧氏空间，这里画出的 Klein 瓶是有洞的 Klein 瓶。 Klein 瓶的制作（2） The Klein bottle is named after the German mathematician Felix Klein (1849-1925). Born: 25 April 1849 in Düsseldorf, Prussia (now Germany) Died: 22 June 1925 in G?ttingen, Germany Felix Klein is best known for his work in non-euclidean geometry, for his work on the connections between geometry and group theory, and for results in function theory. He was born on 25/4/1849 and delighted in pointing out that each of the day (52), month (22), and year (432) was the square of a prime. 闭曲面的制作 任何闭曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限个环柄，或者球面上添加 有限个 M?bius 带。 这些曲面中的任意两个是不同胚的。 问题：作为二维空间的数学模型，选哪种闭曲面为好？ 从拓扑眼的角度看，选球面 S2 为好。这是因为 2 S 是二维欧氏空间的一点紧致化； S2 不能与自己的任何真子空间同胚，特别地，不与 S1 同胚； S2 具有最好的各向同性性质，具体说就是: 若 c 是 S2 中的一条简单闭曲线，则 （1）S2c 有两个连通分支，而且这两个连通支都同胚于开圆盘； （2）c 在 S2 中的加宽一定是圆柱面。 2 S 中的运动 现考察 S2 中的运动，即 S2 的子空间上的动力系统。 n 维(n≥3)空间的理想模型 对于一维和二维空间， 我们从拓扑眼的角度观察， 分别选择 S1 和 S2 作为描述它们的数学模型。 在做这样的选择时，我们是做了充分考虑的，因为我们知道一维和二维无边连通流形的拓扑分 类，因此给出的选择能够通过系统地对比预选对象而做出。对于三维空间，我们自然倾向于选 择三维球面 S3 作为描述它的数学模型。可是，我们有充分的理由做出这样的选择吗？ 这里产生了一个自然的问题： 三维的无边紧致连通流形有哪些拓扑类型？针对此问题， 一个首 要的基本问题是： 庞加莱猜想 如果 M 是一个三维的无边紧致连通流形，并且是单连通的，那么 3 M 与 S 同胚。 这是法国数学大师庞加莱于 1904 年提出的猜想。许多数学家曾尝试去证明这一猜想；不止一次 好像已经成功了，可是并没有真正成功。 出乎许多数学家的意料，1961 年，美国数学家 S.Smale 证明了高维的庞加莱猜想。1982 年， 美国数学家 M.Freedman 又证明了四维的庞加莱猜想。他们的结果如下： Smale 定理 如果 M 是一个 n 维的无边紧致连通光滑流形，并与 Sn 有相同 的同伦型，那么当 n 大于 4 时，M 与 Sn 同胚。 Freedman 定理 Smale 定理在 n 等于 4 时也成立。 这些结果是微分拓扑理论中的著名成果， S.Smale 和 M.Freedman 因此而分别荣获 1966 年和 1986 年的菲尔兹奖。 被列为七大“数学世纪难题”之一， 美 Poincare 猜想是国际数学界长期关注的一个重大难题， 国 Clay 研究所悬赏百万美元征求证明。 100 多年来，无数的数学家关注并致力于证实 Poincare 猜想。S.Smale 曾因解决 4 维以上广 义庞加莱猜想获 1966 年菲尔兹奖，之后, M. H. Fredman 解决了 4 维广义庞加莱猜想获 1986 年 菲尔兹奖 , 但本来 3 维庞加莱猜想仍未解决。20 世纪 80 年代初，美国数学家 Thurston 教授因 为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家 Hamilton 在这个猜想的证明上取得了关键进展。2003 年，俄罗斯数学家 Grigory Perelman （格里高利·佩 雷尔曼） 更是提出了解决这一猜想的要领和框架，并取得重大突破。 佩雷尔曼是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员， 在过去 10 年中一直致力于微分几何与代 数拓扑的研究。2002 年 11 月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了由美国 数学家瑟斯顿（William P. Thurston）在 25 年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”，而“庞加 莱猜想”正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的“证明”随后又被推翻，因此数学 界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告，介绍了证明 的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。 2003 年 4 月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三 场演讲，结果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备——或者流利地应答，或者指出其 属枝节末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，“即使证明有误，他也发展了 一些工具和思想，足以导致对‘几何化猜想?的精致处理，其中有极为振奋人心的东西”，克莱 研究所所长卡尔森（Jim Carlson）如是说。 在 Hamilton 和 Perelman 等人重要工作基础上，中国数学家朱熹平和曹怀东给出了 Poincare 猜 想和 Thurston 几何化猜想的完整证明，全文 300 多页，2006 年六月份发表在《亚洲数学杂志》 上。 对于一项世界难题的证明往往要经过数学家们长时间的系统审查之后才能最终确立其在数学 界的地位。 Sn(n≥3) 的良好性质 Sn 是连通紧致无边的光滑流形； Sn 是 n 维欧氏空间的一点紧致化； Sn 没有能与其自身同胚的真子空间； Sn 具有良好的各向同性性质，例如，如果 M 是 Sn 的微分同胚于 Sn-1 的正则子流形，那么 （1）SnM 恰有两个连通分支，它们是同胚的，并以 M 为边界； （2）M 在 Sn 中的加宽同胚于 Sn-1×[0,1]。 拓扑眼看高维空间 根据现有的拓扑理论，选择 S3 作为描述三维空间的数学模型，只能基于以往的经验。即便如 此，由于 S3 具有的良好性质，我们对这样的选择是有信心的。 不仅如此，我们还愿意在自己的思想意识中，建构起能够容纳世间万物，并能容纳我们思维产 物的更高维空间；作为这种空间的理想模型，Sn 应成为我们的最佳选择。这不仅是因为 Sn 具有 上述良好性质，还因为我们有下述结果： Whitney 嵌入定理 m 维光滑流形总可以嵌入 n≥2m+1 维欧氏空间中， 从而总可 n 以嵌入 n≥2m+1 维球面 S 中。 S3 中的运动 拓扑化的世界观 拓扑学的思想不仅超出了经典数学的范畴， 而且带有哲学思辨的品味。 大数学家庞加莱不愧为 也是一位哲学家，他所开创的拓扑学理论从一开始就仿佛是针对哲学命题——世界是什么？世 界怎么样？——引入的。他对空间、时间和运动的看法，或许比爱因斯坦的相对论观点走的还 要远。他那种超越“量”与“测量”的见解分明就是一种新的世界观——拓扑化的世界观。 今天，拓扑学已作为重要的数学工具，同时也可以说作为一种世界观，被应用于广泛的研究领 域之中。 现在，让我们列出拓扑流形的定义结束本讲： 数学精神与方法 第十讲 数学的结构与统一性 数学与哲学 ?对比一下数学史与哲学史，会发现有一点明显的不同。 数学家在前人工作的基础上工作，他们总是用自己的新建筑使前人的工作显得更加完 满、更加巩固。数学家总是在承认别人工作的基础上添加自己的一页。 哲学家也在前人工作的基础上工作，但是他们总是要摧毁前人的建筑，用自己的工作 证明别人是错的。哲学家总是在批判别人观点的同时，写出自己的一页。 ?哲学在反复地破旧立新中成长。 数学在不断的建设中发展。哲学曾经把整个宇宙作为自 己的研究对象；那时，它包罗万象，而数学只不过是算术和几何而已。 17 世纪，自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学的中心问题从“世界是 什么样的”变成“人怎样认识世界”。 这个时候， 数学扩大了自己的领域， 它开始研究运动与变化。 今天， 数学在向一切学科渗透， 它的研究对象是一切模式， 形成一个一个的抽象结构—— 希望概括所有可能的关系与形式。可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析，把问题 缩小到“人能说出些什么”。 哲学应当是人类认识世界的先导，哲学关心的首先应当是科学的未知领域。 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲 学家谈论无限与连续在数学家说明无限与连续之前。 一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时，哲学沉默了。它倾听科学的发现， 准备提出新的问题。 哲学，在某种意义上是望远镜，它被用于观察前方。 ?数学则相反，它最容易进入已获得足够丰富事实的半成熟或成熟的科学，能够提出规律性或前 瞻性的假设，有力推动科学研究沿着正确方向深入开展下去。它好像是显微镜，对研究对象作 精细观测和分析。 哲学从一门学科退出，意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科，甚至控制一门学科，意味 着这门学科达到了成熟的阶段。 哲学的地盘缩小，数学的领域扩大，这是科学发展的结果，是人类智慧的胜利。 ?但是，宇宙的奥秘无穷。向前看，望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现，而在它 们出现之前，哲学有许多事情可做。面对着浩渺的宇宙和人类的种种困难问题，哲学已经放弃 的和数学已经占领的，都不过是沧海一粟。 ?哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但是它可以从事任何具体学科无法完成的 工作，它为一门具体学科的诞生准备条件。 数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作，但是离开具体学科之后无法做出贡 献。它必须利用具体学科为其创造条件。 ?哲学与数学——人类的望远镜与显微镜。 数学是统一的吗？ ?数学历经 2500 多年漫长岁月的累积性发展，使之演变成为今天这样的由无数枝繁叶茂的大树 构成的森林。它拥有十多个大的分科：代数、数论、几何、拓扑、函数论、微分方程、泛函分 析、计算方法、概率论、数理逻辑、运筹学、图论、模糊数学……这些分科又分为多达数百的 分支。数学每年产生几万篇论文，经常提出新概念、新定理，形成新分支。这一切使人眼花缭 乱。 ?数学的各个部分是相互联系相互支持的，由于各部分相互沟通、相互促进，而使其发展越来越 迅速，并呈现出五光十色、气象万千的景象。 ?人们不禁要问：数学究竟是一门科学，还是一类科学？ ?历史上，哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来，那时数学要比今天简单的多。在毕达哥 拉斯时代，只有算术和几何。毕达哥拉斯做了第一次尝试，试图把数学统一于自然数。这次尝 试由于无理数的发现而以失败告终。 ?以后相当长的时间里，人们寄希望于几何，希望把数学统一于欧几里得几何。最后发现，连几 何也是不统一的，人们的希望又破灭了。 ?莱布尼兹、弗雷格和罗素都希望把数学统一于逻辑，使庞大的、复杂的、内容丰富的数学归结 为非常通俗的、直观的、易于洞察的逻辑，结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难以洞察的 层次理论和可化归公理。 ?直觉主义流派的布劳尔和形式主义流派的希尔伯特，又希望数学统一于算术。结果，连算术也 不是统一的——这是哥德尔定理的推论。 ?最后，数学家和逻辑学家寄希望于把数学统一于康托开创的集合论。但是，哥德尔和库恩对选 择公理的研究成果表明，集合论自身就是难于统一的。 在经过这些试图把数学统一起来的努力都失败之后，数学反倒变得更加生机勃勃，更加丰富多 彩，更加多样化了。数学不断地用新成果使自己壮大，不断地修改着、改组着自己的理论而生 出新的分支，以致使人产生一种感觉：数学不是具有统一对象和统一方法的科学，而是一系列 建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确确定的概念之上的学科。 ?法国的布尔巴基学派提出了与此相反的观点。他们认为：别看外部现象是多么光怪陆离、 五光十色，其实，数学由于内部的进化，比任何时候都巩固了它的各部分的统一，并且建立起 比任何时候都更加有联系的整体，形成了数学所特有的中央的核心。 】 他们认为：数学的各种理论之间的关系是可以系统化的，可以用“公理方法”作统一的总结。 布尔巴基不是一个人，它是一个集体的笔名。这个集体最初的成员是巴黎师范学院的 一群大学生。在四十多年间，布尔巴基的成员在新陈代谢地变化着，然而努力的方向始终一致。 数学的基本结构 ?数学的表面特征是一连串的推理。 每种数学理论都由一串串推理的长链构成，可以说，演绎推理是数学的特点。 能不能说演绎推理就是数学的统一基础呢？ 这样说不能说是错的，但是太肤浅。演绎推理是一种方法，一种把思想和思想联结起 来的工具。数学家可以用，别的科学家也可以用。就像实验的方法，生物学家可以用，物理学 家也可以用。我们能把生物学与物理学统一为一门学科吗？ 同理，不能仅仅因为各个数学分支都使用演绎推理的方法，就宣称数学是统一的，应 当看到数学推理的长链背后还有更本质的东西。这种更本质的东西，真正反映了数学的什么特 点呢？布尔巴基学派称之为“结构”。 数学研究的对象，慢慢地显露出了它的轮廓。它研究结构——从不同的模式中、系统中抽象出 来的共同结构。 ?首先是集合。集合好像是一片空地、一张白纸、一群没有分派角色的演员。 一旦在集合的元素之间引进关系，集合的元素就有了自己的个性，根据关系的性质， 集合上开始出现结构。 结构不是人主观上随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经 验上升为概念的结果。 ?布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构，即母结构，有三种： 一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。 一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。 还有一种叫做拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界等这些空间性质。 ?三种基本的数学结构恰好是现实世界的基本关系与形式在我们头脑中的反映： 代数结构——运算——来自数量关系； 序结构——先后——来自时间观念； 拓扑结构——连续性——来自空间经验。 然而，这些东西一旦抽象成数学概念，成为脱离具体内容的“结构”，它们就可以用到任何 有类似性质的系统之中，而不一定与时、空、数有关了。 ?一个系统可以具有几种结构。 例如实数系， 它有加减与乘除， 这构成了两种有联系的代数结构， 它的元有大小之分，这构成它的序结构，它的连通性则体现了其拓扑结构。 ?基本结构可以加上一些公理派生出子结构， 两种以上的结构可以加上结合条件 （又称相容条件） 产生出复合结构。 例如，对于实数，如果 a>b，则 a+c>b+c；此表明代数结构与序结构是相容的。 ?通过结构的变化、复合、交叉，形成形形色色的数学分支，表现为气象万千的数学世界。 关于数学的结构观 ?有了结构的思想观点，当数学家遇到新的研究对象时，他自然而然地会想，所遇到的事物能不 能放到某个已知的结构之中？如果可以，便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的 武器。 历史上有过这样的例子：数学家长期不能理解复数，把它叫做虚数。后来发现，复数 可以用平面上的点表示，这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数 的研究立即有了实际意义，找到了应用，获得了飞速发展。这表明，把新的陌生对象纳入已知 的结构之中是多么的重要。 布尔巴基学派承认，把数学看成研究各种结构——这些结构以几种母结构为骨架不断地生长和 发展——的科学，仍然是对数学现状的粗略的近似。结构观点是针对数学整体的概括性观点， 可是数学中的确还有一些有特色的内容无法由已知的基本结构加以规范，这些内容也可能是很 重要的。例如，数论中的大量孤立问题，就很难与已知的结构很好地联系起来。 ?布尔巴基学派也主张，结构不应当是静止的，数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为 数学是一门对外开放的生命力旺盛的学科，对其不能“盖棺论定”，不会有终极真理。 总的说来，布尔巴基学派把数学统一到结构的观点上，是符合辩证唯物主义认识论的。因为： 它否认了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们的实践经验，正确地描述了数学 中结构概念的抽象形成过程； 它用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，说明什么使数学统一起来并 使它有多样性； 它用发展变化的观点看数学，主张结构不是一成不变的； 它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验， 用科学上的成功经验支持结构观点。 结构观的形成过程与启示 ?结构观点的产生，不是偶然的。布尔巴基学派自己指出，这是半个多世纪以来（即从 19 世纪 末期到 20 世纪中期）数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理方法从 欧几里得开始，到了非欧几何产生之后，数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法，经过 第三次数学危机的考验，特别是由于形式主义学派的领袖希尔伯特的大力提倡，已在数学实践 中生根、开花、结果，终于更上一层楼，形成了“结构”的观念。 一开始，人们追求公理系统的相容性和完备性。也就是说，在公理系统中，不能有两个相互矛 盾的命题同时为真（这是相容性要求） ，以及任何一个命题的成立与否，必能加以判定（这是完 备性要求，它曾是希尔伯特的坚定“信念”） 。后来，人们研究发现，对一般的公理系统来说，相 容性与完备性是相互矛盾的要求，两者不可兼得！ ?于是，数学家们终于认识到，公理化的数学系统，相容性当是起码要求，而完备性要求则必须 放弃。这意味着，一般的数学系统，总有不可判定真假的命题。更有意味的是，公理系统的不 完备性并不是坏事，而是好事。公理是对所研究对象的限制，限制越多，研究面越窄。因此， 公理系统不完备，意味着系统尚可容纳更丰富的对象，意味着研究结果可适用于更广的范围。 在这种认识的启迪下，数学家们研究了许多不完备的公理系统，例如，群、环、域、线性空间、 拓扑空间、测度论、概率论等等。数学实践证明，对不完备性系统的研究有强大的生命力，它 促使人们对公理系统进行分解，分解成一些更基本——更不完备的公理系统，这终于促成了结 构观点的出现。 ?经典数学研究的对象限于空间形式与数量关系。现在，数学完成了更高层次的抽象，使形式脱离空间，使关系脱离数量，把纯形式与纯关系作为研究对象。一旦抽象出纯形式与纯关系，形 式与关系之间的区别就不再是必要的了。纯关系，无非是关系的形式；纯形式，也只能表现为 形式之间的关系。两者已是一回事，于是称之为结构。 当数学研究数量关系时，人们可以问：数学所研究的关系是不是真理？ 当数学研究空间形式时， 人们可以问： 数学研究的形式， 是不是我们这个真实空间的性质？ 现在，数学研究的是结构，人们还能问什么呢？数学提供了一套一套的结构，只要哪 种对象符合某一套结构的条件，关于这个结构的结果便可以用上去。这里，问题只在于选择适 当的结构，而不在于数学结论是不是真理。由于结构已是纯粹的抽象物，关于结构的性质只接 受逻辑的检验，因而数学科学成为可信的真理。 数学家把结构作为研究对象，这使他完成了从面向个别需要到面向普遍需要的历史性转变，使 他开始真正追求占领无限广阔的应用市场。可以说，来自科学实践的客观规律通过数学结构得 以精确表示，并且其威力借助数学威力得以刻画。当然，客观规律的真理性是在实践的反复检 验过程中确立起来的，这一过程也可以看作检验了数学结果的真理性。从数学的整体上看，哪 些结构需要增加，哪些结构需要修改，哪些结构需要组装在一起，哪些结构会代代相传，这些 事关数学研究方向和发展进程的信息，并不由数学家来说，而是来自科学实践或更广泛的社会 实践。 希尔伯特空间 ——欧式空间结构的无限维推广 希尔伯特关于几何基础的奠基性工作，令人信服地表明，依靠公理化方法能够 构建何等辉煌的理论系统。在希尔伯特的鼓励下，数学家们，例如，Frechet、Schmidt、Riesz、 Banach、Hahn、Helly、Wiener 和 Von Neumnn 等一批数学家，开始着手建立抽象空间的理论， 并进而展开了对这一理论的深入研究。抽象空间的公理系统，形式上远比初等几何（例如，欧 式几何、射影几何）的公理系统来得简单，但其展开的理论系统或体系，却具有更大的包容性 和适用性，因而具有更广阔的应用前景。最初的成果和成功已使开拓者们欢欣不已，进一步的 深刻结果（无论是理论的，还是应用的）令人神往，有待更富创新观点的新一代数学家去发现 或构造。 希尔伯特空间的定义 作为抽象空间的重要范例，我们向同学们推介希尔伯特空间。 】 下述定理列出了内积空间最重要的基本性质，其中（1）（2）（3）三条性 、 、 质可用于诱导空间上的一个自然度量。 历史回音壁 希尔伯特空间，是非常重要的一种抽象空间；它上面既有代数结构，又有拓扑结构， 是多种基本数学结构相容地装备起来的一种复合体。历史上，这一概念刚刚出现，就幸运地得 到了物理学界的认可和鼓励。在量子力学开创之初，物理学家发现，旧的数学工具库中竟然没 有合适的工具可用。四顾茫茫然之际，他们突然发现，刚刚冒出来的希尔伯特空间中的自伴算 子理论，正是自己所需的数学工具。这岂不令人欣喜若狂。为了使用这一新奇工具，当时的物 理学家兴致勃勃地学习希尔伯特空间及自伴算子理论。 自伴算子的定义 注：在量子力学中，微观系统的状态由希尔伯特空间中的向量来表示，而位置、动量和能 量等重要的观察量则都被定义成了希尔伯特空间中的自伴算子。
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数学精神与方法 第一讲 从数学是什么谈起 数学是什么——历史的理解 数学是人类文化中历史最悠久的知识领域之一， 是人类文明的一个重要组成部分。 从远古曲指 计数到借助高速电子计算机进行大型科学计算，从勾股定理的发现到抽象公理化系统的产生， 数学经过了五千余年的发展演变历程。即使作为一门独立而理性的学科，她也有两千五百年的 历史了。 与其他学科领域相比，数学的发展具有很强的累积性。 数学正是经过这种发展的长期累积过程才铸就出今天这般宏大的思想理论体系。数学常常被人 们比喻成一棵茂密的大树，她包含着并且正在生长出越来越多分枝。按照美国《数学评论》 （Mathematical Reviews）的分类，当前数学学科包含 60 多个二级学科，400 多个三级学科，更 细的分科难以统计。可以说，数学历经五千余年的累积演进，已经发展成为适用面最广泛、应 用功能最强大的学科；而且，她还是人们最信得过的学科之一，被称作科学的基础。 公元前 6 世纪以前，数学主要是关于“数”的研究，主要是计数、初等算术与算法，而几何则只 能看作是应用算术。这一历史阶段，数学在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区得到率先发展。 从公元前 6 世纪开始，数学在希腊蓬勃兴起并得到空前发展。希腊人主要对几何感兴趣，突出 了对“形”的研究；他们当然也没有忽略对“数”的研究，但却将“数”放在了几何的形式下去考察 （只有少数例外，如丢番图） 。从那时起，一直到 17 世纪，数学的研究对象是数与形——静止 的、常量的数与形；而且，两千两百年间数学的研究对象没有本质的变化。数学于是成为了关 于数与形的学问。 亚里士多德（Aristotle , 384—322BCE） “数学是量的科学。” 笛卡尔（R. Descartes, 1596-1650） “凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关。” 由笛卡尔、费马（P. de Fermat, 1601-1665）开创的解析几何学，为数学乃至整个科学树起了一 座划时代的里程碑，数学从此由常量时代进入了变量时代——这标志着数学发展迈入了近代数 学时期。 微积分的创立无疑是 17 世纪数学最为重要的成就，也是科学发展史上最重大的事件之一。由牛 顿（Isaac Newton, 1642-1727）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）所制定的微 积分，本质上就是关于运动与变化的数学，它使科学家们能够以数学为工具去深入研究行星运 动、机械运动、流体运动以及动植物生长等等。因此，数学在牛顿和莱布尼兹生活的时代已经 成为研究数与形、运动与变化的学问。 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 然而，就在恩格斯所在的 19 世纪，数学家不仅仅研究现实世界中的数学对象，而且开始关注并 研究数学自身的大量基础性问题，而这类问题——以数学自身的协调、完备以及模式化为目的 ——只是出于使数学自身达到完美与统一的需要。 从 19 世纪后期开始，数学成为了研究数与形、运动与变化以及数学自身问题的学问，而且数 学理论的论述呈现以公理化倾向为特征的规范形式。从此，数学发展进入了所谓现代数学阶段。 这种对数学自身问题的研究，实现了数与形的统一，促成了数学与逻辑的融合，开辟了全新而 广阔的数学发展空间和应用领域，从根本上刷新了人类的数学观念。 康托尔（G. Cantor 1845---1918） “数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说，它的概念必须摆脱自相矛盾， 并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。” 罗素（B. Russell, 1872---1970） “数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是 否正确。” 20 世纪初，英国哲学家兼数学家罗素（B. Russell, 1872-1970）给数学下了如下一个定义： “纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题 对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否成立，也不管使此命题成立的那些事物究 竟是什么，……。只要我们的假定是关于一般事物的，而不是关于某些特殊事物的，那么我们 的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的（事 物）是什么，也不知道所说的内容（断语）是否正确。” 数学是什么？ 20 世纪 80 年代，一批美国学者将数学简单地定义为关于“模式”的科学： “[数学]这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界 中所观察到的结构和对称性。” 搜索并揭示隐藏模式的过程是在交织着许多对立面的斗争中进行的，这些对立面是：具体与抽 象、特殊与一般、有限与无限、离散与连续、算法的与存在的、随机的与决定论的、精确的与 近似的，等等。正是这些对立面的相互作用、反复综合并在更高层面上达成统一，在不停地推 动着数学的创造、更新和应用，在生动地体现着数学理论的思想脉搏和蓬勃生机。因此，这些 对立统一因素构成了数学科学发展的基本要素，理应在数学教育中作为通识知识加以系统地阐 释。 数学是抽象的，追求精确性和可靠性 随着数学家开发模式的范围自然地、无限制地扩张到任何 领域中去，数学的历史边界已完全消失，同样数学应用的边界也没有了：现代数学不再只是自 然科学和工程技术领域（如物理学、化学、生物学、生态学、各种工程设计和控制技术等）的 语言，它与计算机相结合已经成为众多行业和部门（如银行业、制造业、医药业、统计与审计 部门、信息处理与信息安全部门等）以及社会科学领域（如经济学、社会学、历史学、心理学、 考古学、语言学等）必不可少的工具。 “知道重大发明特别是那些绝非偶然的﹑经过深思熟虑而得到的重大发明的真正起源是很有 益的。这不仅在于历史可以给每一位发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉， 而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法。” 希尔伯特（ D. Hilbert , 1862---1943 ) “数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。” “凡服从于科学思维的一切知识，只要准备发展成一门理论，就必然要受公理化方法的支配， 受数学的支配。” 数学精神与方法 第二讲 有限无限纵横谈（一） §2.1 从自然数谈起 ?对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列： 0，1，2，3，…… 这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本， 作为我们考察数学的起点。 ?如果问：自然数是什么? 这可就不那么容易回答了。事情说到根上，看起来简单的问题反而 难以回答。 皮亚诺的自然数公理系统 ?三个基本概念： 0，数，后继 ?五条公理： ?0 是一个数。 ?任何数的后继是一个数。 ?若两个数不同，则它们的后继也不同。 ?0 不是任何数的后继。 ?数学归纳法原理。 数学归纳法原理 ?如果每个数 n 都对应有一个命题 P(n)，又如果 （1）P(0) 真， （2）假若 P(n) 真，则必有 P(n+1) 真， 那么对所有的数 n ，P(n) 都真。 ?注：数学归纳法原理是我们从有限通向无限的桥梁。 关于 0、数、后继 皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括 0 在内的自然数全 体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知 道我们所指的是什么。 ?皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器 ——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。 ? 这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 ?“0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描 皮亚诺的自然数公理系统将经典数学“算术化”做到了最后完善的地步 ?从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关 系，可以证明已有的所有算术结果。当然，完成这一切还需要加上一些逻辑的概念和命题。 ?算术理论是分析数学的基础，是整个经典数学的基础；这点以后会很清楚。看明白这一点很重要 ?皮亚诺的三个基本概念是逻辑抽象化的，只有形式，没有内容，可以允许多种解释。例如，如 果“0”代表实数 1，“数”代表实数列 1，0.5，0.25，…而一个数的“后继”规定为取这个数的一半，那么这些解释完全可以与皮亚诺的 五条公理相容不悖。 ?这表明“0” 、“数”和“后继”不能由皮亚诺的五条公理去定义，而必须单独地去了解。 §2.2 归约到逻辑 ?“ 一这个数是什么，或者，1 这个符号意谓什么，对这个问题，人们通常得到的答案是：一个 事物。此外，如果人们注意到， ‘一这个数是一个事物’ 这个句子不是定义，因为它一边是定冠词，另一边是不定冠词，如果人们还注意到，这个 句子只是说 1 这个数属于事物，而没有说是哪个事物，那也许人们就不得不自己选择人们愿意 称之为 1 的任何一个事物。但是，如果每个人都可以有权任意理解这个名词，那么关于 1 的同 一个句子对于不同的人就会意谓不同的东西；这样的句子就不会有共同的内容。” 一个数（自然数）是什么？ ?或许有人提出，我们不用回答这个问题，因为我们不能定义“0” 、“数”与“后继”，也不必假定 我们知道这些概念的意义，不必令它们与通常的意义相符，我们可以让它们代表任何能适应皮 亚诺公理的三个概念——它们将是变项，是我们对其作出某种假设而此外别无规定的概念。 这种方略并不荒谬，它提供一种推广，对于某种目的，确有价值。 ?但是，这种方略未能为算术奠定一个适当的基础。第一，它不能使我们知道是否确有适合皮亚 诺公理的项的集合；它甚至没有略略提示任何方法，以发现是否有这样的项的集合。第二，我 们需要我们的数能计数通常的事物，也就是要求我们的数不仅具有某种形式的性质，还应具有 一种确定的意义。 试着给数 1 下个定义 ?1 这个数是所有含一个元素的集合所组成的类——这个类的集合共蕴一个特性（含有一个元 素） ，且这一特性仅为这个类中的每个集合所具有。 ?这里所谓“1 的定义”使我们在逻辑上处于一种为难境界——正好可用于定义一个特定数目的此 数之特性恰恰不能用于定义这个数！ 启发：单独地、孤立地去定义一个特定数目是行不通的，这在逻辑上会把事情逼到“自己定义自 己” 的境界，因为我们的眼界没有超出此数的本类，即这个数的外延所界定的对象集合的范围。 定义数该从何处着手？ ?我们必须了解：每个数都有自己的特有属性；特有属性之所以 “特有”，就在于它具有将该数 本类的集合与另类的集合区分开的作用——本类的任何两个集合都“具有相等的元素个数”，而 本类的和另类的集合之间则永不“具有相等的元素个数”。 ?判断两个集合是否“具有相等的元素个数”比定义它们的“元素个数”是什么在逻辑上要简单得 多。 “具有相等的元素个数” ?我们称集合甲与集合乙是“相似”的，如果集合甲与集合乙是“具有相等的元素个数”的。 ?“相似”是在集合之间建立起来的一种关系，它具有如下性质： （1）每个集合都自己与自己“相似”； （2）若甲与乙“相似”，则乙与甲“相似”； （3）若甲与乙“相似”，乙与丙“相似”，则甲与丙“相似”。 正是基于这些性质， “相似”关系可用于将全体集合划分成一个个两两互不相交的集合类—— 若甲与乙“相似”，则甲与乙归于同一个集合类。这种集合类称作“相似类”。 数的定义 ——弗雷格-罗素说法 ?一个集合的数是所有与此集合相似的集合所构成的类，即此集合所在的“相似类”。注：两个集合相似意指这两个集合间存在着双射。 ?所谓一个数目就是某一个集合的数。评说“数”之弗雷格-罗素定义 ?注意下定义的程式：一个集合的数（一个数） 数（所有数目） 一个相似类 所有相似类 所有集合 因此，数的定义归约到“集合” 、“相似” 和“分类”这三个项——逻辑主义者认为这三项 隶属于逻辑范畴，我们权且这样去看。 关键点：数的确定性 离不开的思维观念 ?注意，没有集合就没有这里所谓的“数”，这里的“数”本质上就是对所有集合给出了一种分类。 一个给定的“数”现在之所以是确定的——不允许有多种解释——正在于它的凭借集合构成的类 （即相似类）是非空的和唯一的。 ?在给数下定义时，无论是前面的皮亚诺定义，还是现在的弗雷格-罗素定义，有三个特别的数 “0” 、“1” 和“2”似乎必须先验的出现在定义中。事实上，这三个数是人的两种基本思维观念的 集中反映： “1 与 0”意味着“有与没有” ——存在观念， “1 与 2”意味着“相同与相异”——区分观念。 离开这两种基本的思维观念，我们的意识就退化到几近不存在的境界。因此，在给数 下定义的表述中，先验地出现这三个数的影子我们只好容忍。 数与集合的朴素观念 ?对数的理解离不开对集合和类的理解。 ? 集合和类，按我们的朴素观念去理解，都是由确定对象所组成的群体。不过，组成集合 的对象我们将视作“不必再分的”，故而称作“元素”；而组成类的对象则可以有元素，有集合， 甚至还有类。这种朴素的理解，事实上，将“集合”和“类”视作了同义词。 ? 定义一个具体的集合或类通常采用的定义方式有两种——“外延”定义法和“内涵”定义法： “外延”定义法——枚举集合的所有元素以确定集合 “内涵”定义法——提出集合的元素应满足的一种特有属性以确定集合 ? 并非所有集合都可用“外延”定义法去定义。全体集合可分为两大类——“可枚举集合类” 和“不可枚举集合类”。这反映到数的概念上来就会将数分为有限数与无限数两类。 问题与思考 ?自然产生的问题： ?全体集合可分为两大类， 即“可枚举集合类”和“不可枚举集合类” ， 同时又可分为一个个两两互 不相交的“相似类” 。试问：这两种分类法相容吗？——答案是肯定的。 ?“不可枚举集合类”会不会是空类或只是一个“相似类”呢？——首先完满回答这个问题的人是康 托。 ?“可枚举集合类”中的所有“相似类”能是我们习以为常的自然数系吗？也就是问， 在由“可枚举集 合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？ ?在由“不可枚举集合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？若不 能，那该建立怎样的公理系统架构？ ?集合是什么？相似类是什么？还有，“相似类”作为“数”而成为数学的基本对象能使数学家们对 其性能和功效感到满意吗？ 逻辑主义 数学与逻辑的关系至少可以上溯到数学还是一门经验科学的时代， 那时逻辑已经有 了最初的思想萌芽，并对数学思维开始发生作用。经过古希腊数学家们，特别是亚里士多德和 欧几里德的工作，数学同当时相对比较完善的形式逻辑结合起来，真正变成了一门演绎科学。 从此，数学与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科学知识体系中成为逻辑性最强的学 科。到了 19 世纪末 20 世纪初，数学的高度公理化和形式逻辑向数理逻辑的跨越发展，似乎一 度取消了数学与逻辑的分界线。在这个时期出现了逻辑主义学派（以罗素和弗雷格为代表） ，他 们宣称数学与逻辑是一回事。罗素曾说：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青 年与壮年没有明显的分界线，故数学与逻辑亦然。” 走近逻辑殿堂 数理逻辑又称符号逻辑，是用数学方法研究数学思维模式的科学。它把数学的推理方法 及其使用的语言作为研究对象，运用形式语言（人造符号语言）来表达思维形式的规则和结构。 筑造起一个将思维规律的研究变换为对符号系统的研究的理论体系。它既是数学，也是逻辑学。 国际数学界把它列入“核心数学”（纯数学） ，而逻辑学界称它为现代逻辑。它发展到今天已形成 四大分支：公理集合论、模型论、证明论与递归论。 形式逻辑的基本规律 数学的语言 在康托创立集合论，弗雷格创立谓词逻辑的时代（1870---1900） ，数学界使用的语言是 混杂冗赘和模棱两可的，这对数学的研究和教育十分不利。数学家们逐渐感受到在数学的各个 领域中采用相似的、统一的语言的需要。随着戴德金及其后一些人物的参与，康托的集合论和 弗雷格的谓词逻辑一起以朴素的形式成为了数学界的统一语言， 这就是所谓的朴素集合论语言； 这种语言现今已被我们广泛使用，达到了离开它就做不成事的程度。 康托的集合“定义” ?康托和戴德金都觉得有必要来“定义”集合。 ?康托的“定义”：“把我们感觉或思维的不同对象收集在一起”，看作一个整体，这个整体就叫做 集合。 ?戴德金的定义也没有什么差别。 ?那时“类”被视作“集合”的同义词。 一些基本的记号 罗素悖论 策墨罗的有限抽象原则 ?罗素的悖论，表述简单而明确，不容置疑；其特点是只用到了“集合” 、“元素” 、“属于”这些 §2.3 最基本的概念，涉及的集合既符合康托的集合定义，又符合弗雷格的用概念的外延来确定集合 的方法。从如此基本的概念出发竟推出了矛盾，这就表明康托和弗雷格的理论存在着令人恐惧 的漏洞。 ?数学家们觉得之所以出现罗素悖论是因为集合概念太宽泛，太不严密了。按康托和弗雷格的想 法，每个性质或条件可以确定一个集合，亦即每个概念可以确定一个集合；这叫做集合的概括 原则，也叫做无限抽象原则。 怎能不加限制地使用概括原则呢？ 观察概括原则的标准形式 就会发现：集合 s 由性质 P 和论域 x 所决定。策墨罗觉得罗素悖论的产生在于 x“太大”所致；因 此，定义一个集合应首先对论域 x 加以限制。基于这样的观点，策墨罗提出了一个“有限抽象原 则”： 如果已有了一个集合 x，又给了一个性质 P，那么构成一个集合。 ?按有限抽象原则，罗素悖论可解释成是对命题“所有集合组成的整体不构成一个集合。” 的证 明。 策墨罗提出了 第一个公理集合论系统 策墨罗认为，避免悖论的最好办法是，通过用公理系统来定义集合，使集合概念恢复作为数 学对象的特征。首先，策墨罗提出，任何数学对象之间只有一个“本原”关系 u∈x，其它的关系 由本原关系导出。然后，他提出康托的“朴素”集合语言中的运算，并以公理的形式陈述它们用 到的性质。这些公理的第一条是所谓的外延公理，它给出了两个集合相等的条件。然后有一系 列公理，断言空集φ的存在性、偶的集合的存在性、集合的子集的集合的存在性。在这些公理 之上，他又添加了“选择公理”和断言无穷集合存在性的“无穷公理”。 培里（G. G. Perry）型悖论 （培里告诉罗素这种类型的悖论） 罗素提出了集合的层次理论 集合概念怎样引入才能消除悖论呢？罗素提出了集合的层次理论。他认为集合也好，概念也 好，都应当分层次地引入： · 最基本的一层是第 0 层，此层的东西都是个体，不是集合； · 以第 0 层的个体为元素的集合是第 1 层集合； · 第 2 层集合的元素，只能是第 0 层和第 1 层的成员； · 第 3 层集合的元素，只能是第 0 层、第 1 层、第 2 层的成员； 相应地，罗素把谓词、命题也都分了层次和类型。用这种分层的办法，罗素不仅去掉 了悖论的困扰，而且还把算术归结到集合论。他与怀特海合作写了一部巨著《数学原理》 ，把自 己的思想观点详细地表述在这部著作里。 但是，罗素的理论太复杂，太庞大了。数学家们不倾向于接受罗素的宏大设计， 而希望数学能建立在简明可靠的牢固基础之上，用尽可能简单的方式解决悖论危机。 对策墨罗的继承、批判和发展 ?策墨罗不承认由具有给定性质 P 的对象构成的集合的存在性， 除非这些对象已是早先已定义的 一个集合的元素。但是，在策墨罗所做研究的一般性水平上，怎样理解“性质”这个词？策墨罗 限于说“不管一个性质是否有用，它必须由公理和普遍适用的逻辑规则以非任意的方式确定”。 显然，他心中的性质是以直到那时数学家所考虑的性质为典型。培里悖论表明他对“性质”的界 定不够精密。 ?对性质怎样表述适应数学家用法的限制，从而 避免像培里悖论中的那种寄生式“性质”的陈述？弗伦克尔和斯科朗于 1922 年提出的解决办法 在于在数学的性质或关系的陈述中消除日常语言，代之以形式语言（一种人造符号语言） ，它由 固定一组初始符号按特定方式合成符号“词语”（原子公式） ，并将“词语”按一套可以避免产生日 常语义歧义的硬性文法排列成用于表达性质或关系的陈述（合式公式） 。 ?从康托 （1845 —1918） 和弗雷格 （1848 —1925） 到策墨罗 （1871---1953） 和罗素 （1872---1970） ， 再到弗伦科尔（1891---1965）和斯科朗（1887---1963） ，经过三代 ?人的探索和研究， 终于形成了一套用形式语言和公理条款规划的集合理论 —— ZF-系统。 集合 论的这一公理系统首先由策墨罗于 1905 年提出，后经弗伦克尔于 1920 年修改完善而成，因此 称作 ZF-系统。这一系统是否可以抗击悖论侵袭呢？迄今还没有人在此系统的框架内表述可以 引出“悖论”的性质。 ?当今，绝大多数数学家使用 ZF-系统，但通常不明确声明。就数学家所关注内容而言，所有数 学分支都可规约到集合论，因而最终都可规约到 ZF-系统或 ZFC-系统。 理发师悖论 某村庄有一位理发师，他把村里的人分为两类：一类是自己不给自己理发的人；另一 类是自己给自己理发的人。基于此，他挂出了一张招牌，上写： “本人只给村中自己不给自己理发的人理发，请自己不给自己理发的人惠顾。” 有人问：“那么您的头发由谁理？” 理发师瞠目结舌，无言以对。 这是罗素于 1919 年提出来的悖论，所以也叫“罗素悖论”。 上帝是全能的吗？ ?甲说：“上帝是全能的。” ?乙说：“全能就是什么事都能办到，对吗？那么请问，上帝能造出一个连自己也举不起来的大 石头吗？” ?甲无法回答了。如果说不能，则上帝就不是全能的。如果说能，则上帝造出的石头上帝自己也 举不起来，说明上帝仍然不是全能的。 ?这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也就能否定一切。但他自己也在这一切之中，所以当他 肯定一切的时候，同时也就否定了自己能肯定一切。 唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问 题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。 一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。” 旅游者被送到国王那里。 国王苦苦想了好久： 他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死？ 如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答 错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！ 、 数学精神与方法 第三讲 有限无限纵横谈（二） §2.4 ZFC 系统的逻辑套路 今日数学的基础是建立在集合论之上的，而集合论中出现的悖论使数学家们认为 有必要做出关于集合的基本假设（即提出一组适当的集合论公理） ，以便彻底避免各式各样的、 已发觉的和潜在的悖论或不相容现象的出现，以使数学的各种系统和方法能够建立在一个统一 的牢固的逻辑基础之上。为此，数学家和逻辑学家提出并发展了多种集合论的形式化系统，其 中最有名的要数 ZFC 系统和 GBN 系统。 在此，我们将向大家简介 ZFC 系统，它是由上节说到的 ZF 系统发展完善而成的。 逻辑套路图 ZFC 系统有两方面内容：一是形式语言和逻辑演算，二是非逻辑公理。本节介绍第一方面 的内容。 关于 ZFC 系统 ZFC 系统是一种受到数学界偏爱的形式系统。“形式”这个词常常用于这样的场合，该处用到了 一些符号，而这些符号的作用和属性又完全由一组给定的规则所确定。在一个形式系统中，符 号没有任何意义；在处理它们时，我们必须注意不要在系统规定之外对它们的属性作任何假设。 不过，形式符号可以加以解释，解释可以有多种版本，但这些解释并不是系统的一部分。 ZFC 系统像其他形式系统一样，有两方面内容，一是它的形式语言和逻辑演算（包括逻辑公理 和演绎规则） ，二是非逻辑公理（用于“规划”集合概念的特殊公理，又称集合论公理） 。这两方 面内容，前者体现出“逻辑数学化”倾向，而后者则体现出“数学逻辑化”倾向，如今两者已融合 成一个有机的开放的整体。 ZF 系统的形式语言 一 ZF 符号库 ZF 系统的形式语言 二 ZF 公式库 关于形式语言的注释 关于形式语言的注释 ZF 系统的逻辑演算 一 ZF 的逻辑公理模式（附带等词公理模式） 关于 ZF 的逻辑公理模式的注释 ZF 系统的逻辑演算 二 ZF 的逻辑演绎规则 关于 ZF 的逻辑逻辑演绎规则的注释 ZF 系统的逻辑证明 现在 ZF 形式系统的纯逻辑要素——符号库、公式库、公理模式、演绎规则——都已建立起来， 那么怎样运用这些逻辑要素去进行逻辑演绎（即证明推理）呢？ 形式证明的实例 形式证明的实例 形式证明的实例 简单评注 ZFC 系统有两方面内容：一是它的形式语言和逻辑演算，二是它的非逻辑公理。以上所讲是第 一方面内容的简介，目的在于帮助同学们了解数学系统的逻辑结构——这方面内容体现出 ZFC 系统的“逻辑套路”。尽管形式语言与逻辑演算的表述方式完全可以说是“数学化”的，但是就其 本质而言，这方面的内容是没有多少数学价值的。ZFC 系统的数学价值将由其第二方面的内容 ——非逻辑公理——体现出来。那么这组非逻辑公理又说了些什么呢？且听下回分解。 §2.5 ZFC 系统的数学价值 ?逻辑主义有一个重大的不可否认的成就：它成功地根据合理的简单标准（完备性例外） ，把全 部经典数学都归约为单一的形式系统。这一成就被形式主义者——绝大多数数学家——大加赞 赏，尽管他们并不像逻辑主义者那样认为“数学已被全部归约为逻辑”。 ?数学家们认为：数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直 观的——而非逻辑的——产物。 ?对于 ZFC 系统，可以说现代数学建立在以其为基础的结构之上，它是否可以全部归约为逻辑 呢？数学界和哲学界一般认为，答案是否定的，原因就在于它有一组公理（共九条）是非逻辑 性的，我们称之为 ZFC 的非逻辑公理组。这组公理体现着数学家来自心灵的共同信条，这正是 ZFC 系统的数学价值之所在。 ZFC-系统的非逻辑公理 （ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。 （外延公理） （ZF2）没有元素的集合存在。 （空集公理） （ZF3）给出任何集合 x 和 y，总存在着集合 z，它的元素是 x 和 y。 （配对公理） （ZF4）给出任何集合 x，总存在着集合 y，它以 x 的元素的元素为元素。 （并集公理） （ZF5）给出任何集合 x，总存在着集合 y，它以 x 的一切子集为元素。 （幂集公理） （ZF6）若对于任意的 x，恰好存在唯一的 y，使得公式 A(x,y)成立，那么对于任意的集合 z，存在集合 u，使得 u = { v | 存在 w∈z ，使得 A(w,v)成立 }。 （替换公理模式） ZFC-系统的非逻辑公理（续） （ZF7）存在一个集合 x，它含有无穷多个元素。 （无穷公理） （ZF8）每个非空集合 x 含有一个元素 y，y 作为集合与 x 无公共元素。 （基础公理） （AC） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合 x，总存在一个集合 y，它与 x 的每个成 员恰有一个公共元素。 （选择公理） 关于 ZF-系统的非逻辑公理的评注 ?公理（ZF1）－（ZF8）和（AC）的建立归功于策墨罗和弗伦克尔，但所谓 ZF-系统却是指非 逻辑公理只取（ZF1）－（ZF8）的形式集合论系统。 ?公理（ZF2）断言了空集的存在。可以证明空集是唯一的，记之为 ?。 ?公理（ZF3）断言：对任何集合 x 和 y，存在一个集合{ x , y }。 注意{ x , y }是由 x 和 y 所 唯一确定的，但 x 和 y 间没有次序问题，这就是说， { x , y } = { y , x }。 有了此等无序对的概念，我们可以定义单元集和序偶的概念如下： { x } = { x , x }， （ x , y ）= { x , { x , y } }。 需指出：表述（ZF6）需要利用序偶的概念。 在（ZF6）中，命 A(x,y) 代表 A(x)∧(x=y)， 则可推出策墨罗的有限抽象原则： 对任一给定的谓词公式 A(x)和任何集合 z， 存在集合 u 使得 u = {v∈z| A(v)}。 ?（ZF2）和（ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空 集 ? 和自然数集 N 存在。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的数学公理。因此， 将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标——数 学化为逻辑，成为逻辑的一部分——不可能实现。 如果在 ZF 系统中不引入无穷公理（ZF7） ，那么我们得到的是一个有限数学的框架，也就是说， 我们处理的数学对象只能限于有限集合。在这样的框架里，我们无法断定“全体自然数”是否构 成一个集合。 “自然数的全体”是否为一个集合？这问题其实是“自然数的全体”作为一个数学对 象我们该怎样看待的问题。在这个问题上，数学界的看法是统一的： “自然数的全体” 构成一 个集合。这是现代数学基础的任何令人可接受的模式都必须俯就的基本要求——本质上讲，这 意味着数学学科不能不认可“数学归纳原理”。 “数学归纳原理”是一条数学原理，它不能归约为 逻辑。无穷公理的价值正是在集合论的公理系统中给出“数学归纳原理”的位置。 】 注意，公理（ZF8）所断言的是：任一非空集合 x 必有∈-极小元，即，存在 y∈x，对任意的 u ∈y，u 不∈x。 利用（ZF8）我们立即可证如下命题： “ 对任意的集合 x，x 不∈x。” 事实上， 对任意的集合 x，集合{x}非空；于是，{x}有∈-极小元， 此∈-极小元只能是 x， 故 x 不∈x。 让我们引入“集宇宙”这个术语：集宇宙由全体集合构成，记作Ω。这样一来，上述命题 可富有启发性地表述为 Ω={x|x 不∈x}。 进一步，立即可证下述命题成立： ?° 集宇宙Ω不是集合。?± ?公理（ZF1）－（ZF8）在描述集合的基本真理性方面已经经受住了时间的考验。 ZF-系统引出的基本数学概念 关于选择公理 选择公理的各种等值形式人们研究的很多，不同的形式适应于不同的应用，这 足以表明它是一条基本的数学原则。由哥德尔定理我们知道，选择公理与 ZF-系统是相容的； 那么，一个自然的问题是：它是不是 ZF-系统的一条定理呢？这个问题历经半个多世纪的研究， 终于在 1963 年由美国的一位年青的数学家科恩所解决。科恩证明： （AC）不能作为 ZF-系统的 定理而推演出来。将科恩和哥德尔的结果合在一起的结论是（AC）和它的否定都不是 ZF-系统 的定理，它们之中任意一个都可以相容地补加到 ZF-系统中作为新公理使用。从这样的结论看， （AC）的可接受或不可接受必然是一个直觉问题，它乃是也只能是数学家们的基本信条之一。 选择公理被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。 哥德尔（Kurt G?del,1906-1978） 。奥地利─美国数学家、逻辑学家。美国《时代》杂志评选 出对２０世纪人类思想产生重大影响的１００人中，哥德尔列为第４。 数学精神与方法 第四讲 有限无限纵横谈（三） §2.6 自然数系 有限集与无限集 人类在进化的蒙昧时期， 就已经有一种才能， 这种才能姑且称作“数觉”。 由于人有了这种才能， 当在一个小的集合里边增减一样东西的时候，尽管他未曾知道增减已经发生，他也能觉察到其 中的变化。这种原始数觉，许多权威动物学家认为，少数几种鸟类和蜂类也具有。注意，依靠 数觉，普通文明人可以分辨的数目很少能超过四。 应该承认，这种比鸟类高明不了多少的原始数觉，就是产生 “数”概念的核心——“0” 、“1”和 “2”三个数目的先验性区分构成为了人类理性思维的自然出发点。 数觉、计数技术、模范集合 但是，毫无疑问，如果单凭直接的数觉，人类在计算的技术上就不会比鸟类有什么进步。事实 上，经历了一连串的特殊的环境，人类在极为有限的数觉之外，学会了另一种技巧来给自己帮 忙，这种技巧注定了使人类未来的生活要受到难以估量的影响，这种技巧就是“计数”。“计数” 与“数觉”不同，它牵扯到一种颇为复杂的心理过程，是人类很晚以后才有的收获，也是人类独 有的特性。计数技术的灵魂就是序列的观念（想一想皮亚诺公理系统） ，它使具体的、不同质的 表达多寡的各种模式演变为统一的抽象的数概念，形成了数学学科建立和发展的前提。 数觉、计数技术、模范集合 然而，不用计数技术，也可以得出一种合乎逻辑的明晰的数概念，那就是通过建立集合间所谓 的相似关系来把全体集合分为一个个的相似类。当然，原始人类不会有弗雷格和罗素的相似类 概念，但他们会不自觉地在身边的环境中找一个模范集合作为相似类的代表。原始人类有了语 言及表达语言的符号（特别是能够被视觉分辨或听觉分辨的符号）后，他们就越来越依赖于语 言及其符号，结果他们以符号来代替所表的模范集合——这样，最初的各式各样的数字就产生 了。记忆和习惯又使这些数字在人类的思维中获得了概念化的具体性，于是人类就只用数字来 量度多寡，而将原来作为比较对象的模范集合渐渐忘却了。 相似与计数······对应与序列 数学的进一步发展实在应当归功于人类感悟到，数的相似类表示与计数表示的统一性。在实用 上，相似类的数字表示很有用，也较简单，但它不能直接创造出算术来。算术的运算是依据“我 们总是可以由一个数目数到它的后继数目”这一默认的假定而发展起来的， 而这个假定正是计数 技术的本质。 相似与计数，体现了两大数学原理——对应和序列。这两条原理已经深深渗透到全部数学—— 不只是数学，实际是精密思想的全部领域——之中。 数的弗雷格-罗素定义 要在集合论的框架下展开全部数学，首先就必须在集合论中定义自然数。回顾数的弗雷格-罗 素定义： 一个数目就是某个集合的数，而一个集合的数是所有 与此集合相似的集合所成的类，称作相似类。 “相似”概念由双射概念来定义： 集合 x 与 y 是相似的，如果存在从 x 到 y 的双射。 与集合 x 相似的全体集合所组成的类称作 x 的相似类。 问题一：每个“相似类”是集合吗？ 在 ZF-系统的框架下，数学对象都作为集合处理；这样，数学的基础就可以避免悖论的产生。 因此，像集宇宙这样的对象就不宜作为数学对象看待。依此观点，我们会形成这样的认识：如 果每个“相似类”不是 ZF-集合，那么它也就不应该称作是一个“数”。 注意！ “数”是一个数学术语，一个“数”，或说一个“数目”，理应是一个普通的数学对象，因 而在 ZF-系统的框架下理应是一个集合。 问题二：在 ZF-系统中怎样定义自然数？ 在 ZF-系统中，定义自然数应当满足四条要求： 每个自然数都应当用一个集合去定义，它应当在相似关系下是其所在相似类的代表， 并且全体 自然数应当组成一个集合。 全体自然数的集合应当适合皮亚诺的五条公理，并因此特称作自然数系。 在自然数之间应能定义加法和乘法运算，应能定义序关系。 在一定的意义上说，自然数系是唯一的。 答问题一：非空集合的相似类不是集合 证明：不是 ZF-集合 答问题二：自然数系就是最小归纳集 归纳集是存在的——数学信条之一 最小归纳集ω????第一无限集合 自然数和自然数系的定义 自然数系ω与皮亚诺的自然数公理 皮亚诺所定义的自然数系 N 是抽象的，其抽象性表现在：它有三个原始概念 数、 零、 后继 是未加定义的，它们由皮亚诺的五条公理来界定相互之间的关系，并由此得以表现自 己，仅此而已。 因此，这三个原始概念有无对应的实体存在无法由这一理论自身回答。事实上，从 ZF-系统这一形式集合论的角度看，皮亚诺的自然数公理化方案可以纳入到 ZF-系统的框架内作 为自然数系的一个抽象定义处理。这就是说，可作如下定义： 自然数系的抽象定义 递归原理——自然数系的基本定理之一 数学归纳原理——自然数系的基本定理之二 数学归纳原理，包含着一串无限多个三段论，每一个自身都是一致的。其有限 个三段论所断言的都是逻辑的必然，但无限多个三段论所断定的却只能是数学的必然。当一个 动作一旦可能，我们的心灵就能设想这个动作的无限次重复。这不是逻辑和经验强加给我们的， 这是心灵的力量才能带给我们的。 自然数系的统一性——自然数系的基本定理之三 零，神奇无比！ 单纯地看，零就是零，但仔细研究后，你会发现通过它你将可以了解这个世界。因为，数学表 述着事物复杂的本质，而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到复杂的运 算，从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值，这些有力的数学工 具都让我们使用这样的思考方法：一个事件的发生与其他的事件相关，并且所有这些都离不开 零这个中心。 π ei +1=0 数学中最重要的常数都集中在这里了，而它们叄? 数学的思想灵魂存乎于有限与无限之间 有限集、无限集、可列集 定义 4 设 S 是一个集合，我们规定 （1）如果存在 n∈N 使得 S 与｛0，1，…，n｝相似，或 S 与 ? 相似，则称 S 是有限集； 否则，称 S 是无限集。 （2）如果 S 与 N 相似，则称它是可列集。 （3）如果 S 是有限集或可列集，则称 S 是可数集或至多可列集。 定理 5 设 S 是一个集合，那么 （1）S 是有限集当且仅当 S 与它的任何真子集不相似； （2）N 是可列集； （3）S 是无限集当且仅当 S 的某个子集与 N 相似。 基数的比较 基数比较的三条重要定理 数学精神与方法 第五讲 运算与迭代的威力（一） §3.1 经典数学的统一 ——“数形合一” 我们已在 ZFC 形式集合论的框架下定义了抽象的自然数系 N，并知道最小归纳集 ω就是一个具体的自然数系，而所有的自然数系在结构上是统一的。本讲我们将阐明：正是自 然数系的结构，最终为分析数学，乃至整个经典数学，奠定了稳固而可靠的基础，在数学史上， 第一次实现了真正意义上的?°数形合一?±。 自然数的运算 定义 1 的合理性 自然数的运算性质 自然数的大小顺序 考虑由加法运算引出的最简方程式 就会发现，方程（Eq.1）并非总是有解的。围绕方程（Eq.1）的求解，产生了自然数 的序的概念。 自然序的性质 有了上面的定理 1、定理 2 和定理 3，我们所熟悉的自然数系统就从逻辑上严 格地确立起来了。值得注意的是，上面三条定理的建立是基于自然数系的抽象结构的，即基于 皮亚诺的五条公理，与自然数系的具体实现无关。 从自然数系到整数系 自然数系的数学结构尚不能保证方程（Eq.1）总是有解，这在实际应用中极不 方便。人的实践活动要求把自然数系扩充成一个使方程（Eq.1）总有解的新数系。怎样实现这 样的扩充呢？ 整数系的定义 整数系上的运算的性质 整数系上的序 阿基米德 (公元前 287-前 212)，古希腊伟大的数学家、力学家。 有理数系的构造 有理数系的定义 有理数的运算性质 有理数的分数表示 有理数系上的序 第一次数学危机 ?有了自然数系及其上的加法和乘法运算，自然就有了方程（Eq.1）和（Eq.2） 。它们的形式是如 此简单，以致使人们觉得它们必须有解，且解唯一。然而，自然数系的结构不足以满足人们的 这种愿望，这才有了扩充自然数系的强烈愿望和动机。事实上，人类从自然数向有理数的跨越 早在青铜器文化崛起的时代就初见端倪（公元前 2500 年左右） ，到了毕达哥拉斯学派宣称“万物 皆是数”的时代，这种跨越才趋于完成（公元前 500 年左右） 。 ?毕达哥拉斯相信世界上的任何量都可以表示成两个整数之比，即某个有理数。在几何上，这相 当于说：对于任何两条线段，总能找到第三条线段，以它为单位能将两条给定的线段分为整数 段。古希腊人称这样的两条线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位的一对量。 ?然而，毕达哥拉斯学派后来发现：并不是任意两条线段都是可共度的，例如，正方形的对角线 与其一边就构成了不可公度的一对线段。这在当时人们的心理上引起了极大的震撼，引发了数 学史上所谓的“第一次数学危机” 。 ?“ 第一次数学危机” 其实是数学学科的一次巨大进步，它表明数学已经发展到这样的阶段：1） 发现了无理量；2）把证明引入了数学；3）数学已由经验科学变成为演绎科学。 数学精神与方法 第六讲 运算与迭代的威力（二） §3.2 经典数学的统一 ——“数形合一”（续） 上一节我们已看到怎样从 ZFC 系统制定出自然数系，整数系，直至有理数系。 本节将带领大家看一看： ?怎样由有理数系制定出实数系？ ?怎样理解实数系与直线的统一？ ?怎样理解数与形的统一？无理量的存在性 思考题：证明上述命题。 “ 完备化” 观念 无理数的存在说明有理数系并不像毕达哥拉斯想象的那么“完备”， 有理数系还 有必要作进一步的扩充。可是，“完备”究竟意味什么意思呢？简单地说，这里的“完备”是数学 家渴望达到的一种境界——“数与形统一” 。让我们自然地设想一下： 在一条连绵不断的直线上，选定一个原点和一个序向，并选定单位长度，那么可 以将有理数 0 对应于直线上的原点， 将数目 1 对应于直线上沿序向离原点有一个单位长度的点， 将数目 2 对应于沿序向离原点有二个单位长度的点，等等——凡是有理数都唯一地对应于直线 上 一点，这一点离开原点的距离与单位长度是可公度的，并且不同的有理数对应于直线上不同 的点——这样就实现了从有理数系 Q 到直线上某个稠密子集间的一个保序双射。可是，这条连 绵不断的直线上终归本性地存在着不能被任何有理数对应的点， 这一现象正是有理数系 Q“不完 备” 的表象。 透过 Q 的这种“不完备” 表象， 可以体会“完备” 的意味——“完备”是“数与直线 （形） 统一”的想法。】 、 分析数学的基本问题 怎样将有理数系扩充成一个完备的有序数系， 从而达成“数与直线的统一”呢？ 这事实上是事关“分析数学”基础的一个大问题。 牛顿和莱布尼兹在 17 世纪发明的微积分理论， 被誉为“人类精神的最高胜利”， 开启了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。然而，牛顿和莱布尼兹的 微积分是不严格的，特别在使用无穷小概念上是随意和混乱的。这种状况长期困扰着数学家们， 长达 200 年之久。 数学家们经过几代人的不懈努力才搞清楚，彻底消除微积分理论的漏洞，靠的 是有理数系的“完备化”思想， 即将有理数系扩充成一个完备的有序数系——实数系——的理论。 牛顿与莱布尼茨 ?牛顿和莱布尼茨都是他们所处时代的科学巨人，他们在相互独立的情况下各自创立了微积分。 就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。 ?微积分发明权的争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。由此产生的严重影响是，整个 18 世 纪英国与欧陆国家在数学发展上分道扬镳。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进 了科学的进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离了分析的主流。分析的进 步，在 18 世纪，主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。 英雄世纪 ?微积分诞生之后，数学迎来一次空前繁荣的时期。18 世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时 期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了广泛的科学领域。 ?18 世纪的数学家知道他们的微积分概念是不清楚的， 证明也不充分， 但他们却自信他们的结果 是正确的。 ?在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固；这使得在微积分的研 究和应用中出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微 积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。 ?因此在 18 世纪结束时，微积分和建立在其上的其他分析分支，在逻辑上，处于一种混乱的状 态之中。 ?历史要求给微积分以严格的基础。 】 ?微积分的严格基础 ?微积分理论和应用经过整个 18 世纪的空前展开和长期发展，在说明这一理论极其有效的同时， 也使得它的逻辑基础备受数学家们的关注， 数学界再也不能无视微积分建立在一个“随意的和混 乱的”无穷小概念之上。进入 19 世纪，分析基础严格化的时代到来了。 ?法国数学家柯西首先向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他的许多定义和论述已经相当接 近微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但 他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久就发现他的理论也存在漏洞。例如，他用了许多“无 限趋近” 、“想要多小就多小”等直观描述的语言。 ?事实上，要真正为微积分奠定牢固的基础是必须充分理解实数系的完备性才能办得到的。 可是，直到 19 世纪中叶，对于什么是实数竟没有严格的定义，数学家对实数系的理解仅停留在 数轴这种直观的感觉上，他们相当随便地使用无理数而没有考察它们的确切意义和性质。 ? 柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789---1857） ，法国数学家。他对数学的最大贡献 是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法，使微积分摆脱了对于几何与运动的直观理 解和物理解释，从而形成微积分的现代体系。 “分析算术化”纲领 ?对于实数缺乏认识，不仅造成逻辑上的间断，而且导致错误结果时常出现，同时使人无法明辨 错误出在哪里。19 世纪后半叶，数学家们开展了一场数学史上著名的“分析算术化”运动，其目 的就是要把分析建立在“纯粹算术”的基础上。这场运动的主帅是德国数学家魏尔斯特拉斯，他 关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。 ?魏氏的严格化突出表现在，他创造了一套ε-δ语言，用于重建分析体系。他用这套严格语言去 代替前人的?°无限地趋近?±等说法而重新定义了极限、连续、导数等分析学的基本概念，特 别是引进了以往被忽视的“一致收敛性”概念， 从而消除了微积分中不断出现的各种混乱和异议。 可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏氏的工作。 ?魏尔斯特拉斯认为，实数赋予我们极限、连续等基本概念，因而成为整个分析的逻辑本源。要 使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此，最可靠的办法是，按照严密的逻辑将实 数归结为整数（有理数） 。这样，分析的所有概念便可以由整数导出，以往的漏洞和缺陷就能得 以弥补。这就是魏氏的“分析算术化”纲领。 外尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815---1897） ，德国数学家。他的主要贡 献在函数论和分析方面。他发现了函数项级数的一致收敛性，借助级数构造了复变函数论，开 始了分析的算术化过程。他给出的处处连续处处不可微的函数震动了数学界。在代数方面，他 第一个给出了行列式的严格定义。他被誉为“现代分析之父”。 实数的“戴德金分割”理论 鉴于各种实数理论本质上是一回事，我们只简介戴德金的实数定义方案。 如上所见，戴德金定义实数的方法以有理数系 的分割为基础。 数与构造数的方法达成了统一！ 实数系的完备性 实数系的完备性究竟是什么意思呢？这需从实数的大小关系说起。 戴德金完备性定理 现在建立起来的全序集（R, ≦）本质上已具有将有理数系 Q 扩充成一个完备的 有序数系的功能。这里需说明（R, ≦）具有完备性是什么意思，然后再将 Q 上的加法和乘法运 。这样， （R, ≦，+，-）就构成 算扩充到 R 上（扩充到 R 上的加法和乘法运算是唯一确定的） 了我们理想中的完备有序数系——即我们精神世界中的理想直线。 （R, ≦）的完备性是什么意思呢？ 戴德金（Dedekind, J. W. Richard ，1831-1916） ，德国数学家，他因提出了把每个实数 都定义成是有理数集的一个“戴德金分割”的理论，而成为现代实数理论的奠基人 。 “自然数是万物之母”的复生 “直线”只是一个不能加以定义的几何对象——尽管它在我们心中的影像是那么地 确定无疑——与其让它这般地亦真亦幻，不如将它就“等同”于实数系（R，≦，+，-）好了。这 种“等同”实现了“数与直线的统一”。 ?现在想来， ?进一步，利用笛卡尔的坐标几何的思想就可以实现“数与形的统一”。有理数的连分数表示法 注：注意有理数的连分数表示法中有有限个整数 被使用；若使用无 限个，那么就可以表示无理数了。 无理数的连分数表示 自然数 + 四则运算 = ？ 数学精神与方法 第七讲 运算与迭代的威力（三） §3.3 迭代产生的混沌与分形 回顾自然数的基本原理之一——递归原理： 无限次迭代会发生什么现象？ 加法和乘法连同其逆运算（减法和除法）的威力在上一讲我们已有所感受。 想一想，“数形合一”的实现，竟然是对自然数无限次地运用简单四则运算的结果。那么，我们 在惊叹“万物皆数”此言不虚的同时，能不感受运算——尤其是无限次运算——的震撼吗？！感 谢上苍让我们，按逻辑给予的启示，凭借自身心灵的力量就学会了无限次运算。 在此，我们提醒大家，不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用，不要无 视“无限” 的观念所蕴含的超越性力量。 迭代与动力系统 ?自然界中的许多现象，是由严格的因果关系所支配的。例如，月亮的阴晴圆缺、四季的交替更 迭、日食和月食的发生等等。这一类完全由因果关系支配的系统，叫做决定性系统。研究决定 性系统的数学分支，称作动力系统理论。 ?决定性系统的基本特征是：在这个系统中，今日的种种现象，是昨日种种现象的必然结果；而 明日种种现象，又以今日的种种现象为其原因。这就是说，从系统的初始状态出发，依据系统 的因果规律，将确定系统的未来的一切。 ?从数学的角度看，一个映射φ:S→S 可以代表某种因果规律，其定义域 S 用于表示系统的各 种可能状态构成的集合。设 x0∈S 表示一个初始状态，那么由状态 x0 到下一个状态φ(x0) 就 是因果规律φ 在起作用；设想这种规律相继地不断作用下去，我们就会得到一个状态的序列 ——一个迭代序列： x0， x1=φ(x0) ， x2 =φ(x1) ， x3 =φ(x2) ，……。 动力系统理论的基本目的就是了解一个迭代过程之最终的或渐进的性态。 基本概念 混沌的数学描述 注：在动力系统理论中，对混沌有许多可行的定义，我们选择的定义适用面较宽且较 易检验。 简单迭代的无限次使用竟然能使二维正方形由一条曲线填满 分形几何 ?分形的概念是 1975 年由英国数学家 B.B.Mandelbrot 引入的；此概念是指欧氏空间中那种“支离 破碎”的集合。 ?分形的研究开拓了人们对于维度、尺度、结构的新看法 ；由此产生了分形几何这样一个数学 分支。 ?三十年间，混沌理论、分形几何与复杂性科学汇合，把触角伸入物理、化 学、生理学、经济 学、社会学、气象学，乃至于天文学所谈及的星体分布等领域，试图解释过去科学家们所忽略 的非线性现象，进而解释大自然和人类社会的复杂系统及其结构 。 非整数的 Hausdorff 维数—— 分形的重要特征之一 ?维数是几何对象的一个重要特征量。对于欧氏空间及其线性流形，它们的维数我们很清楚；对 于欧氏空间中的每个局部可以与一定维数的线性流形同胚的子集，其维数也是清楚的。它们的 维数统统都是整数。例如，点是 0 维的，线段和圆周是 1 维的，正方形和球面是 2 维的，等等。 ?可是，康托集 C、科赫曲线 K 和皮亚诺曲线 P（具有精细的自相似结构）是多少维呢？只有推 广了维数的概念，方能解决这些问题。 Hausdorff 维数 分形的奇妙性质 ?分形可具有分数维度：不同于整数维度的一维线段，二维矩形，分形所具有的维度可以是非整 数的，称作分数维。 ?分形具有自相似性：对于同一个分形结构，自相似就是尺度一层一层缩小的结构重复性，它们 不仅在越来越小的尺度里重复细节，而且是以某种固定的方式将细节缩小尺寸，造成某种循环 重现的复杂景象。 ?分形具有尺度无关性：对于同一个分形结构，以不同大小的量尺来量度「可观察的区域」 ，分 形会具有一致的分数维度和自相似方式。 例如， 如果我们不同程度地放大或缩小科赫雪花 曲线， 我们会发现图形的复杂度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改变。 数学精神与方法 第八讲 拓扑眼光看世界（一） 从感觉开始 人用啼哭声向世界宣布了自己的降生。光的闪烁和亲人的拍打使他进入了一个感觉世界。 人们根据自己的经验去认识客观世界，即现实存在的世界。 这些经验构成了科学的原始材料，并在人的头脑中以某种方式被加工整理，产生出 秩序、结构和系统；这就形成了科学的内容和体系。 这些科学内容健全了我们思维的基础，依靠它们我们天天去考察和评价各种事物和 各种自然现象。 冷眼观察科学体系的大厦， 我们就会发现其基础由一些确定的假设或公理构成。 在这些假设中， 从哲学的视角看，最根本的是一种信念，即，相信世界不依赖于我们，也不取决于我们的认识 而客观地存在着，并且这客观世界存在着一定的秩序和结构。我们大家也都同意这样一种信念， 即，相信我们能够感觉客观世界及其秩序和结构的存在。 那么，现在就让我们用拓扑的眼光来感觉感觉这世界的景象吧！ 拓 扑 眼 光 以拓扑的眼光来观察，世界会是什么样子？ 世界 = 空间 + 时间 + 运动 拓扑的眼光（拓扑眼）是怎样观看空间、时间和运动的呢？ 拓扑眼怎样观看空间 虽然以上的（一维) 几何图形形状各异，但拓扑眼将它们视为同一的空间而不予区分！ 面窝的拓扑变换 拓扑眼感兴趣的几何性质是那些最为持久不变的的东西， 即那些能在扭曲和拉伸后仍能保持的 性质；扭曲与拉伸只在没有断开原来连通的地方，也不连接原来本不连通的地方时才被允许。 拓扑眼蕴藏的基本概念 拓扑空间是一个高度抽象的概念；在此，空间的延展性（连续性）已不能借助于度量的手段来 描述，而靠拓扑来描述。 无形胜有形， 无招胜有招 ——一种境界！ 拓扑眼看到的空间 在拓扑眼看来，拓扑等价的空间没有区别，可视为同一个空间；拓扑 眼观察到的空间是没有定形的，它观察一个空间时，只关注与这个空间拓扑等价的全体空间所 共有的性质，这种性质称作拓扑性质，或拓扑不变量，例如， ? 稠密性、可分性、紧致性、连通性， ? Hausdorff 分离性、正则性、正规性， ? 有边与无边，可定向与不可定向， ? 维数、Euler 示性数， ? 同调群、同伦群，等等； 拓扑眼区分出两个空间的不同是靠观察到它们具有不同的拓扑性质而实现的。 拓扑空间的例子 德国数学家 M?bius 和 Klein 拓扑眼怎样观看时间 为表达我们的时间概念，先引入必要的代数结构。 时间，不论长短，只论时刻。 拓扑眼看到的时间 在拓扑眼看来，时间，不论长短，只论时刻，可用拓扑交换群（或拓扑 交换幺半群）的概念来描述——所有观察时刻在结构上形成一个拓扑交换群（或拓扑交换幺半 群） ，其中观察的初始时刻用群的零元来代表。 注意：时间有三条基本属性，连续性、交换可加性和单一方向性。连续性和交换可加性可以用 拓扑交换群的拓扑结构和群结构自然地加以表现； 而时间的单一方向性， 则可以用拓扑性质—— 维度限定在“0 维”或“1 维”——来加以体现。 拓扑交换群与拓扑交换幺半群的例子 庞加莱论空间和时间 空间为什么是相对的？它在多大程度上是相对的？很清楚， 如果我们周围的所有物体和我们身 体本身以及我们的测量仪器在它们彼此之间的距离丝毫不变的情况下被转移到空间的另一个区 域，那么我们便不会觉察到这一转移。……假使所有的物体也和我们的测量仪器以相同的比例 伸长，我们也不会觉察到伸长的发生。因此，我们不仅无法知道物体在空间中的绝对位置，甚 至连“物体的绝对位置”这种说法也毫无意义，我们同意仅仅说它相对于另一物体的位置；“物体 的绝对大小”和“两点之间的绝对距离”的说法也无意义；我们必须说的只是两个大小的比例、两 个距离的比例。 但是， 就此而言还有更多的东西： 让我们设想， 所有的物体都按某一比原先更复杂的规律形变， 不管任何规律，我们的测量仪器也按同一规律形变。这样，我们也将不能觉察出形变这一点； 空间比我们通常认为的还要相对的多。我们只能觉察到物体的跟测量仪器之形变按不同规律进 行且同时发生的形变。 空间具有独立于用来测量它的仪器的几何学特性吗？我们说过， 如果我们的仪器经受了同样的 形变，那么空间也能够在我们意识不到它的情况下经受无论什么样的形变。因此，空间实际上 是无定形的、松弛的形式，没有刚性，它能适应于每一个事物；它没有自己的特性。[把空间] 几何化就是研究我们的仪器的性质，即研究固体的性质。 但是，由于我们的仪器是不完善的，每当仪器被改进时，几何学必须修正。……如果仪器理想 的话，那么几何学就是研究仪器所具有的性质。但是，为了做到这一点，就必须知道，什么是 理想的仪器（而我们并不知道，因为不存在理想的仪器） ，只有借助于几何学，才能够确定理想 的仪器；这是一种循环论证。 于是，我们将说，几何学研究一组规律，这些规律与我们的仪器实际服从的规律几乎没有什么 不同，只是更为简单而已，这些规律并没有有效地支配任何自然界的物体，但却能够用心智把 它们构想出来。在这种意义上，几何学是一种约定，是一种在我们对于简单性的爱好和不要远 离我们的仪器告诉我们的知识这种愿望之间的粗略折衷方案。这种约定既定义了空间，也定义 了理想仪器。 我们就空间所说过的话也适用于时间。 ……时间本质上是相对的。如果所有的现象都慢下来， 我们的钟表也如此，那么我们便不会意识到它；无论支配这种放慢的规律是什么，情况都是如 此，只要它对于所有各种现象和所有钟表都相同。因此，时间的特性只不过是我们的钟表的性 质而已，正如空间的特性只不过是测量仪器的特性一样。 我们不仅没有关于两段时间相等的直觉， 甚至没有关于发生在两个不同地点的两个事件的同时 性的直觉。 一个事件发生在地球上，另一个事件发生在天狼星上；我们将怎样知道，谁在前发生，或者同 时发生，或者在后发生呢？这只能是作为约定的结果。 空间和时间不再是两个绝然不同的、能够被独立看待的实体，而是同一整体的两个部分，是两 个如此紧密结合的部分，以致于不能轻易地把它们分开。 大数学家庞加莱 虽然最初一些重要的拓扑结果和关系早已为欧拉、高斯和黎曼所发现，但是，拓扑学作为科学 的分支是在 19 世纪由庞加莱奠基的。 拓扑眼怎样观看运动 拓扑共轭 拓扑眼看运动 世界上的运动虽然是复杂的和多样的， 但可以被归结为一些基本的模式加以观察和研究。 在拓 扑眼看来，拓扑动力系统就是运动的基本模式之一。 拓扑眼观察运动时，把拓扑共轭的拓扑动力系统看作是同一种运动模式而不予区分。因此，拓 扑眼对运动的观察是定性的观察，是整体的观察。当它观察一个质点的运动情况时，它关心的 是该质点的最终的运动趋势和整体轨道的定性性态；当它观察一个质点组的运动情况时，即观 察一个子空间的运动情况时，它关心的是该质点组最终的运动趋势、各质点的轨道性态以及各 轨道间的关系。 了解一个拓扑动力系统的轨道空间， 可以给出对该系统所支配运动的一种总体看法， 可以看作 是对动力系统所呈现的力场的一个总体看法。 龟兔赛跑——拓扑动力系统一例 芝诺说： 兔的速度是龟的十倍—— 数学精神与方法 第九讲 拓扑眼光看世界（二） 关于物理学空时概念的评述 我们对于运动在空间和时间连续统中的物质有着来自直觉的观念， 但是其中每一个观念都是难 以捉摸的。 空间的广延性、 时间的流逝、 物质的惯性和运动， 其中没有一个概念是完全独立于其它概念的， 它们的定义互相依赖，而且在一定程度上是集体性的。 爱因斯坦的相对论表明了，空时是什么的问题，在某种程度上与观察者有关，而且空间和时间 都不是独立于物质而存在的。从概念观点上看，使情况更为复杂的是，量子物理告诉我们，观 察者要影响观察结果。因此，似乎先验地独立于观察者而存在的空间和时间事实上不仅与牛顿 的绝对性观念不相容，而且与人类的客观性理想也不相容。 物理学是一门充满着概念上的陷阱的学科， 其刻意追求的科学客观性事实上已成为一个难以达 到的目标。 拓扑眼中的一维世界 观察蚂蚁搬家，候鸟迁徙，两者运动的轨迹都给出了一维空间的图景。一维空间，通常我们认 为，就是欧几里得几何中的“直线”——令人疑惑， 这是物理世界中的“直线”吗？ “每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。” （摘自牛顿的《自然哲学之数学原理》 ） 看来，物理世界中的“直线”，就是物体没有受到外力作用时，它运动的轨迹。问题是： 有没有不受外力作用的物体？若有，它所做的匀速直线运动是相对于那个参照物的？ 何谓“直线”？从观念上讲，“直”的概念离不开“运算”（尤指线性运算） “运算”需先对参与运 ， 算的量进行“测量” ，而“测量”永远摆脱不了“误差”，更不必说“测量”会不可避免地对被测对象 产生影响 （所测的必然不是要测的） 因此， ， 我们原则上没办法知道物理上的直线是什么， 当然， 也就从来没有真正弄明白过一维空间是什么！ 我们能否撇开“测量”来考量物理世界中的一维空间呢？ 以拓扑的眼光来考察一维空间——或许， 这更接近于所要理解之对象的本质 ——不愧为是一种明智之举。在拓扑眼看来，一维空间可用一维的无边连通流形作为数学模型 来加以描述。一维的无边连通流形只有两类： 在拓扑眼看来：选 S1 比选 E1 好 1 E 可以嵌入 S1 中而成为后者的一个真子空间； S1 是紧致而连通的（有界无边） ，它是 E1 的一点紧致化； S1 没有与自身同胚的真子空间，而 E1 无此性质。 S1 中的运动 有趣的问题是：圆周上的哪种运动可以看作自然运动，即，不受外力作用的运动？自然运动的 观念有存在的必要吗？ 拓扑眼中的二维世界 在拓扑眼看来， 二维空间的合理模型可在紧致的二维无边连通流形中搜寻。 紧致的二维无边连 通流形称作闭曲面，其拓扑分类情况远比一维无边连通流形的分类情况复杂。事实上，闭曲面 用拓扑眼看，有无穷多类，其分类情况现介绍如下： 闭曲面分类定理 任何一个闭曲面必定同胚于且只能同胚于下列曲面之一： S2 （可定向） ； T2，2T2，3T2，…，mT2，… （可定向） ； RP2，2RP2， 3RP2，…，mRP2, … （不可定向） 。 球面与圆盘 Mobius 带及其表示 German mathematician August M?bius ?Born: 17 Nov 1790 in Schulpforta, Saxony (now Germany) Died: 26 Sept 1868 in Leipzig, Germany ?M?bius was the first to attempt the classification of surfaces. In an 1870 paper he proved the above theorem for orientable surfaces smoothly imbedded in 3-dimensional Euclidean space. 环面 T2 与环柄 在环面上挖去一个圆盘（的内部）得到的就是所谓的环柄。 在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个环柄的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周焊接， 这种手术称作在该曲面上添加一个环柄。例如，在球面上添加一个环柄，得到环面。 环面的形变（包志强制作） 实射影平面 RP2 的制作 在一个曲面上挖去一个圆盘，然后将一个 M?bius 带的边界圆周与该曲面所开圆洞的边界圆周 焊接，这种手术称作在该曲面上添加一个 M?bius 带。例如，在球面上添加一个 M?bius 带，得 到实射影平面 RP2。注意，实射影平面 RP2 是不能嵌入 3 维欧氏空间的。 Klein 瓶 2RP2 的制作（1） Klein 瓶事实上不能嵌入 3 维欧氏空间，这里画出的 Klein 瓶是有洞的 Klein 瓶。 Klein 瓶的制作（2） The Klein bottle is named after the German mathematician Felix Klein (1849-1925). Born: 25 April 1849 in Düsseldorf, Prussia (now Germany) Died: 22 June 1925 in G?ttingen, Germany Felix Klein is best known for his work in non-euclidean geometry, for his work on the connections between geometry and group theory, and for results in function theory. He was born on 25/4/1849 and delighted in pointing out that each of the day (52), month (22), and year (432) was the square of a prime. 闭曲面的制作 任何闭曲面必同胚于或者球面，或者球面上添加有限个环柄，或者球面上添加 有限个 M?bius 带。 这些曲面中的任意两个是不同胚的。 问题：作为二维空间的数学模型，选哪种闭曲面为好？ 从拓扑眼的角度看，选球面 S2 为好。这是因为 2 S 是二维欧氏空间的一点紧致化； S2 不能与自己的任何真子空间同胚，特别地，不与 S1 同胚； S2 具有最好的各向同性性质，具体说就是: 若 c 是 S2 中的一条简单闭曲线，则 （1）S2c 有两个连通分支，而且这两个连通支都同胚于开圆盘； （2）c 在 S2 中的加宽一定是圆柱面。 2 S 中的运动 现考察 S2 中的运动，即 S2 的子空间上的动力系统。 n 维(n≥3)空间的理想模型 对于一维和二维空间， 我们从拓扑眼的角度观察， 分别选择 S1 和 S2 作为描述它们的数学模型。 在做这样的选择时，我们是做了充分考虑的，因为我们知道一维和二维无边连通流形的拓扑分 类，因此给出的选择能够通过系统地对比预选对象而做出。对于三维空间，我们自然倾向于选 择三维球面 S3 作为描述它的数学模型。可是，我们有充分的理由做出这样的选择吗？ 这里产生了一个自然的问题： 三维的无边紧致连通流形有哪些拓扑类型？针对此问题， 一个首 要的基本问题是： 庞加莱猜想 如果 M 是一个三维的无边紧致连通流形，并且是单连通的，那么 3 M 与 S 同胚。 这是法国数学大师庞加莱于 1904 年提出的猜想。许多数学家曾尝试去证明这一猜想；不止一次 好像已经成功了，可是并没有真正成功。 出乎许多数学家的意料，1961 年，美国数学家 S.Smale 证明了高维的庞加莱猜想。1982 年， 美国数学家 M.Freedman 又证明了四维的庞加莱猜想。他们的结果如下： Smale 定理 如果 M 是一个 n 维的无边紧致连通光滑流形，并与 Sn 有相同 的同伦型，那么当 n 大于 4 时，M 与 Sn 同胚。 Freedman 定理 Smale 定理在 n 等于 4 时也成立。 这些结果是微分拓扑理论中的著名成果， S.Smale 和 M.Freedman 因此而分别荣获 1966 年和 1986 年的菲尔兹奖。 被列为七大“数学世纪难题”之一， 美 Poincare 猜想是国际数学界长期关注的一个重大难题， 国 Clay 研究所悬赏百万美元征求证明。 100 多年来，无数的数学家关注并致力于证实 Poincare 猜想。S.Smale 曾因解决 4 维以上广 义庞加莱猜想获 1966 年菲尔兹奖，之后, M. H. Fredman 解决了 4 维广义庞加莱猜想获 1986 年 菲尔兹奖 , 但本来 3 维庞加莱猜想仍未解决。20 世纪 80 年代初，美国数学家 Thurston 教授因 为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。之后，美国数学家 Hamilton 在这个猜想的证明上取得了关键进展。2003 年，俄罗斯数学家 Grigory Perelman （格里高利·佩 雷尔曼） 更是提出了解决这一猜想的要领和框架，并取得重大突破。 佩雷尔曼是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员， 在过去 10 年中一直致力于微分几何与代 数拓扑的研究。2002 年 11 月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了由美国 数学家瑟斯顿（William P. Thurston）在 25 年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”，而“庞加 莱猜想”正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的“证明”随后又被推翻，因此数学 界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告，介绍了证明 的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。 2003 年 4 月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三 场演讲，结果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备——或者流利地应答，或者指出其 属枝节末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，“即使证明有误，他也发展了 一些工具和思想，足以导致对‘几何化猜想?的精致处理，其中有极为振奋人心的东西”，克莱 研究所所长卡尔森（Jim Carlson）如是说。 在 Hamilton 和 Perelman 等人重要工作基础上，中国数学家朱熹平和曹怀东给出了 Poincare 猜 想和 Thurston 几何化猜想的完整证明，全文 300 多页，2006 年六月份发表在《亚洲数学杂志》 上。 对于一项世界难题的证明往往要经过数学家们长时间的系统审查之后才能最终确立其在数学 界的地位。 Sn(n≥3) 的良好性质 Sn 是连通紧致无边的光滑流形； Sn 是 n 维欧氏空间的一点紧致化； Sn 没有能与其自身同胚的真子空间； Sn 具有良好的各向同性性质，例如，如果 M 是 Sn 的微分同胚于 Sn-1 的正则子流形，那么 （1）SnM 恰有两个连通分支，它们是同胚的，并以 M 为边界； （2）M 在 Sn 中的加宽同胚于 Sn-1×[0,1]。 拓扑眼看高维空间 根据现有的拓扑理论，选择 S3 作为描述三维空间的数学模型，只能基于以往的经验。即便如 此，由于 S3 具有的良好性质，我们对这样的选择是有信心的。 不仅如此，我们还愿意在自己的思想意识中，建构起能够容纳世间万物，并能容纳我们思维产 物的更高维空间；作为这种空间的理想模型，Sn 应成为我们的最佳选择。这不仅是因为 Sn 具有 上述良好性质，还因为我们有下述结果： Whitney 嵌入定理 m 维光滑流形总可以嵌入 n≥2m+1 维欧氏空间中， 从而总可 n 以嵌入 n≥2m+1 维球面 S 中。 S3 中的运动 拓扑化的世界观 拓扑学的思想不仅超出了经典数学的范畴， 而且带有哲学思辨的品味。 大数学家庞加莱不愧为 也是一位哲学家，他所开创的拓扑学理论从一开始就仿佛是针对哲学命题——世界是什么？世 界怎么样？——引入的。他对空间、时间和运动的看法，或许比爱因斯坦的相对论观点走的还 要远。他那种超越“量”与“测量”的见解分明就是一种新的世界观——拓扑化的世界观。 今天，拓扑学已作为重要的数学工具，同时也可以说作为一种世界观，被应用于广泛的研究领 域之中。 现在，让我们列出拓扑流形的定义结束本讲： 数学精神与方法 第十讲 数学的结构与统一性 数学与哲学 ?对比一下数学史与哲学史，会发现有一点明显的不同。 数学家在前人工作的基础上工作，他们总是用自己的新建筑使前人的工作显得更加完 满、更加巩固。数学家总是在承认别人工作的基础上添加自己的一页。 哲学家也在前人工作的基础上工作，但是他们总是要摧毁前人的建筑，用自己的工作 证明别人是错的。哲学家总是在批判别人观点的同时，写出自己的一页。 ?哲学在反复地破旧立新中成长。 数学在不断的建设中发展。哲学曾经把整个宇宙作为自 己的研究对象；那时，它包罗万象，而数学只不过是算术和几何而已。 17 世纪，自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学的中心问题从“世界是 什么样的”变成“人怎样认识世界”。 这个时候， 数学扩大了自己的领域， 它开始研究运动与变化。 今天， 数学在向一切学科渗透， 它的研究对象是一切模式， 形成一个一个的抽象结构—— 希望概括所有可能的关系与形式。可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析，把问题 缩小到“人能说出些什么”。 哲学应当是人类认识世界的先导，哲学关心的首先应当是科学的未知领域。 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲 学家谈论无限与连续在数学家说明无限与连续之前。 一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时，哲学沉默了。它倾听科学的发现， 准备提出新的问题。 哲学，在某种意义上是望远镜，它被用于观察前方。 ?数学则相反，它最容易进入已获得足够丰富事实的半成熟或成熟的科学，能够提出规律性或前 瞻性的假设，有力推动科学研究沿着正确方向深入开展下去。它好像是显微镜，对研究对象作 精细观测和分析。 哲学从一门学科退出，意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科，甚至控制一门学科，意味 着这门学科达到了成熟的阶段。 哲学的地盘缩小，数学的领域扩大，这是科学发展的结果，是人类智慧的胜利。 ?但是，宇宙的奥秘无穷。向前看，望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现，而在它 们出现之前，哲学有许多事情可做。面对着浩渺的宇宙和人类的种种困难问题，哲学已经放弃 的和数学已经占领的，都不过是沧海一粟。 ?哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但是它可以从事任何具体学科无法完成的 工作，它为一门具体学科的诞生准备条件。 数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作，但是离开具体学科之后无法做出贡 献。它必须利用具体学科为其创造条件。 ?哲学与数学——人类的望远镜与显微镜。 数学是统一的吗？ ?数学历经 2500 多年漫长岁月的累积性发展，使之演变成为今天这样的由无数枝繁叶茂的大树 构成的森林。它拥有十多个大的分科：代数、数论、几何、拓扑、函数论、微分方程、泛函分 析、计算方法、概率论、数理逻辑、运筹学、图论、模糊数学……这些分科又分为多达数百的 分支。数学每年产生几万篇论文，经常提出新概念、新定理，形成新分支。这一切使人眼花缭 乱。 ?数学的各个部分是相互联系相互支持的，由于各部分相互沟通、相互促进，而使其发展越来越 迅速，并呈现出五光十色、气象万千的景象。 ?人们不禁要问：数学究竟是一门科学，还是一类科学？ ?历史上，哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来，那时数学要比今天简单的多。在毕达哥 拉斯时代，只有算术和几何。毕达哥拉斯做了第一次尝试，试图把数学统一于自然数。这次尝 试由于无理数的发现而以失败告终。 ?以后相当长的时间里，人们寄希望于几何，希望把数学统一于欧几里得几何。最后发现，连几 何也是不统一的，人们的希望又破灭了。 ?莱布尼兹、弗雷格和罗素都希望把数学统一于逻辑，使庞大的、复杂的、内容丰富的数学归结 为非常通俗的、直观的、易于洞察的逻辑，结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难以洞察的 层次理论和可化归公理。 ?直觉主义流派的布劳尔和形式主义流派的希尔伯特，又希望数学统一于算术。结果，连算术也 不是统一的——这是哥德尔定理的推论。 ?最后，数学家和逻辑学家寄希望于把数学统一于康托开创的集合论。但是，哥德尔和库恩对选 择公理的研究成果表明，集合论自身就是难于统一的。 在经过这些试图把数学统一起来的努力都失败之后，数学反倒变得更加生机勃勃，更加丰富多 彩，更加多样化了。数学不断地用新成果使自己壮大，不断地修改着、改组着自己的理论而生 出新的分支，以致使人产生一种感觉：数学不是具有统一对象和统一方法的科学，而是一系列 建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确确定的概念之上的学科。 ?法国的布尔巴基学派提出了与此相反的观点。他们认为：别看外部现象是多么光怪陆离、 五光十色，其实，数学由于内部的进化，比任何时候都巩固了它的各部分的统一，并且建立起 比任何时候都更加有联系的整体，形成了数学所特有的中央的核心。 】 他们认为：数学的各种理论之间的关系是可以系统化的，可以用“公理方法”作统一的总结。 布尔巴基不是一个人，它是一个集体的笔名。这个集体最初的成员是巴黎师范学院的 一群大学生。在四十多年间，布尔巴基的成员在新陈代谢地变化着，然而努力的方向始终一致。 数学的基本结构 ?数学的表面特征是一连串的推理。 每种数学理论都由一串串推理的长链构成，可以说，演绎推理是数学的特点。 能不能说演绎推理就是数学的统一基础呢？ 这样说不能说是错的，但是太肤浅。演绎推理是一种方法，一种把思想和思想联结起 来的工具。数学家可以用，别的科学家也可以用。就像实验的方法，生物学家可以用，物理学 家也可以用。我们能把生物学与物理学统一为一门学科吗？ 同理，不能仅仅因为各个数学分支都使用演绎推理的方法，就宣称数学是统一的，应 当看到数学推理的长链背后还有更本质的东西。这种更本质的东西，真正反映了数学的什么特 点呢？布尔巴基学派称之为“结构”。 数学研究的对象，慢慢地显露出了它的轮廓。它研究结构——从不同的模式中、系统中抽象出 来的共同结构。 ?首先是集合。集合好像是一片空地、一张白纸、一群没有分派角色的演员。 一旦在集合的元素之间引进关系，集合的元素就有了自己的个性，根据关系的性质， 集合上开始出现结构。 结构不是人主观上随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经 验上升为概念的结果。 ?布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构，即母结构，有三种： 一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。 一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。 还有一种叫做拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界等这些空间性质。 ?三种基本的数学结构恰好是现实世界的基本关系与形式在我们头脑中的反映： 代数结构——运算——来自数量关系； 序结构——先后——来自时间观念； 拓扑结构——连续性——来自空间经验。 然而，这些东西一旦抽象成数学概念，成为脱离具体内容的“结构”，它们就可以用到任何 有类似性质的系统之中，而不一定与时、空、数有关了。 ?一个系统可以具有几种结构。 例如实数系， 它有加减与乘除， 这构成了两种有联系的代数结构， 它的元有大小之分，这构成它的序结构，它的连通性则体现了其拓扑结构。 ?基本结构可以加上一些公理派生出子结构， 两种以上的结构可以加上结合条件 （又称相容条件） 产生出复合结构。 例如，对于实数，如果 a>b，则 a+c>b+c；此表明代数结构与序结构是相容的。 ?通过结构的变化、复合、交叉，形成形形色色的数学分支，表现为气象万千的数学世界。 关于数学的结构观 ?有了结构的思想观点，当数学家遇到新的研究对象时，他自然而然地会想，所遇到的事物能不 能放到某个已知的结构之中？如果可以，便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的 武器。 历史上有过这样的例子：数学家长期不能理解复数，把它叫做虚数。后来发现，复数 可以用平面上的点表示，这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数 的研究立即有了实际意义，找到了应用，获得了飞速发展。这表明，把新的陌生对象纳入已知 的结构之中是多么的重要。 布尔巴基学派承认，把数学看成研究各种结构——这些结构以几种母结构为骨架不断地生长和 发展——的科学，仍然是对数学现状的粗略的近似。结构观点是针对数学整体的概括性观点， 可是数学中的确还有一些有特色的内容无法由已知的基本结构加以规范，这些内容也可能是很 重要的。例如，数论中的大量孤立问题，就很难与已知的结构很好地联系起来。 ?布尔巴基学派也主张，结构不应当是静止的，数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为 数学是一门对外开放的生命力旺盛的学科，对其不能“盖棺论定”，不会有终极真理。 总的说来，布尔巴基学派把数学统一到结构的观点上，是符合辩证唯物主义认识论的。因为： 它否认了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们的实践经验，正确地描述了数学 中结构概念的抽象形成过程； 它用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，说明什么使数学统一起来并 使它有多样性； 它用发展变化的观点看数学，主张结构不是一成不变的； 它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验， 用科学上的成功经验支持结构观点。 结构观的形成过程与启示 ?结构观点的产生，不是偶然的。布尔巴基学派自己指出，这是半个多世纪以来（即从 19 世纪 末期到 20 世纪中期）数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理方法从 欧几里得开始，到了非欧几何产生之后，数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法，经过 第三次数学危机的考验，特别是由于形式主义学派的领袖希尔伯特的大力提倡，已在数学实践 中生根、开花、结果，终于更上一层楼，形成了“结构”的观念。 一开始，人们追求公理系统的相容性和完备性。也就是说，在公理系统中，不能有两个相互矛 盾的命题同时为真（这是相容性要求） ，以及任何一个命题的成立与否，必能加以判定（这是完 备性要求，它曾是希尔伯特的坚定“信念”） 。后来，人们研究发现，对一般的公理系统来说，相 容性与完备性是相互矛盾的要求，两者不可兼得！ ?于是，数学家们终于认识到，公理化的数学系统，相容性当是起码要求，而完备性要求则必须 放弃。这意味着，一般的数学系统，总有不可判定真假的命题。更有意味的是，公理系统的不 完备性并不是坏事，而是好事。公理是对所研究对象的限制，限制越多，研究面越窄。因此， 公理系统不完备，意味着系统尚可容纳更丰富的对象，意味着研究结果可适用于更广的范围。 在这种认识的启迪下，数学家们研究了许多不完备的公理系统，例如，群、环、域、线性空间、 拓扑空间、测度论、概率论等等。数学实践证明，对不完备性系统的研究有强大的生命力，它 促使人们对公理系统进行分解，分解成一些更基本——更不完备的公理系统，这终于促成了结 构观点的出现。 ?经典数学研究的对象限于空间形式与数量关系。现在，数学完成了更高层次的抽象，使形式脱离空间，使关系脱离数量，把纯形式与纯关系作为研究对象。一旦抽象出纯形式与纯关系，形 式与关系之间的区别就不再是必要的了。纯关系，无非是关系的形式；纯形式，也只能表现为 形式之间的关系。两者已是一回事，于是称之为结构。 当数学研究数量关系时，人们可以问：数学所研究的关系是不是真理？ 当数学研究空间形式时， 人们可以问： 数学研究的形式， 是不是我们这个真实空间的性质？ 现在，数学研究的是结构，人们还能问什么呢？数学提供了一套一套的结构，只要哪 种对象符合某一套结构的条件，关于这个结构的结果便可以用上去。这里，问题只在于选择适 当的结构，而不在于数学结论是不是真理。由于结构已是纯粹的抽象物，关于结构的性质只接 受逻辑的检验，因而数学科学成为可信的真理。 数学家把结构作为研究对象，这使他完成了从面向个别需要到面向普遍需要的历史性转变，使 他开始真正追求占领无限广阔的应用市场。可以说，来自科学实践的客观规律通过数学结构得 以精确表示，并且其威力借助数学威力得以刻画。当然，客观规律的真理性是在实践的反复检 验过程中确立起来的，这一过程也可以看作检验了数学结果的真理性。从数学的整体上看，哪 些结构需要增加，哪些结构需要修改，哪些结构需要组装在一起，哪些结构会代代相传，这些 事关数学研究方向和发展进程的信息，并不由数学家来说，而是来自科学实践或更广泛的社会 实践。 希尔伯特空间 ——欧式空间结构的无限维推广 希尔伯特关于几何基础的奠基性工作，令人信服地表明，依靠公理化方法能够 构建何等辉煌的理论系统。在希尔伯特的鼓励下，数学家们，例如，Frechet、Schmidt、Riesz、 Banach、Hahn、Helly、Wiener 和 Von Neumnn 等一批数学家，开始着手建立抽象空间的理论， 并进而展开了对这一理论的深入研究。抽象空间的公理系统，形式上远比初等几何（例如，欧 式几何、射影几何）的公理系统来得简单，但其展开的理论系统或体系，却具有更大的包容性 和适用性，因而具有更广阔的应用前景。最初的成果和成功已使开拓者们欢欣不已，进一步的 深刻结果（无论是理论的，还是应用的）令人神往，有待更富创新观点的新一代数学家去发现 或构造。 希尔伯特空间的定义 作为抽象空间的重要范例，我们向同学们推介希尔伯特空间。 】 下述定理列出了内积空间最重要的基本性质，其中（1）（2）（3）三条性 、 、 质可用于诱导空间上的一个自然度量。 历史回音壁 希尔伯特空间，是非常重要的一种抽象空间；它上面既有代数结构，又有拓扑结构， 是多种基本数学结构相容地装备起来的一种复合体。历史上，这一概念刚刚出现，就幸运地得 到了物理学界的认可和鼓励。在量子力学开创之初，物理学家发现，旧的数学工具库中竟然没 有合适的工具可用。四顾茫茫然之际，他们突然发现，刚刚冒出来的希尔伯特空间中的自伴算 子理论，正是自己所需的数学工具。这岂不令人欣喜若狂。为了使用这一新奇工具，当时的物 理学家兴致勃勃地学习希尔伯特空间及自伴算子理论。 自伴算子的定义 注：在量子力学中，微观系统的状态由希尔伯特空间中的向量来表示，而位置、动量和能 量等重要的观察量则都被定义成了希尔伯特空间中的自伴算子。
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