一个收敛无穷级数 paradox

来源: BeLe 于 2014-08-13 08:21:15 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 次 (879 bytes)
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Note:  All the series on this page are convergent!!!


The series  

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ......

is a convergent alternating series. Let S be the sum.

Then S = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ...    is positive.  .......... (1)



On the other hand,

S = 1 - 1/2 -  1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + 1/7 - ......

= (1 - 1/2)  - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

= 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - 1/12 + .....

= (1/2) [1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -  1/6 + ...... ]

= S/2 .

Hence, S = 0. But this contradicts (1).

所有跟帖： 

• I even don't look at it. It is wrong. -Maike369- ♂ 给 Maike369 发送悄悄话 (72 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:24:47

• S can also be Infinite. -skyport- ♂ 给 skyport 发送悄悄话 skyport 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:26:12

• 这个级数不收敛 -skyport- ♂ 给 skyport 发送悄悄话 skyport 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:33:23

• +1 -huanhuanlele- ♂ 给 huanhuanlele 发送悄悄话 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:35:58

• 这两个不是同一个数列，怎么都是S? -soundofsilence- ♀ 给 soundofsilence 发送悄悄话 soundofsilence 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:34:14

• 把数列中的数挪一下位置 -DTMom- ♀ 给 DTMom 发送悄悄话 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 09:56:54

• 是。但是不是对等的，等数再多会看出来。 -soundofsilence- ♀ 给 soundofsilence 发送悄悄话 soundofsilence 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 10:01:45

• 要不，怎么能迷惑一大堆。 -DTMom- ♀ 给 DTMom 发送悄悄话 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 10:09:00

• 用“有限”的办法解决“无限”的问题，结果就会是这样矛盾了。 -Rock.rose- ♀ 给 Rock.rose 发送悄悄话 Rock.rose 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:37:37

• 这里的问题在于，有些项被乱用了。比如1/10被用于（1/5-1/10）一次，但是后面必然又杜撰出另一个1/10 第二次用于 （1 -ca981- ♂ 给 ca981 发送悄悄话 ca981 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:52:28

• 后面必然又杜撰出另一个1/10 第二次用于 （1/10-1/20），这是典型的鱼目混珠方法，确实能唬人 -ca981- ♂ 给 ca981 发送悄悄话 ca981 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 08:54:49

• (1/10 - 1/20) never occurs in the pattern. -BeLe- ♀ 给 BeLe 发送悄悄话 BeLe 的博客首页 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 09:08:52

• 1/10，1/20这类合数也许可以有不同的方法得到，但是1/11/ ，1/22，以及 1/17，1/34这类素数， 如何得到？ -ca981- ♂ 给 ca981 发送悄悄话 ca981 的博客首页 (92 bytes) () 08/13/2014 postreply 09:50:34

• 原来这也是一个经典的例子 -ca981- ♂ 给 ca981 发送悄悄话 ca981 的博客首页 (27823 bytes) () 08/13/2014 postreply 11:52:15

• 不绝对收敛的级数不可以随意换项或组合。 -trivial- ♀ 给 trivial 发送悄悄话 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 09:07:01

• 为什么呢？ -huanhuanlele- ♂ 给 huanhuanlele 发送悄悄话 (0 bytes) () 08/13/2014 postreply 09:10:10

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