我希望大家和我一起回到学龄前儿童的状态。只有这样你才能看清问题的本质。
1＋1＝2 是一个很难的问题。我们真正理解了吗？
第一个难点是：什么是”1″？
第二个难点是：什么是”＋”？
第三个难点是：什么是”＝”？
第四个难点是：什么是”2″？
什么是”1″？小孩儿不知道什么是”1″ ，你知道吗？你见过1吗？通常情况下，老师的教法是用实物，比如用带磁铁的小猪，小鸭，苹果，香蕉。可以把他们吸到带金属的黑板上，真实可见的东西是的我 们对存在的基本体验。其他都不太可靠。我们谁也没有见过1。那让我用符号 O 来表示苹果，J 来表示香蕉。
让我们把他们放到一起，于是黑板上出现了如下公式：
（1）O+O=OO,
好吧。我们见过苹果，所以O没什么问题，但什么是”＋”？什么是“＝”呢？其实小孩一般还可以接受（1），接受的办法就是忽略“＋”。（1）不就是 “OO=OO”吗？理解“＋”太难了。我先跳过。先来谈谈“＝”，其实这个更难！“＝”（等于）是一件很难理解的东西。在现实世界里我们基本没有见过两个 完全一样的东西。“OO=OO”两边的苹果其实是不一样的。也许他们的颜色有些区别，或磁铁的吸力的差别，等等。那么”＝“就很难理解了。在生活里的中 文，我们不说等于，我们说”一样“。左边的“OO” 和右边的“OO”在什么意义下是“一样”的呢？通常我们只能说我们可以建立左右两边的一一对应（遗憾我还是用到了一一，呵呵）。比如：
OO （左）
| |
OO （右）
其实孩子们是敏锐的。一定有看上去很“笨”的孩子纳闷，为什么老师不选择下面这种呢：
OO （左）
X
OO （右）
如果我们定义左右两边的苹果“一样”就是有一一对应，那么左右两边的苹果至少有两种不一样的“一样”！这又是什么意思呢？这是不是在说左右两边的苹果还是不太一样呢！那你让一个深刻（天真而已）的孩子如何理解呢？
插个小评论： 很多深刻的孩子在我们肤浅的教育的第一步，就开始被磨灭他们的天才，打击他们的信心。孩子们学到的是如何让别人满意，而不是去理解。只有“聪明”的孩子才讨老师喜欢。
一般幼儿园的老师会这样加强理解。假设孩子们已经有了对“OO=OO”一种模糊的理解。我们在来类比地加强这种所谓”理解“。我们再摆一个在板上：
（2）J+J=JJ
当然其实就是”JJ＝JJ“。按我们的假设孩子们已经有了对“JJ=JJ”一种模糊的理解。这时候老师试图能够“抽象”出来一个概念1和2。办法就 是试图 说明O和J，OO和JJ也在某种意义下是“一样”的。可是对孩子来讲JJ与OO很不同啊，只能说JJ与OO可能可以对应起来。具体做法还是给出一个对应， 比如：
OO
| |
J J
但这不是唯一的选择。还可以有如下对应：
O O
X
J J
注意给出一个轻轻楚楚的对应是很有必要的，否则我们无法将JJ与OO等同起来更无法理解”2″。这一点可以有下面的情况来说明：请比较
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 和
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ。
不给出一个对应，天知道他们怎么是回事儿。我是随便写的，不会有同学真的去比较他们吧，最好不知道，留下一个未知的神秘感。
总结一下。
1。我们其实顶多能够把“＝”理解成一种对应。
2。而这种对应往往还不唯一。两个东西可以以两种不同的方式“一样”，还是一样吗？ What does this mean?
3。这两条其实在说，我们原来以为的“＝”是一种“绝对的一样”（我也不知道我指什么，你们知道吗？）可能是一种误解。
问题：我们能不能通过所谓的“抽象”过程，能够在另一种“抽象”的层次上建立“绝对的一样”的概念呢？那么1＋1＝2是不是就可以严格的定义和理解了呢？
插个小评论：我们通常说的所谓抽象，其实是故弄玄虚的不解释，不知道或者逃避困难。我们自己解释不清楚了，我们就说只可意会不可言传。 实在急了，我们就说：你咋抽象能力这么差呢？真TMD的笨！
好让我们来考察一下，能不能在一种“抽象”或神秘的层次上定义什么是1和建立一种“绝对的一样”的概念？
假设我们能够理解一个集合，也就是 a family of apples, bananas, … etc. 孩子们“好象”也知道，好吧。数学（其实只是集合论）里“抽象”出来的办法是要提出一个新的概念叫“cardinality”。这个概念依赖其他的概念：
1. equivalence relation （等价关系）
2. equivalent class （等价类）
3. equipollence
我并不打算走进这些细节。只说思路。就是我们希望把OO和JJ等价起来。我们先规定一种等价关系，就是说如果 OO 和 JJ 存在一种一一对应（不管有多少不同的对应），我们就说 OO和JJ 是 equipollent 的。这样的话，OO 就 equipollent to JJ，AA，
，
， 等等。那我们就可以“抽象”地定义一个叫所谓“equivalent class” （which is very subtle）. “equivalent class”就是把所有那些和OO equipollent 的东东（好象东西没东东合适）都装到一起：
OO，JJ，AA，PP，木木，aa， ，
， 。。。。
然后我们就可以定义（1类似）： 2 ＝ the equivalent class of
OO，JJ，AA，PP，木木，aa， ， ， 。。。。
但是这个equivalent class到底是什么呢？它是在怎样一个层次上的东西（结构？）呢？它还是我们通常所说的原来那个层次，象“OO”一样的集合吗？但它好象是一个集合的集 合？（小心：罗素的悖论 –> the “set” of all sets is not a set!)
“equivalent class” is in general not a set! It is a class. Oh, my god? What is a class?
再问下去，我们只好走进集合论的公理系统和数理逻辑。嘿嘿，到现在为止我好象还没有完全解释清楚什么是1和2。＋和＝就别提了。有几个理由我们不再往下走了。
1。最终我们是不是能完全理解1＋1＝2？Very unlikely！公理是人写出来的，不是God given的。即使我们建立了集合论的公理系统，而且完全定义了1＋1＝2。因为达到同样目的的公理系统不是唯一的，最终我们仍然需要选择和设计我们的公 理，要做一些人为的和不一定自然的选择。这种不唯一性是会令人不安的。
2。更有甚者：数学的基础也不一定要建立在集合论上。还有别的可能。比如也可以建立在范畴学（category theory）里的elementary topos理论上，最近一些年有新的一些趋势，就是在higher category的框架下建立一个新的数学基础。
虽然不再进入集合论的公理系统和数理逻辑细节，仍然有很多小孩都很容易把握的藏在 1＋1＝2 的深刻数学需要讨论 ！
后注：其实这是一个论坛里的一个帖子，后面还有很多的回帖和后续文章，所以结尾有些奇怪。回帖和后续文章很多，就不一一贴出了。
