我的解法。

第零步，这样的问题很显然会尝试使用反证法。
假设有这样的一千个角覆盖了整个平面。

第一步，对于平面上的任意一条射线而言，由于覆盖它的角的数量是有限的，
必然至少有一个角盖住了这条射线的无限的长度。

第二步，经过试探不难发现，如果一个角覆盖了一条射线的无限长的部分，那么，
当我们把这个角平移到角的顶点与该射线的顶点重合的时候，这个角覆盖了整条射线。

第三步，我们在平面上任取一点A，把那一千个角，每个角都平移到角的顶点和A重合。
由于这一千个角的和小于360度，所以平移后的一千个新角之和也小于360度。
这样在A点，平移后的新角就不能覆盖全部平面，至少存在一个以A为顶点的空白角，
它与平移后的全部新角的并集的交是空的（除了点A之外）。

第四步，取上述空白角的平分线，这条射线不被任何一个平移后的角覆盖（除了点A），
也就不能被任何一个平移前的角覆盖无限的长度。
这条线就不能被原始的一千个角合起来覆盖的。