这个可用数学不等式21来证。

引理。数学不等式21
x_1,x_2,...,x_n > 0, n>=4, 恒有：

(x_1+x_2+x_3)^2*(x_2+x_3+x_4)^2...(x_(n-1)+x_n+x_1)^2*(x_n+x_1+x_2)^2
>=(2^n)*(x_1+x_2)^2*(x_2+x_3)^2...(x_(n-1)+x_n)^2*(x_n+x_1)^2。

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证本题。

n=3 可由数学不等式8，LHS >= 3/2 > (sqrt(2)-1)*3.

n>=4, 将右边的-n移到左边。不等式变形为：

(x_1/(x_2+x_3) + 1) + (x_2/(x_3+x_4) + 1) + ... + (x_n/(x_1+x_2) + 1)
>= sqrt(2)n

(x_1+x_2+x_3)/(x_2+x_3) + (x_2+x_3+x_4)/(x_3+x_4) + ... + (x_n+x_1+x_2)/(x_1+x_2)
>= sqrt(2)n

由AG不等式，
LHS >=
n*NthRoot{[(x_1+x_2+x_3)*...*(x_n+x_1+x_2)]/[(x_2+x_3)*...*(x_n+x_1)*(x_1+x_2)]}

由引理
>= n*sqrt(2).