用拉乘思路。想用初等方法的可略去。

首先两个限制条件使得每个数介于4和5.5之间。

扩展式 f=1/a+1/b+1/c+1/d+L(a+b+c+d-19)+ G(a^2+b^2+c^2+d^2-91)

各种求导：

f_a=-1/a^2+L+2Ga=0....

a, b, c, d 都是一个三次方程的解，所以必有两个相同。有没有可能a, b, c 两两不同呢？那么依据韦达定理，ab+bc+ca=0, 与各数为正矛盾。

所以顶多两种数，但很客易验证至少有两种数

排除对称情形，只有下面两种情况

1）a=b=c
2) a=b, c=d

把这代人两个方程，可解。注意我们不需要详解，比如第二种情况，很容易推出a+c, ac 的值，代入可得1/a+…=0.849..。 最大值为0.85，当a=b=c=5，d=4时取得。