一个可积动力系统可能有能量以外的运动常数。这样的运动常数在泊松括号下将与哈密顿量交换;刘维尔定理描述了如上给出的一个测度（或相空

来源: marketreflections 于 2012-08-14 21:21:29 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 次 (16665 bytes)

泊松括号

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在數學及经典力學中，泊松括號是哈密顿力學中重要的運算，在哈密頓表述的動力系統中時間演化的定義起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。

取决于时间的向量场演示图。泊松括号是用这个向量场的分量函数定义的。
两个取决于时间的向量场演示图，表示了上一个向量场分量的梯度函数。
两个取决于时间的向量场的叉积示意图，表示了原向量场分量的梯度函数。两个函数的括号是它们的 pq-梯度的叉积的长度。这说明了括号、梯度与叉积的关系；由无穷小梯度向量组成的平行四边形越大，括号越大。

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[编辑] 正則坐標

在相空间里，用正則坐標 (q^i,p_j) ，两个函数 f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) 的泊松括號具有如下形式：

\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} \right] .

[编辑] 运动方程

哈密顿-雅可比运动方程有一个使用泊松括号的等价表示。这可最直接地用坐标系表示。假设 f(p,q,t) 是流形上一个函数，则我们有

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.

然后，取 p=p(t) 与 q=q(t) 为哈密顿-雅可比方程 \dot{q}={\partial H}/{\partial p} 与 \dot{p}=-{\partial H}/{\partial q} 的解，我们有

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}.

从而，辛流形上一个函数 f 的演化可用辛同胚单参数族给出，以时间 t 为参数。丢掉坐标系，我们有

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f= \left(\frac{\partial }{\partial t} - \{\,H, \cdot\,\}\right)f.

算子 - \{\,H, \cdot\,\} 称为刘维尔算子。

[编辑] 运动常数

一个可积动力系统可能有能量以外的运动常数。这样的运动常数在泊松括号下将与哈密顿量交换。假设某个函数 f(p,q) 是一个运动常数。这意味着如果 p(t),q(t) 是哈密顿运动方程的一条轨迹或解，则沿着轨迹有 0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}。这样我们有

0 = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q) = \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \{f,H\}

这里中间步骤利用运动方程得到。这个方程称为刘维尔方程。刘维尔定理描述了如上给出的一个测度（或相空间上分布函数）的时间演化。

为了使一个哈密顿系统完全可积，所有的运动常数必须互相对合。

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