tongji 钢球椭圆运动:钢球并不是在平面上运动。由于双曲面拟合了引力势能曲线，曲面就代表了引力作用。

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24．万有引力与时空弯曲

一．实验目的

1．观测钢球运动，掌握开普勒定律

2．利用曲面模拟引力势能曲线

3．通过钢球运动模拟动能与势阱的作用

4．直观理解广义相对论——引力源于弯曲

5．观测理解“弯曲时空”导致近日点进动

二．实验仪器

实验在大型双曲面组成的漏斗状玻璃钢制的槽中进行。槽下贮存有钢质球若干。实验者摇动手柄十余圈，带动齿链，再经齿轮箱传动来转动凸轮，依次向上推出钢球，并使其在曲面上作椭圆运动，并形成进动。

三．实验原理与内容

１）开普勒定律验证

２）势能曲线：ａ．引力势能；ｂ．重力势能

３）引力势阱与动能

４）引力是“弯曲时空”的表现

５）近日点的进动原理

1．开普勒定律验证观测：

关于行星运动的开普勒 第一定律指出：行星轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点上。第二定律指出：行星对太阳的径矢，在相等的时间内扫过相等的面积（图1）。

图1

九大行星是在以太阳为核心的平面上沿着椭圆轨道周期地运动着。由于引力的方向在任何时刻总是与行星对于太阳的径矢方向相反而平行，所以行星所受的太阳引力之力矩，对太阳为心而言，恒等于零。亦即行星对太阳的角动量将保持不变。

 

其中△S=1/2（rï△rï Sinα），是r和△r组成窄三角形的面积（△r→0时，Sinα→1）。  是行星对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积，称为行星的掠面速度。L不变，即d  不变。所以，角动量守恒定律 直接就导出了开普勒第二定律，见图1。

开普勒定律是在对行星运动的长期观测与大量的数据积累基础上才总结出来的，它为牛顿定律奠定了坚实的实验基础与理论基础。因此，牛顿才说他是站在了巨人的肩膀上，才会有新的发现。

在本实验中，可以观察到钢球的椭圆运动，可以观测其径矢的掠面速度，从而验证开普勒第二定律。

但是，要注意，钢球并不是在平面上运动。由于双曲面拟合了引力势能曲线，曲面就代表了引力作用。所以，钢球运动在初期，近似在平面上运动，可以明显看到掠面速度相等、椭圆运动的周期相同。中期，椭圆运动周期缩短，但是相同时间掠过的总面积依然相同。后期，钢球运动仍然符合开普勒定律，只是更难以与初期的钢球运动来作比较，需重复观测、体验。

“如果说我比多数人看得远一些的话，那是因为我站在巨人们的肩上。”

牛顿（Isaac Newton ,1642-1727）

2. 势能曲线

图2.引力势能曲线

引力势能曲线（图2）：引力是保守力，可以引进势能概念。即引力作功与路径无关，只取决于两质点的始末相对位置（即位形）。这个由位形决定的函数即称为系统的势能函数。

 

若规定r_b→∞时，E_pb=0。当m₁、m₂两质点相距r时，其引力势能为：

图3

其中负号表达的意义是：两质点从相距r的位形改变为零势能位形的过程中，引力总是在作负功。

 

本实验仪中的大面积由双曲线旋转而成的漏斗状的曲面，就是拟合了引力势能： ，形成了一个引力场模拟。&*****quo;重力势能曲线（图3）：重力是万有引力现象的特例，是物体m与地球M组成的系统，在地球表面附近区域的相互作用。

若规定 r_b = R 时，E_pb = 0。

图4

当r_a = R + h >R时，其引力势能为：

 

取重力加速度：g = G M / R² ，得到重力势能：E_p = m g h，重力势能曲线为斜直线（图4），其实它只是引力势能曲线中的某一小段而已。

3. 引力势阱与动能

势阱：实验中，曲面空间就表征着引力的作用 。钢球在漏斗状双曲面上运动，虽有一定的动能 ，但却不足以脱离该曲面。不论转动多少圈，最终总是陷落在阱中，这正是引力势能 的势阱作用，由曲面表达（图5）。

图5

宇宙速度：如果在实验中使钢球具有足够的动能，则有可能克服势阱，维持椭圆运动，或是逃逸出曲面空间。

 

以这样的引力势阱—曲面，也可模拟环绕地球的卫星运动或环绕太阳的行星运动，及脱离他们的条件—逃逸速度。

第一宇宙速度v₁—物体维持其不停的绕地球表面附近作圆周运动所必需的最小速度。

由牛顿第二定律： ,可求得：

(R=6.4*10⁶m)

第二宇宙速度v₂—物体从地面出发，并能逃脱地球的引力作用，进入太阳系，所需的最小发射速度。

第三宇宙速度v₃—是物体挣脱太阳的万有引力，脱离太阳系，所必需的最小发射速度（对地球而言）v₃=16.7×10³m/s

4.引力是“弯曲时空”的表现—广义相对论的论点

广义相对论的基本论点是：引力来源于弯曲。正是太阳或曰其质量，引起或迫使其周围的空间发生了弯曲（或者说产生了引力）。正是“空间弯曲”影响着行星和光的运动。使它们不是按照牛顿力学所描述的方式，而是不得不按照现在实际存在的方式运动。

我们按照广义相对论的思维，可以认为太阳对行星和光并不存在任何直接的力的作用；太阳只是使其附近的时空发生了弯曲，而陷入这个弯曲时空的行星和光，只是沿着这一弯曲时空中所可能的“最短”的路线而运动，但其效果却与引力的作用相同。所以，爱因斯坦的表述，就是与物质有相互作用的、动力学的、弯曲时空的几何学。

本实验就是试图以曲面空间几何体代替经典物理学中常说的引力作用。钢球在曲面空间的几何约束下，所走的“最短”路线—椭圆轨迹，正与行星受太阳引力作用所形成的行星轨道相吻合。以此，可以佐证：引力确实只是“时空弯曲”的表现而已。

5. 近日点的进动—广义相对论的论据

图7水星的椭圆轨道在移动

图6行星轨道是固定椭圆

地球绕太阳运行的椭圆轨道中，二个焦点很近，近似圆形。而水星离太阳最近，引力作用最强，椭圆轨道的二个焦点分离最远。太阳位于其中一个焦点上，因而轨道上有近日点和远日点（图6）。

 

奇怪的是，水星的近日点有不寻常的进动现象：椭圆轨道的长轴方向，在空间不是固定不变的，在每100年中会偏转5601″（秒，角度），即231.387世纪就沿进动方向会绕太阳转一圈，也称为近日点的进动（图7）。

以牛顿理论计算出太阳系所有行星对它的影响后，还差43″，这与观测值有偏差。而此前，很少有某种理论能够和万有引力定律的准确性相比。1845年莱弗里测出了水星的进动速度，从而质疑牛顿力学的正确性开始了。1915年爱因斯坦引入“空间弯曲”来计算，完全相符合，1916年就发表了广义相对论。

几个行星的近日点进动

行 星	观 测 值	广义相对论计算值
水 星	43.11″±0.45″/100a	43.03″/100a
金 星	8.4″±4.8″/100a	8.6″/100a
地 球	5.0″±1.2″/100a	3.8″/100a
伊卡鲁斯小星	9.8″±0.8″/100a	10.3″/100a

水星进动现象是“空间弯曲”的最有利证据，成为广义相对论的有力支柱。近年来关于PSR1913+16脉冲双星近日点进动现象，测得值更明显，其值为4.226621(11)°/a ,该数值不但符合广义相对论的理论计算，而且比行星的进动值大许多倍。

异常进动现象只能用“空间弯曲”来解释：由牛顿理论指出水星受太阳引力作用，只可能在平展空间作椭圆运动。按照广义相对论的解释，太阳周围的空间被弯曲成凹形的曲面。恰似把化学滤纸画上一个椭圆，再折成浅凹漏斗状，原先画在滤纸上的椭圆必将变形，轨迹必然出现脱轨交叉（图8）。同样，水星在弯曲空间中，也不再进入原来轨道，而是经过交叉点进入下一个新的椭圆轨道，不断发生进动。本实验仪，给出了一个弯曲空间—双曲面。钢球的椭圆轨道必将在弯曲空间作用下，形成显著的进动。我们可直接观测其椭圆长轴方向的进动现象。强烈弯曲的时空，表征强大的引力作用，必会引起显著的进动现象。进动现象就是时空弯曲—广义相对论的有力证据。本实验将帮助你理解并接受：弯曲时空必将导致的是近日点进动和光线弯曲等广义相对论现象。

图8

 

四．思考题

1．既然重力势能曲线是引力势能曲线中的一段，为什么会过零点？

2．如果要用曲面表征重力的作用，实验用的曲面应做成什么形状？为什么？

3．这个漏斗状曲面的方程是什么？与万有引力有何关系？

4．引力可由加速度等效，引力如何与时空弯曲联系？

5．近日点进动说明了什么？为什么会形成进动现象？

6．引力的本质是什么？

吕美安编