本征态 对于某一类作用，微观状态被作用后本身不变，这些状态，我们称为这一作用的本征状态

金观涛:量子力学和认识论

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2009-12-30 10:12:10 .

呃，这个帖子大家直接跳到最后看结论吧。

太专业了。

而且里面的小图片太多了，没法贴出来。

实在有兴趣的同学去新浪爱问里面下载吧，我打包放里面了。

http://iask.sina.com.cn/user/my_ishare.php?uid=1075769970

 

 

量子力学和认识论

 

金观涛

 

 

一、经典物理学和量子力学

 

从三十年代冯·诺伊曼等人的工作开始，量子力学逐渐被看成是一些公理组成的数学体系，量子力学基本公理主要有以下几个：

1.一切微观状态为希尔伯特(Hilbert)空间中的矢量；

2.可观察量相应算符为希尔伯特空间中的线性厄密算符；

3.可观察量与相应算符存在如式关系（本征态情况）：

其中：——算符，——相应可观察量，——希尔伯特空间矢量；

4.可观察量的平均值用下式表示(非本征态情况):

从这些公理出发，可以获得量子力学各种重要成果。但是，这些公理看来似乎没有直接的物理意义。本文用黑箱理论对这些公理进行了初步探讨，得到如下结论：当我们在获得对微观世界黑箱内部结构的信息时，由于控制的输入作用不可忽略，其理论形式必然采用上述表达方式。

众所周知，经典物理学在思想方法上有两个十分明显的特点：

这就是，人们认识物理学定律时，主要是通过观察来获得数据，再由这些数据构成宏观规律的模型。如在描述物体运动时，先是通过观察来获得物体的位置和速度，再总结出描述物体运动的微分方程：

也就是说，在这里，人们对自然界的认识，往往只被看作是一个获得信息的过程，即主要是观察的过程，至少，获得信息所必须的控制作用在理论构成中被忽视了。

经典物理学总是假定研究的对象不受我们观察过程——即获得信息的过程而改变，整个经典力学的理论方法就是奠定在这一假定基础上的。然而，在认识微观世界的内部规律性时，如果不对对象进行干预，想仅仅从外部观察它，那是绝对办不到的。如果不进行受控实验，不去进行控制，就不能获得微观世界内部的信息。微观世界的每一性质只有在特定的控制过程中才能显示出来。因此，在建立描述微观世界物质运动规律的理论时，要在理论上作经典物理那样的假定，把控制条件这一重要因素排除在外，那将是肯定行不通的。

由于获得微观世界信息的过程依赖于受控实验，而受控实验就意味着通过宏观物体(或仪器)对它们作用，(特定的控制作用)来获得信息。因此，宏观物体对微观状态的相互作用就必须包含在理论构成之中。

我们可以简单地把经典物理学方法与量子力学方法的差别图示如下：

 

宏观物体

人

获得信息

观 察

 

图1 经典物理学的方法(其中获得信息时对宏观世界影响可忽略)

 

宏观物体

人

相互作用 获得信息

微观物体

 

 

图2 量子力学方法

 

下面，我们来证明，只要考虑人获得信息过程的控制作用，即对微观客体进行受控实验是不能忽略的，那么，我们得到的描述微观客体运动规律的理论体系就必定是量子力学式的。量子力学的公理基础可以从这个基本前提推导出来。

 

二、怎样给微观状态定义宏观属性?

 

1. 相互作用和输入输出

微观世界好像一个黑箱，我们把微观世界的构造比为黑箱的内部状态。黑箱的输入表示宏观物体对微观世界的作用（图3）。这种作用可以是非常广义的，它可以表示在对微观世界作各种各样的实验时，对微观状态的影响；也可以表示用宏观仪器对微观状态作某种测量时宏观仪器对微观状态的作用（包括人对控制变量的选择）；也可以表示宏观世界与微观世界的内在联系，由于这种联系，相应宏观世界的某种变化会引起微观世界状态的改变。这个黑箱的输出则表示微观世界对宏观世界的作用，由于这种作用，我们可以看到宏观现象的变化。如表现出来的能量、动量的改变。这一作用通过宏观物体的某种变化，可以被实验观察到。这就是说，在认识微观世界时，我们是通过输入——输出，即控制——观察这一反复的过程来认识其内部构造的。

 

输入

输出

 

图3微观世界好象一个黑箱

 

下面，我们分别用数学符号来表示输入、输出，内部状态，以及其关系：

我们用、 … … 来表示不同的微观状态。即我们给出一个微观状态的集合｛｝。

我们用算符、 …等表示引起微观状态改变的宏观条件，算符作用于，引起的改变。输出既然表示微观状态在一定输入条件下对宏观物体的作用，那么它一定能用相应宏观效应来表示，如这些效应是力学方面的，就能用动量，坐标，能量等来表示它。我们可将这过程图示如下：

 

宏观物体

人

宏观输出

 

 

图4 宏观物体对微观世界的作用

 

即我们用表示微观状态。用算符｛ …｝集合表示宏观物体对的作用，用力学量，， …等表示我们获得的宏观输出。

作用于后，会怎样？从逻辑上说，必然只有两种可能：变和不变。对于某一类作用，微观状态被作用后本身不变，这些状态，我们称为这一作用的本征状态。

用数学符号表示，即对于某一算符，存在着一些状态、 … …，使得有：，称为本征态。

实验表明，对于别的一些状态（非本征态），宏观世界和它的作用将使它变为很多本征态中的一个，但究竟具体是哪一个，这将是不能预先确定的，但变成某一个本征态的概率将是一定的，将其用数学符号表示，即：

在算符的作用下，如果不是的本征态，那么，可以是本征态、 … … …中的任一个，它们的出现遵循一定的概率。

下面，我们将从微观状态与宏观世界这一普遍的相互作用出发来进一步探讨“属性”这一概念的意义，研究什么条件下同一微观状态可以具有两种不同的宏观属性(输出〉。

 

2. 微观状态有确定宏观量的条件

显然，要某一微观状态显示某一类宏观量(或属性)，这首先要求，我们做的实验，即给的输入是使微观状态显示出某一方面宏观量的实验。对于别一类作用方式，这一微观状态就显示出别一类宏观量。

这就是说，微观状态具有某一类确定的宏观量是对一定的算符而言的，算符不一样，得到的宏观量种类就不一样，并且，对于同一个算符，可以有许多个同一类宏观量，如对于动量算符，可能有各种不同的动量值。

微观状态显示一确定宏观量的另一条件是：微观状态表现出的宏观量在多次实验中一定是稳定不变的。也就是说，这要求当黑箱输入为一定时，宏观输出将是确定的，其理论根据如下：如果我们用实验来确定某一微观状态相应的能量(或其它宏观量)，以及用受控验来认识客体性质时，只有在每次同样条件的实验，都得到同一的数值时，我们才能认为微观状态和这个宏观量之间存在一一对应关系。这样，我们才能说这一微观状态具有这个宏观量或宏观性质，否则“具有”这个词没有意义。

下面，我们用数学公式把上述两个条件表述出来。

对于某一算符，只有当微观状态｛｝满足条件：时，对于算符才具有一确定的宏观量，即是的本征态。如果某一微观状态不满足这一条件，那么将使变为很多本征态、 … … …中的一个，但具体变为哪一个，将是不确定的。就是说，在进行这类实验时，微观状态将发生不确定的跃迁，实验得不到一个确定不变的结果，即没有稳定的宏观性质。

微观状态具有确定宏观量所要求的进一步条件是：

如果对于一定的标符，有着状态，都满足对于有一个确定宏观值，对于有另一宏观值，则必须。因为，对于同一个实验不会显示两个不同的结果(如果它是稳定的)，这表明，在这种情况下，状态与是互不相容的，即如果黑箱处于状态，那么在算符为情况下，它不可能同时处在状态，也不可能跃迁到状态(只要算符不变〉。

 

3. 某一微观状态同时具有两个不同类宏观值的条件

对于某一微观状态同时进行不同类的实验，即用两类不同的宏观物体对其作用，在什么情况下，这个微观状态可以同时具有两个不同类的宏观量？

如果对某一微观状态，在算符的作用下，它具有确定值，在算符的作用下，它具有确定值，那么根据上一节，我们知道，必定有：

则有：

这时，我们称算符可对易，即。同样可以证明，如果两个算符可对易，则它们可同时得到确定宏观量。

因为，如果这时存在着某一微观状态，满足，相应的宏观量是，则由算符对易得到：

于是得到是的本征态，于是有：

即也是的本征态，也有一个确定的值。

从算符的对易关系我们可以看出：如果对于任一，观察过程对它的干扰可以忽略不计，那么任何一个算符作用于它都不改变它自身。这意味着将不代表微观状态，而是某一宏观物体。这样就成了经典物理学的过程。

显然，因为算符相应着宏观实验控制条件，那么算符不可易就意味着这些实验条件互相排斥这一结论的哲学意义很有意思。它表明，用宏观物体的属性来描述微观世界时，如果出现算符不对易，即受控实验互相排斥或互补时，那么我们就会发现微观客体的一个重要特点，即它不会是那些宏观属性的稳定复合，而象是一个硬币的两面，每一个面代表一种性质，它们不能同时表现出来。究竟它们哪一面能表现出来，则取决于我们对它们做什么样的受控实验。这就是一些哲学家所说的，电子的某一种性质，当不观察它时就不存在。

 

三、进一步的数学描述

 

1. 微观状态与物质波

上述思想可以用一种精巧的数学来表达，它可以推出量子力学的公理基础。下面作简明的讨论，因为电子、质子、甚至原子都是一定形态的物质波。对于不同的物质波，可以用不同的波函数表示，即微观状态，我们可以具体用波函数来表示。并且，物质波是可以叠加的，即如果存在着两个物质波，，那么（是任何复数）也代表着另一个物质波的波函数。这种叠加方式和矢量叠加类似。因此，也可把微观状态表示为矢量，那么一切微观状态就是由矢量组成的线性空间。因为波函数一般都是复函数，所以这个矢量组成的线性空间是复线性空间。并且，因为线性无关的波函数数目是无穷多的，所以这个线性空间是一无穷维线性空间。我们在后面可以看到，这个线性空间刚好就是数学上的所谓希尔伯特空间。

因为一切微观状态都可以看做线性空间的矢量，则任一微观状态一定可以用别的一些状态的线性叠加表示。如状态，将其表示为算符本征态， … … … 的线性叠加，即：

 

是复数。

 

其中对不同的是不同的。由于可以表示为算符本征态的线性叠加，因比一定不是算符的本征态。即用算符作用于后，将使跃迁到的本征态去。实验表明，突跃到算符本征态的概率和用展开式中前面的的绝对值平方成正比，即：

为在算符作用下，态跃迁到第个本征态的概率，是用展开式中的系数。

并且对于某一算符的本征态 … … …，因为它们是互不相容的，并且，不允许存在它们之间的跃迁，这样，任一不能表示为别的 … … …的线性叠加。这就是说，同一算符的本征态必须是线性无关的向量。

 

2. 线性变换和本征矢量

综上所述，我们已经明确了如下几点：

（1）微观状态可用物质波的波函数表示，并且，一切微观状态组成了一个复线性空间，任一微观状态相当于这一复线性空间的一个矢量。

（2）宏观物体对微观状态的作用是用算符表示的，这些算符作用于微观状态，引起微观状态的改变。

（3）对于某一算符，如果某一微观状态要在算符作用下有确定的宏观值，那么这时，一定要满足如下条件：

 

（4）如果对同一算符，有一确定宏观值，有另一宏观值，，当然，这时同时有，，只要与互不相容，即黑箱不能同时既处于，又 处于，且与线性无关。

在这种情况下，能否将这四条归为一个更为明确，使用更为方便的数学概念呢？我们知道，在有关线性空间的数学中，有一个这样的定理：对任一个复线性空间，如果规定了任何两个矢量和的内积，并且使它满足一定条件，那么，对这个线性空间的任何线性变换，如果存在着一些矢量， … … …，则，

，， …

都是实数，这时，只要两两不相等，则，这些矢量，， …都是互相正交的（即它们的内积为零）。

简而言之，这个定理的意义是：如果对于某一线性变换，矢量空间中存在着一些矢量，作用的结果不改变各矢量的方向，只改变其长度，则这些矢量都是正交的。

利用这个定理，我们只要把算符看作是线性空间的线性变换，把条件改作（其中是状态在算符作用下对应的宏观值），那么，互不相容的微观状态可看作正交矢量，并且前面所要求的微观状态的其他性质就可推出来。

并且，本征态所显示出来的宏观量一定是实数。因此要求线性算符满足式中的是实数。我们从数学上知道，这要求不仅是线性的，即，而且要求是厄密的。很显然，这一切就构成了在第一章所述的量子力学前面三个公理。

 

3. 宏观量的平均值

我们再来考察，在算符作用下，对于的非本征态，它可能有什么样的宏观值？因为不是的本征态，作用于后，就将突跃到的本征态， … … …中去，这时，每次实验结果都不一样，微观状态这时没有确定不变的宏观值，每次实验的结果都以不同概率得到的本征态等所具有的宏观值。

如在算符作用下，对作充分多的实验，有时使变成，其宏观值为；有时将变成，宏观值为；那么，只要实验次数充分多，我们就可得到一个对测得的宏观值的平均。我们记这个平均值为。

显然，

其中是跃迁到的概率，为不同的本征态相应的宏观量。

因为可以用的线性叠加表示，即，

 

 

 

那么有，因为是的本征态，即：

，于是有，同样对的共轭波函数也有：

 

因为与是两个不同的矢量，对于任何两个矢量，，我们可以把它们的内积（）定为,

 

 

 

那么，

 

因为当时，和是正交的，即，

 

 

当时，令，这时，就得到

 

因为，于是有

 

这就是第一章中所谓的公里4.

 

4.一些算符的具体形式

从前面分析，我的知道了，宏观物体对微观状态的作用可以用线性厄密算符来表示。但一些具体算符，如动量算符，坐标算符，它们应具有什么具体形式呢？算符的物理意义虽然代表受控实验对微观状态的作用，但它的表达式则和我们前面用的数学语言有关。如动量算符，它代表了在测量微观状态动量时对微观状态的作用（或者说，它代表了显示微观状态动量的那一类实验）。因为显示出一确定不变动量的物质波与平面波相当，都可表示为如下形式：

 

即对于这样形态的物质波，在进行显示动量实验时(如和晶体表面作用)，它不改变自己，并在宏观上显示出一定动量值。从这点出发，而获得动量算符的具体数学形式。

显然，根据微观状态显示确定宏观值的条件：

那么有：

 

于是马上可以发现：

 

即它是对坐标的微分算符。

我们再来看看坐标算符是怎样求得的。

我们知道，代表微观状态的波函数如果表示为位置的函数，那么就表示微观粒子处于位置的概率，就是说，对于位置算符的非本征态，在进行测定其位置实验时，我们得不到其确定的坐标值，而只能得到它的一定概率分布。那么根据上一节所述的平均值公式，可得到，

是坐标算符，是测定位置的平均值。因为是某一点粒子出现的概率，于是粒子在充分多次测得位置平均值为：

 

于是马上得出，位置算符x就是。即位置算符作用于等于乘以。

至于一些更为复杂的算符如何确定，量子力学采用了一系列重要的数学方法。我认为，其中蕴含着一条尚未被人们认识的哲学原理，这就是：利用仪器与自然规律的同构关系。

 

四、仪器与自然规律同构

 

我们知道，要认识微观世界的内部构造，就必定包括如下两个方面：

(1) 微观状态是怎样的。一般微观状态用一定形态的物质波表示，那我们要求出物质波的形态。

(2) 这一微观状态是怎样和宏观世界作用的，即我们要知道代表宏观物作用于它的算符的具体形式，以及这些微观状态具有什么样的宏观量。这些数值可以直接和实验相比较。

这两个问题互相关联。一般说来，只要我们知道算符的具体形式，只需要解方程

（其中——算符，——为相应宏观值）就可得出的形式以及可能取的值。

对于有些算符如动量算符，坐标算符X的形式，我们已经知道了，对于别的一些算符，我们希望能找到它们和以及X的关系。下面我们来证明这一定理，即：如果我们用一些已知算符的幂级数来定义这些算符的函数，如果一切算符都是可以对易的，那么，算符之间的函数关系与可观察量之间的函数关系相同。

假定存在着任一算符

、是可对易的算符，则它们有共同的本征态。今选取一个本征态，于是对，态分别具有一定的宏观量，并且有，

为作用下的宏观量。

在为厄密的条件下，将展开为的幂级数分别作用于，因

且算符都可对易，那么显然有

即宏观变量之间的函数与算符之间的函数关系相同。

我们来看一下，这个定理有什么意义呢？我们知道，如果一切算符都可对易，这就意味着不是微观状态，而是某一宏观物体。因为这时，获得信息过程对微观状态的作用可忽略不计。而算符表示什么呢？它表示不同的宏观实验，算符之间的关系是表示了各类实验之间的关系。那么我们马上可以想到，如果在做某一宏观实验时，我们确定了各宏观量之间的函数关系，那么，我们就可以用这函数关系来描述代表这一宏观实验的算符。如果我们再用同样的算符对微观状态作用（即用同样条件作微观状态实验），那么算符形式肯定认为还是那样，只是它们变得不可对易了，这不可对易不是算符改变了，算符没有变，是由于我们实验对象变了，成为微观状态。我们写出了算符的具体形式后，只要解方程，就可以得到这个算符相应的微观状态的本征值。这个值可以和实验观察进行比较。事实证明，计算值和实验值很好地相符合。下面我们举一个例子来说明这一点。

如果我们在辏力场中观察某一宏观粒子，这时，我们可以测得粒子的能量，动量，坐标，在这一实验中（即当粒子处于辏力场中时），、、这三个值不是独立的，它们存在着一定的函数关系。从经典力学我们知道：

为坐标的函数，表示粒子到力心的距离。那么从前一定理我们知道，如果测定动量的实验用算符表示，测定坐标实验用算符表示，那么在同样辏力场中，测定能量的实验用表示，那么一定有：

如果我们在同样的辏力场中观察微观粒子，那么宏观实验条件没有变，算符形式不变。那么微观粒子在这一辏力场中的有确定能量的状态，以及相应可能具有的确定值，满足如下方程：

而动量算符是，坐标算符是 ,那么用它们代入，方程便确定了。解这个方程把允许可取的值和实验结果相比较，得到了很满意的结果。同样把这一构成算符的方法用于别的实验中，如电磁场与微观粒子的作用，结果也符合得很好。但是必须指出，这一构成算符的方法应用是有条件的，从前面的分析我们知道，这一条件就是，我们假定对宏观物体做与微观物体条件相同的实验，但这并不是永远可以做得到的，因为微观世界与宏观世界是两个不同的层次，有的存在于微观世界的场在宏观状态下并不存在，如介子场。这时，我们在研究微观世界时，也需要构成算符。但这时，算符的不同形式表示什么呢？它仅仅是微观世界的宏观模型。至于这些宏观模型是否正确，我的不能通过宏观实验来判断，我们只能根据这一模型构成的算符来织成方程，把方程解出来，再将解出的宏观值和实验结果相比较，如果和实验符合，则我们认为它在一定程序上是正确的。如果不合，就需要修改模型。

上面的分析和探讨，揭示出一个深刻的真理，这就是，自然规律和仪器之间的关系是同构的。所谓实验仪器，只不过是自然现象之间的联系用一种物化装置表示出来而已。这个发现具有深刻的哲学意义，它或许可以将量子力学的哥本哈根哲学解释大大推进一步。它深刻地表明了所谓抽象的量子力学公理体系，只是用完整的数学语言表述了宏观世界与微观世界作用的过程，它指出，当我们获得研究对象的内部信息直接依赖于我们对有关对象的控制作用时，世界将是怎样一幅图景。它证明强调实在依赖于仪器实际上等价于强调实在依赖于规律以及它和运动不可分离。量子力学也许是人们第一个把认识过程同对世界的描述结合起来的模型。

 

《问题与方法集》上海人民出版社 1985年

<论量子力学的公理基础>《物理》1976年第5期 （笔名：乐涌涛