http://www.lyun.edu.cn/wulixi/jpkc/lzlx/documents/wangluoziyuan/24.pdf
由于方程是一个遍适方程，它不应含有
能量这种具体的态参量。为此可从另一方面 来消除E。求平面波的二阶导数，得
= ：= 一
(2)
注意到对自由粒子有E— ／211，则
一一
2
Il
,
UE~
，
E~=-2~V
代入(1)式有
ih 一 · (3)
这就是自由粒子的运动方程。
推理的第二步，是把(3)推广到粒子在外
场中运动的情况
由于方程是一个遍适方程，它不应含有
能量这种具体的态参量。为此可从另一方面 来消除E
26 1997年第4期 高等函授学报(自然科学版)
关于量子力学基本原理
李家荣
(华中师范大学粒子物理研究所)
1 量子力学基本原理回答那些基本问题 回顾已学过的经典物理可以看到，对于 任一种运动形态的动力学描述都要回答：物 理系统的状态如何描述；状态变化的规律，即 运动方程如何描述；在给定状态测得力学量
的数值，即力学量如何描述，等等。例如，对于
一
个质点机械运动，其状态是用它的坐标和
动量来描述；状态随时间变化的规律，即其运
动方程是牛顿方程；在给定的状态，力学量
(如能量、角动量)的数值可以通过它们和状
态的函数关系来确定，如
E 一 1
户。+ (，．)， 一，．×
对于单个微观粒子，从理论上要回答的
也是这些问题，只是由于微观粒子的二象性，
对其运动状态，运动方程和力学量的描述有
其特殊性。现在我们知道量子力学对这些问
题的回答是：微观粒子，或一般地说微观系统
的状态是用波函数描述。运动方程是一种特
殊的波动方程—— 薛定谔方程。力学量是用
线性厄米算符描述。但是，初学者对这些回答
的接受要远比接受经典物理的回答困难。这
主要是由于经典物理，特别是牛顿力学对客
观世界的反映很直接，而在量子力学中，从实
践上升到理论，就很不直接，要经历比较曲折
的分析、判断、推理和假定，这种思想方法是
初学者不熟悉的。在以下，我们将一一介绍如
何运用这种思想方法而建立起量子力学的基
本原理，以帮助初学者熟悉这种思想方法和
接受量子力学。
关于全同性原理，初学者比较容易理解，
+ 收稿日期：1997—06—18
本文不涉及。
2 如何认识微观粒子的状态用波函数描述
首先，对物理状态这一概念，含义要有清
楚地了解。人们对一个物理系统的认识，是通
过对它的各种物理性质的分析来完成的。如
果人们知道了一个质点的所有力学性质，如
它的坐标、动量、能量等等，人们也就对它的
机械运动状态有了清晰的认识。一般地说，对
于一种运动形态而言，系统的状态是指反映
这种运动形态的所有力学量的情态。
状态的含义和状态描述并不是一回事，
状态的描述是指要采用若干量，由它们就可
以确定反映状态特性的一切力学量。例如，作
机械运动的质点，其状态是用它的坐标和动
量来描述，这是由于由它们就可以决定反映
^ 2
机械运动的任何力学量，如能量E一 +
厶，，‘
(r)等等。一般地说，描述状态的量要满足：
(1)已知这些量在某时刻的值就可确定在该
时刻一切力学量的值；(2)已知这些量在初始
时刻的值，可以通过运动方程确定它们在后
一
时刻的值，从而也就可以确定在后一时刻
一
切力学量的值。总之，知道了描述某种运动
形态状态的量，也就知道了系统关于这种运
动形态的一切信息。所以，通常说描述状态的
量包含了系统的一切信息。
要了解微观粒子状态如何描述，还要弄
清其状态的客观特性。如上所述，系统的某种
运动形态的物理状态是指反映这种运动形态
的一切力学量的情态 在经典物理中，如在经
典力学中，在某时刻测量任何力学量都相应
维普资讯
http://www.cqvip.com
1997年第4期 高等函授学报(自然科学版) 27
有其确定的数值，描述状态的量(坐标和动
量)和力学量的数值有一一对应的关系。因而
人们说在给定状态，质点的力学量有确定值。
但是对于微观粒子来说，其状态特性却往往
是另外一种情况。例如，在电子衍射实验里，
如果我们在屏上观测粒子的坐标，则看到的
是坐标取一系列的值，而且取各个值的几率
也不相同，在衍射增强处，位置几率大，在衍
射减弱处，位置几率小。再如，如果我们通过
原子光谱来观测原子的能量，则看到的是原
子光谱线系，说明原子的能量不是取一个确
定值，而是取一系列可能值，一个量的可能值
和取该可能值几率之间的对应关系，称为该
量的几率分布。这种几率分布可用表表示出
来。设厶是力学量 的可能值， 是L取厶
时几率，则这时L的取值几率分布为：
因而微观粒子状态的一个特性是：在给定的
状态，力学量一般没有确定值，而是以不同的
几率取不同的值。
微观粒子状态之所以用波函数描述，就
是由于：(1)若已知微观粒子的波函数，则可
以确定任何力学量的几率分布。(2)若已知初
始时刻的波函数，则可通过薛定谔方程确定
后一时刻的波函数，从而确定后一时刻任何
力学量的几率分布。一句话，波函数包含了微
观粒子状态的一切信息。
3 如何理解薛定谔方程的建立过程
初学者在学习薛定谔方程建立的有关章
节时，往往对课本上的处理方法感到很“玄
妙”，似乎是在变魔法。产生这种错觉的原因
主要有二：其一是不了解理论是对实践的能
动反映，而不是直接映像，从实践上升到理论
的过程．是经过分析、判断、推论而提出假定
的过程，假定的正确与否不只在于它提出时
的根据如何，而且更重要的是看它能否被实
践所检验；其二是不了解在科学史上对一个
规律的认识是经历了各种探索的过程，而课
本上的讲述，则往往是总结出的捷径。
初学者往往习惯于从一个定律推出一个
结果，或者从一个实验事实直接得出一个结
论的思想方法，觉得这样得到的东西可信、踏
实，无什么玄妙感。而不了解任何基本规律都
是不能被推导的；因为如果它能从别的什么
定律推出来，那它就不是基本的了。任何基本
规律的得到，也不是从实验直接得到的，而往
往是把一定的事实作为依据，经过分析、判
断、推理而作为假定提出来的。例如，即便最
容易被人们接受的牛顿方程，它既不是由什
么公式推出来的，也不是由实验直接得出来
的。人们从实验看到的只是对于一定质量的
物体，其加速度大小有和所受的力成正比的
趋势，在此基础上，人们设想就是一种正比关
系有F—ma。它是正确的，这不只因为提出
它时有那种观察到的趋势．更重要的是由它
得到的各种结论都能被实验所检验。接受牛
顿方程时，之所以不觉得“玄妙”，是由于建立
它时，由事实到理论，其问的认识飞跃较小，
几乎是实验事实的直接结论。麦克斯韦方程
组的建立过程就要复杂一些，它是在几个特
殊情况下的经验公式的基础上，经过推理而
作为假定提出来的：
库仑定律一div E一4up
电磁感应定律一rot E一～
关于磁场的资料一rof B一 1 +
没有磁荷存在一div =0
在这里需要强凋的足，例如div E一4丌ID，
就决不是从库伦定律推出来的。库伦定律只
是得到它的推理的出发点．由库伦定律得到
div E一4丌ID，其问虽也经过了一些数学运算，
但这种演算只是推理的工具，决不是严格的
推导。麦克斯韦方程组的正确性不仪在于它
提出时有可靠的实验基础，而且殳重要的在
于由它得出的各种结论能得到证实。
在量子力学理论的建立过程中，从实践
维普资讯
http://www.cqvip.com
28 1997年第4期 高等函授学报(自然科学版)
到理论的认识飞跃要更大一些，而且这种“飞
跃”的物理含义也不是一开始就说得清楚的，
因而就导致了一些“玄妙”感。
课本上介绍的薛定谔方程的建立是采用
如下的推理方法：首先把描述自由粒子的德
布罗意平面波作为已知的基本事实，作为推
理的根据。这样建立自由粒子的运动方程就
是一个由已知方程的解反过去寻找方程的问
题，进而再按对所求方程的一般性要求得到
了方程。具体做法如下。
由于方程是描述态随时间的变化，因而
应含有 。把平面波 (r,t)一 "r-Et)代入
得
一一
／
-
h E~ (⋯)
由于方程是一个遍适方程，它不应含有
能量这种具体的态参量。为此可从另一方面
来消除E。求平面波的二阶导数，得
= ：= 一
(2)
注意到对自由粒子有E— ／211，则
一一
2
Il
,
UE~
，
E~=-2~V
代入(1)式有
ih 一 · (3)
这就是自由粒子的运动方程。
推理的第二步，是把(3)推广到粒子在外
场中运动的情况。怎样完成这个推广呢? 为
此再认识一下上面建立(3)式的过程。把(1)、
(2)两式改写为
E~--ih ，(p · ) 一(一ihV )(一ihV )
Rf】知 E-~ih杀，p=ihV (4)
而建立方程(3)的过程可以理解把E一 中
的E和P换成_kii~的算符，再作用于 。这种
建立方程的方式可以尝试推广到粒子在外场
中运动的情况。
议_=匝if-征侏厂寸场中运动，有
E 一2P
-
~~U(，)
按(4)式把其中E、P换成算符，再作用于 ，
则有
h 一[一 h2 。 ，，
令 t／=
z
h ~v + u (
，)
ih (5)
这就是粒子在保守场中的运动方程，称为薛
定谔方程。在非保守场中也有类似的推广，可
参看课本。
所得到的方程(5)是否正确，首要的问题
不只是急于看以上推理是否好理解。而是要
看由它得到的结果能否被证实。如果不能证
实，则说明得到的方程及以上的推理是不正
确的；如果能被证实，则说明得到的方程及以
上推理是正确的，即使初看起来类似(4)式这
种变换很“玄妙”，也得首先把它肯定下来，然
后再去弄清它的含义，这才是正确的思想路
线。推理是探索性的工作，推理是否正确主要
应看它得到的结果是否正确，离开推理的结
果．就很难说明推理是否正确(除简单的情况
外)。缺乏经验的人，往往容易在他不熟悉的
推理方式面前感到“离奇”、“困惑”，进而不愿
接受这种推理的结果，而不知即使感到推理
过程很“离奇”，只要得到的结果是正确的，也
得肯定这种推理，并进而弄清“离奇”的含义，
只有这样才能不断揭示新的物理思想。历史
上早已证实了(5)式的正确性．并已查明(4)
式的物理含义，这正是以下要进一步讨论的。
4 如何认识力学量用线性厄米算符表示
在量子力学里，力学量用线性厄米算符
表示。对于这个结论，初学者也深感困惑，甚
至有的人在学完量子力学后，也说不清其所
以然。
其实，力学量用怎 (下转第4’一33页)
维普资讯
http://www.cqvip.com
1997年第4期 高等函授学报(自然科学版) 33
‘jJ(q2，q1)一 ‘jJ(q ，q：)
这样就得到 ‘；I( ，q：)一 ：‘jJ(q ，q )
因此 一±1，
所以 O(q， q)一± ‘jJ(q：，q )
全同粒子波函数具有‘；J(q ，q )一‘jJ(g：，q )式
的称为对称波函数，用‘；I (q ，q )表示，具有
lj’(g-，q。)= 一‘；I(g。，q )式的称为反对称波函
数，且 (g。，g2)表示。
波函数的对称性质不随时间改变，即如
果初始时刻波函数‘IJ是对称的，则以后任何
时刻波函数都是对称的，反之亦然。
由全同性原理可知，在全同粒子组成的
系统中，不是所有满足薛定谔方程的波函数
都是描写真实的物理状态，只有既满足薛定
谔方程又同时满足对称性要求的那些波函数
才能描写物理状态。这样在全同粒子系统中，
薛定谔方程的全部线性独立的数学解中，就
排除掉一大批不描写物理状态的解。
全同粒子的波函数究竟是对称还是反对
称的，这要由实验决定。实验表明，由自旋为
半奇数的粒子，如电子、质子、中子等(自旋为
1／2)的全同粒子所组成的系统。其波函数是
反对称的，这类粒子称为费米子，它们遵从费
米—— 狄拉克统计；由自旋为整数的粒子，如
光子(自旋为1)、丌介子(自旋为零)等的全同
粒子所组成的系统，其波函数是对称的，这类
粒子称为玻色子，它们遵从玻色— — 爱因斯
坦统计。也有一些粒子是由质子和中子组成
的复合粒子，它们是费米子还是玻色子由质
子和中子个数的和为奇数或偶数来决定。
(上接第4—28页) 样的数学工具来描述，
用什么数学量来表示，归根到底是力学量本
身的客观特性决定的。在经典力学里，在给定
的状态对质点的力学量进行观测时，都能得
到确定的数值，力学量和状态有确定的一一
对应关系。为了反映力学量的这种特性，在经
典力学里引入了两类量，一是描述状态的量，
即坐标和动量，二是力学量，并建立了力学量
^ 2
和状态参量之间的函数关系，如E 一 +
厶，‘
【，(r)等等，从而反映了在给定状态力学量有
确定值这一基本特性。在这里可以看到，力学
量的数值是通过力学量对态参量的运算，即
求函数值而决定的。
在量子力学里，也有两类量，一是描述状
态的，这就是波函数，二是力学量。但是力学
量的客观特性不同于经典力学，在给定状态，
对微观粒子的力学量进行观测，可能得到一
系列的数值，是以不同的几率测得这些不同
的值。因而不能期望在力学量和态之问建立
普通的函数关系。在量子力学里，关于力学量
的表示，给理论提出的问题是要找到适当的
数学工具，或说是适当的数学量，通过它对态
的运算而能确定在给定的状态力学量所取的
可能数值。从属于这种认识，从如何通过对波
函数的运算得到力学量平均值人手，经过分
析推理，提出了力学量用线性厄米算符表示
假定。这个假定能否最后成立，还要看它能否
回答量子力学中的力学量的一系列客观特
性，这主要就是：已知力学量的算符，如何确
定它在给定状态所取的可能数值。在课本上
已对这些问作出了明确的回答，这就是说，力
学量算符的本征值谱是力学量可能取的数
值。如果把系统的波函数 (r， )用力学量L
的本征函数系展开 一、>：c “ ，则在 描述
的状态，测量力学量 得到数值 的几率
为IC I 。
在学习量子力学中的力学量这章时要紧
紧抓住一个基本的线索，即力学量用线性厄
米算符表示这个假定是如何通过分析推理提
出来的；若已知力学量的算符又如何能得到
实验观测结果。弄清了这个线索，就会感到能
踏实地回答力学量为什么用算符表示的问
题，这就是，若已知力学量的算符，通过它对
态的运算能得力学量的一切观测结果。
维普资讯
http://www.cqvip.com
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
