纸上乱弹物理学——Classical Life
从《自然哲学之数学原理》出版（1686年）开始，经典力学已经走过了风风雨雨的三百多个年头。在这三百多年中，经典力学不停的改变着我们的生活，最终成为了日常的一部分。于此同时，经典力学本身的结构也在不停的进化，不停的获得更加普适的形式，不停的显露出更新的对称性。虽然在进入20世纪之后，由于相对论和量子力学的诞生，经典力学不再被当成描述精确世界的模型（这里稍微要澄清一点，有些时候人们会把相对论也归于经典物理的部分从而和量子物理区分，虽然大部分时候我喜欢这种划分，这里我还是将经典力学限制为非相对论的牛顿力学），令人惊讶的是经典力学在发展过程中得到的各种结构、框架仍然活跃于理论物理（原谅我用这个词）的最前沿，没有一点过时的迹象。
以上算是一个相当平凡的开场白，几乎和我们所知道的经典力学一样平凡了，毕竟我们从初中就开始知道惯性定律，高中就开始和各种质点系统打交道，到了大学物理一上来还是牛顿方程，只是要用到微积分。从使用的角度来说，这确实是经典力学的全部，因为三百多年来经典力学的发展都和牛顿定律等价。不过，从理论结构的角度来看，牛顿力学只是冰山一角。全清华的学生大概都知道牛顿方程，不过估计只有少数几个系的人知道拉格朗日量和拉格朗日方程，要是再说哈密顿方程的话估计只有数学系和物理系的人明白了。泊松括号，Hamilton-Jacobi equation基本上是物理系的人自娱自乐的东西。Dirac bracket？哦，大部分物理系的学生只会告诉你Bra和Ket。看到这里，你是否感到经典力学变得完全陌生了呢？
我们还是从熟悉的F=ma开始，这是从高一就开始折磨我们的Newton方程。不过在写下这个方程的时候，我们应该明确两个概念：参考系和坐标系。首先运动都是相对的，所有的量都必须相对于某一个基准来定义，参考系是用来描述运动的基础。更重要的是，牛顿定律只在惯性参考系中成立（我们这里暂且不考虑如果定义惯性系的问题）。其次，牛顿方程本身是一个矢量方程，F和a都是矢量，因此我们最好建立一个坐标系在每一点提供一组线性无关的基矢量将牛顿方程投影在这个坐标系之下，也就是牛顿方程的分量形式。一般我们会选择固定在惯性系上的直角坐标系，牛顿方程变成熟悉的F_x=ma_x的形式。不过，这并不是唯一的选择。事实上，参考系和坐标系是独立的。我们一样可以选择将F和a投影到一个相对某参考系运动甚至转动的坐标系S_ep之下。此时，因为参考系没有变，牛顿方程本身仍然不变，但是，因为我们EP的选了一个复杂的坐标系，牛顿方程在该坐标系下的分量形式可能非常复杂。我们当然也可以选则一个现对于S_ep静止的参考系，这样F和a的分量形式又会变得比较好写，可是此时我们并不是在惯性系之下，牛顿方程本身不成立。很多时候我们容易将参考系和坐标系等同起来，但是在研究转动问题的时候，要将两者区分开来比较好理解。一个类比是曲线论里面的活动标架法，在这里曲线所浸入的空间可以看成是参考系，而曲线的活动标架可以看成是运动的坐标系，所有的向量可以在活动标价上分解（呃，似乎这个类比反倒让问题复杂了也说不定）
在大部分时候，固定于参考系的直角坐标系并不是最适合描述问题的坐标系，因此我们需要考虑牛顿方程在不同坐标系之间的变换。而坐标系变换正式牛顿力学最大的弱点。牛顿力学有时候也被称为矢量力学，因为它的基础全是建立在矢量方程F=ma之上的。但是在坐标变化下，矢量的变换非常复杂甚至可能和位置相关（大家可以试试把直角坐标中(0,0,0)点处的矢量(1,0,0)和(1,1,1)点处的矢量(1,0,0)写在极坐标系下）。有没有能够绕过这一弱点的方法呢？
在18世纪中叶，物理学家们得到了和牛顿定律等价的“最小作用量原理”——任何物体在运动的时候都会选择使作用量S最小的轨迹。作用量S是拉格朗日量（Lagrangian）L对时间的积分，而拉格朗日量是系统动能和势能的差：L=T-V。也就是说，最小作用量原理认为，物体的[B]真实运动轨迹[/B]总是无数可能轨迹之中平均动能和平均势能最为接近的那一条。这个原理的类比是光学中的费马原理——光线在介质中的轨迹总是光程最短的那一条（其实它们本质是一样的）。牛顿时代的数学家们就已经发明了解决这类问题的工具——变分法（由某个伯努利在另一个伯努利向全世界数学家挑战的问题中发明）。变分法告诉我们，使作用量S最小的轨迹满足下面的拉格朗日方程（Lagrangian Equation）：
这里q是用来描述系统的广义坐标。
最小作用量原理和牛顿定律是等价的，但是它的形式带给了我们更多的内容。无论是作用量S还是拉氏量L都是标量，也就是说，它们在坐标变换下是不变的。更重要的是拉格朗日方程的形式在坐标变换下也是不变的。也就是说，即使我们换到了坐标系q’，S和L的值仍然和坐标系q中一样，拉格朗日方程也仍然是上面的样子。如果我们想写出系统的运动方程，只要在一组合适的坐标下写出系统的动能和势能，然后写出L，套入方程就可以得到我们需要的运动方程。虽然和直接用牛顿定律得到的方程是一样的，但是我们跳过了复杂的受力分析和运动分解的过程（还记得高中时候痛苦的寻找加速度之间的关系么）。事实上，在最小作用量原理的体系下，我们不需要“力”的概念，也根本不用画受力分析图。拉格朗日抛弃了矢量力学中的几何部分，将力学转化成了纯分析问题。他本人也在《分析力学》中自豪的宣称：“从此，力学成为了分析的一个分支”而且在书中没画一张图（我所知的第二少的例子是只花了四张图）。不过，拉格朗日那个时代力学和几何本身的发展还是太过浅显。50年后哈密顿重新建立了力学和几何的联系，只不过那时的几何也不需要画图了。。。（另，其实拉格朗日表述本身就是流形上的切从——感谢clover的补充）
最小作用量原理第一次在物理学中明确引入了“广义协变性”的概念——运动方程应该与坐标系的选择无关。不过这一原则一直到1916年才被广义相对论发扬光大。另一方面，最小作用量原理似乎赋予了物体一种“灵性”，好像没有意识的物体似乎都回自动的寻找作用量最小的道路。有些人认为这样的理解相当自然，但是也有很多人讨厌这种“目的论”似的解释。这个问题一直到20世纪中叶费曼建立路径积分才有了很好的解释。
虽然在使用上拉格朗日体系和牛顿定律是等价的，但是因为拉格朗日体系中的基本概念比牛顿体系中少（没有力），拉格朗日体系有着更强的可推广性。最小作用量原理只需要定义好作用量S，就可以通过变分原理给出运动方程。实际上对于广义坐标的选择，系统所处的时空结构等等完全没有任何限制。牛顿力学中的坐标是一组数，我们可以把广义坐标选成场。牛顿力学建立在伽利略时空中，我们可以把背景时空换成闵式的，任意维数的，甚至是弯曲的。只要选择合适的作用量，我们都可以自动得到运动方程。而写下满足某些对称性的作用量比直接写满足某些对称性的运动方程容易得多！目前几乎所有的基本理论都可以从某个合适的作用量得到，无论是Maxwell电磁理论，还是广义相对论，我们都可以找到合适的作用量，唯一的例外是Type IIB超引力（需要在作用量之外补充一个条件）。作用量原理甚至将拓扑引入了物理之中，不过谈这个就扯的太远了，我们还是回来谈经典力学。
无论牛顿方程还是拉格朗日方程，都是坐标空间（或者拽一点，位形空间（configuration space））中的二阶微分方程组（我们需要给定坐标和速度才能完全描述系统接下来的行为）。而数学里面对于一阶微分方程组研究的更为透彻。虽然给定任意一个二阶方程组，我们总可以将它转化为一阶方程组。但是，有没有办法像得到拉氏方程一样能直接得到一阶的运动方程呢？哈密顿在1833年提出的新体系解决了这个问题。哈密顿放弃了在坐标（位形）空间中用坐标和速度（q和dq/dt）描述系统的做法，转而将坐标和动量（q和p）看成是独立的变量来描述系统的运动。这样，原来N维位形空间中的N个拉格朗日方程变成了2N维空间中的2N个一阶哈密顿方程：
这里H被称作哈密顿量（Hamiltonian），可以从拉氏量L得到，从L到H的变换叫做Legendre变换（以此人名字命名的某函数可能给大家印象更深些）。一般情况下，哈密顿量就是系统的能量。在哈密顿体系下，我们可以直接应用很多一阶微分方程的数学结论。
不过，更有意思的是，哈密顿体系比以前的体系显示出了更多的几何结构，只不过这种几何结构并不是拉格朗日所想的欧式几何。相空间本身是个辛流形（Symplectic Manifold），拥有辛几何结构。哈密顿方程本身定义了相空间中的一个变换g，相空间中的每一点（q，p）在一定时刻dt之后都会映射到相空间中的另一点（q’,p’），整个相空间会映射到它自身。我们知道三维空间中的转动变换保持任意两点之间的距离不变。在相空间中，变换g不会保持距离不变（相空间里面也没有“距离”的概念），而是保持相空间的辛结构不变。系统的运动变成了相空间中一系列辛变换的叠加！
在相空间中还可以定义一个叫做Poisson括号的运算：{F,G}。利用Poisson括号哈密顿方程可以写成：
Poisson括号的具体形式并不重要，重要的是Poisson括号满足反交换律，Jacobi恒等式等运算性质——实际上就是李代数的运算性质以及{q,p}=1的结果。因此我们同样可以抛弃经典力学里面Poisson括号的定义，将它换成我们需要的定义，只要我们能保证和经典力学里面有同样的运算性质和{q,p}=1，我们就能用Poisson括号得到运动方程（就像我们将作用量换成别的形式之后就能得到广义相对论的方程一样）。这一推广的直接结果就是量子力学，或者严格地说海森伯的矩阵力学。当初海森伯在建立矩阵力学的时候，就是将坐标和动量看成矩阵，将Poisson括号替换成矩阵的对易子，哈密顿方程就变成了矩阵的方程。这个过程和做小作用量原理的推广类似，抽象的代数和几何结构并没有变，仅仅是换了这些结构的具体表示，我们就从经典力学走到了新物理。
哈密顿体系中还有另一个重要的概念——相空间之间的正则变换（canonical transformation）。正则变换将一个相空间变成另一个相空间，保持辛结构不变，但是哈密顿量可能变化。实际上，系统的运动也可以看成一种特殊的正则变换。正则变换可以给系统的运动提供类似曲线论中的活动标架法的描述。想法其实很简单：如果我本人一动不动的坐在一辆运动的汽车中，那么知道了汽车的运动，就可以知道我的运动。将这个想法推广一下：如果我们能描述一个坐标系的运动，而且在这个坐标系看来，我们要描述的系统始终是静止的，我们也就等于找到了系统运动的描述。因此解运动方程变成了寻找一个适当的活动的坐标系（当然是空间中的）。这个看上去更加费事的方法将2N个一阶常微分方程（哈密顿方程）变成了一个有2N+1个变量（N个p，N个q再加一个时间）的一阶偏微分方程——Hamilton-Jacobi方程。事实上解H-J方程要比解Hamilton方程复杂的多，但是H-J方程的重要性在于：只要稍作变换就可以变成量子力学中的Schrodinger方程（在前面一篇“量子噩梦”中我提到过量子力学的推广更多是运动学的而非动力学的）。在哈密顿表述中，几何概念和物理概念总是交缠出现，互相推广，这一点是当初拉格朗日本人所没有想到的。
进入20世纪后，由于相对论和量子力学的冲击，人们的注意力逐渐从经典力学移开。但有趣的是，经典力学的工作有时候仍然可以指导我们如何量子化。Dirac在50年前后给出了Poisson括号在约束系统下的推广——Dirac括号（Dirac Brackets）。这是一个纯经典力学的结果，但是更多的用在了规范场的正则量子化上而不是用于解经典力学的方程。Dirac在做出这个工作之后实在是太高兴了，感觉自己的地位足以与拉格朗日、哈密顿等人并列，因此他将Dirac bracket看成是他一生最重要的贡献（而不是通常误解的bra和ket）。正则变换则在1983年重出江湖，在Batalin和Vilkovisky给出的antifield formalism中，field和antifield有着同样的辛结构，而这时，正则变换将把经典的作用量变成量子化的作用量(BV formalism对于大部分物理学家没有任何用，只是在string theory和string field theory中大显身手。另，圈子里对Batalin和Vilkovisky的评价是：无论多简单的东西，他们都能整的无限复杂）。
实际上，上面所说的所有经典力学的体系并不能帮我们更快更准确的解出运动方程（实际上，拉格朗日表述还是哈密顿表述得到的方程最终都是一样的，H-J方程比它们还难解）。这些工作的目的其实是为了逐渐抛弃掉力学之中各种具体的概念，将方程之后的代数和几何结构显示出来，后很多方法在很多年之后可能才被人意识到它的强大。不过话又说回来了，数学物理学家追求更普遍的结构，至于有没有用，他们恐怕也不care吧。
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
