上面描述的这个“切碎近似求和再取极限”的做法，就是大学微积分课程里面的“黎曼定积分”。需要说明的一点是，远远不是所有的函数都可以

上面描述的这个“切碎近似求和再取极限”的做法，就是大学微积分课程里面的“黎曼定积分”。需要说明的一点是，远远不是所有的函数都可以求“黎曼积分”。换句话说，我们随便找一个函数来，给它做这种“切碎再近似求和”的手术，这“近似和”在定义域被无限切细的过程中未必会有极限。举例来说，我们在开区间(0,1)上定义一个函数 f(x)，其当 x 是有理数时取值为1，x 是无理数时取值为0，那么这个函数，可想而知是一个上下震荡得无比激烈的函数，在无论多小的范围内，都有一些地方取值为0，同时有另外一些地方取值为1。这样，当我们希望用一个小长方形来给我们的“细条”做近似的时候，我们发现小细条上函数值的取值范围，上界到1，下界到0，那么对于我们的小长方形究竟应该取多高来“近似”这个问题，就显得无所适从，那么“极限”当然也就无从谈起了。这样看来，似乎能够做“黎曼积分”的函数，应该不能震荡得太厉害才是