以法線為軸，將此平面旋轉 φ 角就得到所有的含此法線的平面，這些平面與曲面相截所得一連串曲線所呈現的各個曲率全體，可做為曲面

来源: marketreflections 于 2012-05-16 15:18:52 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (3958 bytes)

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_16_08_2/index.html

過這樣的曲面上的任一點都有切平面；垂直於切平面而過切點的直線稱為法線。我們考慮一個含此法線的平面，它與曲面截成一曲線。我們可以以法線為軸，將此平面旋轉 φ 角 $(0\leq\varphi\leq2\pi)$ 就得到所有的含此法線的平面，這些平面與曲面相截所得一連串曲線所呈現的各個曲率 $K(\varphi)$ 全體，可做為曲面在該點的曲率。

也許直覺上我們會認為 $K(\varphi)$ 的變化可以非常大，它如何能有效地描述一曲面的彎曲程度呢？其實只要稍加說明，我們會發現 $K(\varphi)$ ， $0\leq\varphi\leq2\pi$ ，之間有沌地的關係。首先，我們知道在常態下（假設曲面有連續的二次偏導函數）， $K(\varphi)$ 為 φ 的連續函數。但 $K(0)=K(2\pi)$ ，所以所有的 $K(\varphi)$ 值組成實數上的一個閉區間 [K₂0xA141K₁]。也就是說 $K(\varphi)$ 有最大值 K₁，最小值 K₂，而其他的 $K(\varphi)$ 值都落在兩者之間，而且兩者之間的任何值都是某個 $K(\varphi)$ 值。不但這樣， Euler 還發現 $K(\varphi)$ 有如下的性質：若以 K₁ 的方向為 $\varphi=0$ ，即 $K(\varphi)=K_1$ ，則 $K(\frac{\pi}{2})=K_2$ ，亦即曲率最大及最小的兩個方向互相垂直