边界上每一点也是三个边界条件，所以边界上每一点的六个应力表为三个方向的边界力

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边界上每一点也是三个边界条件，所以边界上每一点的六个应力表为三个方向的边界力

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

，

 

 

}

 

 

；

 

 

第8卷第4期 计■结柯力拳直萁应用 V。I．8．舶．1

 

 

l 9 9 l军ll胃 COMPUTATIONAL STRUCTURAL MECHANICS AND APPLICATIONS N。nⅢber 111111

 

 

弹性力学的混合方程和Hamilton正则方程

 

 

唐立民

 

(大连理工大学)

 

 

摘 要

 

 

本文指出．在弹性力学基本方程中．按韭量分类的位移方程、应力方程 外的第

 

三种混台方程， 以硬接运算子分类曲撤分方程．变分原理以外柏第三种Hamilton方

 

程．它们正好是对应的．本文讨论了静力的和动力的情况以眨它们可能的电用．

 

 

关键词： 弹性力学|混合方程|Hamilton 正则方程

 

 

1 问题的提出

 

 

我们知道， 弹性力学的基本方程可归结为三个位移方程

 

 

GV ‘+ (A+G) +F ‘ o ( l， 2， 3) (1

 

 

．

 

1) ‘ ⋯其中 0=

边界上每一点有三个边界条件。

 

也可以归结为六个应力方程(没有体积力的情况)

 

V ·，+ T @⋯0 (1．2)

 

其中 @=Ⅱ‘‘

 

边界上每一点也是三个边界条件，所以边界上每一点的六个应力表为三个方向的边界力。如

 

果是位移边界条件， (1．2)式用起来就很不方便了。最一般的清况是既有位移又有力的混

 

台边界条件， 所以应该还存在一组混合型方程。它们已经在文献中出现并应用了， 但还没有

 

给以应有的重视和地位(以上符号都是常规的)。

 

我们又知道， 在经典力学里面除了牛顿的微分方程表示形式

 

，一m

 

以及通过变分推出的拉格朗日方程

 

丢 )一芸=。

 

本文于1851钲T月2日收到．

 

j“ 一 计算结构力学及其应用 e卷

 

以外还有所谓Hamiltion正则方程

 

=

 

等， 一等 (1．s)

其中口是广义坐标， = 于是动量，H 是Hamilton面数。Hamilton形式对经典力学

 

的微分几何表述有非常本质的意义⋯，它作为一种普遍规律对近代物理特别是量子力学的

 

发展都有重要意义。冯康教授近年来倡导对Hamilton动力体系进行Hamilton算法的研

 

究已经获得了可观的和可敬的成果 。I-；amilton算浩的研究可能导致某些重要的实际问

 

题获得解决。那么先不谈动力学问题，即使是对弹性静力学问题，对场论本身是不是除了微

 

分方程和变分表示以外也应当有它自己的Hamilton正则方程呢?

 

近年来， 在解复合材料层成板中曾使用一组方程，精彩地解决了简支矩形板问题 。

 

在本文中我们将论述这是一组Hamilton正则方程。这说明Hamiltonian表示这种普遍规

 

律在弹性力学中也是自然存在的，它们是可以和位移法(i．1)力法(1．2)并列的一组混台

 

型的弹性力学基本方程。 一

 

2 弹性力学的基本方程和它的混合型方程

 

列出弹性力学的15个基本方程如下，

 

向异性的同样处理)。

 

为了简单起见，这里只考虑各向向任的(盘交各

 

s =

 

古[。。一v(a + ]．Y 4-

e， =

 

手[。，一v(。t+。 )]，Y“一4- ”

s， ；

 

}[叮J—v(。 +。，)]，Y， =4- ，

应变位移关系为

 

a“

 

面， s 音， e产告

(2．1)

 

0 ．2)

 

v 軎+茜， = +等，v 等+

 

平衡方程(这里先只限于静力问题，下面再讨论动力问题)

 

+ + = o

 

+鲁+ =o s

 

+ 十誓 =o

 

r

 

I

 

●

 

{

 

'

 

}

 

●

 

4期 唐立民： 弹性力学的混合方程和Hamilton正则方程 3拍

 

为了变成只包括位移和应力的混台型方程， 把(2．1)式代入(2．2)式消去应变有

 

軎= 1 c vco ，啬+去=

 

茜=古c旷v c叶 ，軎+茜 专

 

害 古 ， +軎=专

 

这样(2．4)式和(2．3)式一起共9个方程， 9个变量( ， ，d ，a" Ⅱ ，T ，tⅢ

 

)。由于边界条件每点只有3个，显然在9个方程9个变量之间可以消去3个而只保留

 

6个， 而这3个方程可以移作边界条件。

 

同时为了模拟I-Iamiltonian表示， 选择 ，)r，0三个空间坐标的任意一个，例如 ，

 

作为展开坐标，它的作用就象动力体系中时间f一样。这样和对 的导数直接有关的就是

 

(“， ，d，，T⋯T， )， 它们是2×3维相空间(辛空间)中的相变量。它们的力学

 

意义是它们构成混合空间，当沿 方向介质模量发生变化时或两种介质接触时，这6个相

 

变量必须是连续的， 而另外三个量(口 ，a ，f )则可以是间断的。通过(2．4)的l，2，

 

4式把它们表为

 

占告+ 啬+古a

 

啬+ 茜+ a

 

—

 

G(茜+等)

(2．5)

 

从这里可以看到(o ，a，，T， )只和(¨，口， 。 )有关，所以我们把

 

U =(“， 口，a ) ， T= (T川 Tm 埘) (2．6)

 

看成两个向量， 把(2．5)式代入(2．4)式剩下的三个方程和三个平衡方程就得到我们要的

 

混合型方程

 

a

 

a0

 

a ‘

 

T ，

 

T -t

 

叫

 

0 R

 

Q 0

 

o

 

J

(2．7)

 

al6 计算结构力学爱其应用 8春

 

其中

 

0

 

R=

 

1

 

一v 等一G熹0y

0

 

1 2(1一v)

 

1～ v

 

l

 

G

 

0

 

d

 

d

 

OxOy

 

d

 

d

 

0

 

lt

 

G

 

d

 

Oy

 

二墨—

 

2(1一v) OxOy

 

1

 

蓦一 !等a 菩ax

a

 

d

 

dy

 

0

 

或者写成(在没有体积力情况下)

 

或

 

于是有

 

一

 

v d

1一v c)y

 

l一

 

c)x

 

a

 

c)y

 

(1+v)(1-2~)

 

E (1一v>

 

O' U

 

=

 

FGU ，

这种形式对解方程是有好处的。

 

3 Hamilton正则方程

 

等一GF忙(m

 

(2．7)

 

(2．8)

 

在经典力学里，Hamilton正则方程可以从变分得到。所以这里我们只须写出和方程《2．7)

 

相对应的变分，它就是包括位移和应力的二类变量的He1hn r—Reissncr广义变分原理=‘ 。

 

设

 

铝 霉([。去 軎 一粤“ +等) t(軎+ )

 

(軎+軎)] { c。：州 。 )

 

+ 一( ：，+ + )]d dyd2+边界项

 

把所有带 的项都放在一起如

 

孚(。 +。 。 )

 

(3．1)

 

4期 唐立民： 弹性力学的混台方程和Hamilton 正则方程

 

一

 

=

 

蜓{軎 +軎 +粤 一H)d划)rd +边界项 (3·1)。

0

 

其中H=一妻。 一鲁 一 一茜 一

 

+去(。：+口；+ 一专( + +。 )

 

+古(喝+吐+吐)

 

不难验证， 从

 

-o， -o， 。

 

就得出(2．4)的l，2，4式， 电就是(2．5)的三个式子。不难验证从

 

一o， 。

 

和 uo' 一o， d珊 ：o

 

(3．2)

 

軎= ，軎= ，軎=等 s

 

和 c)-rlx

 

； 一警，c百)"flu一一等， 一等 (3．s

(3．3) 和(3．3)：消去d ， 口，，T ，后就是(2．7)式的六个方程， 如果用记号

 

口= (“， ， w) ， = (fm m ) (3·^)

 

则(3．3) 和(3．3)z就是

 

、 軎=等，等一等 。

 

这就是以 为展开方向的Hamilt。n正则方程(对比(1．3))。这时(3．1) 可写成为

 

=

 

Σ 。粤一H 。·D

变分还可以写成不同的形式如

 

一

 

蜓{击(卅。l+0 E( +o )+去 吨+1"

+

 

( + + ( + + )

+、~ "cam+ +警

 

=

 

{ +音 +日 出 日 。 ’

3l8 计算结构力学及其应用 8卷

 

由(3．5) 式同样可得(3．3) 式， 但把H 改为H ．

 

把(2．7) 式中的 ，Y，2 和"， ， 轮换就可得到另外两组分别以 和Y 为展开

 

坐标的混合方程。

 

对于二维问题， 例如平面应力问题用同样方法可得

 

a

 

a

 

0

 

0

 

～

 

一

 

dX

 

o 一丢

 

0

 

l二 o o

 

另外有

 

a = —

 

宰 + a

OX

 

用来作边界条件和求 值。

 

4 动力体系问题

 

按照常规，拉格兰日函数 是 、

 

一 一

 

晓

其中铝是弹性势能 。 是动能

 

一百1 [(鲁) +(鲁) +( ]

 

对(4．1)进行变分 一．

 

＆堂 =0

 

就得到弹性动力方程。

 

Hamilton函数的构造为

 

=

 

Σ =Σ { “鲁) +(軎)z+(' c)w) ]+

这里

 

口= ，

 

．

 

=

 

(鲁，軎，等)

一

 

(p鲁， 鲁， 鲁)

于是有Hamilton 方程

 

0 、

 

F J

 

F

 

0

 

(3．6)

 

(3．7)

 

(4．1)

 

(4．2)

 

(4．3)

 

(4．d)

 

4期 唐立民

 

意味着

 

也就是

 

弹性力学的混台方程和Hamilton正刷方程

 

口=- ag，；一等=酱

 

=

 

【 蛸

一p

 

鲁，， p a口_ ， 鲁 (4．5)

=

 

，

 

鲁= “， )， = ， ) (4．

这里面如果应变能留最后是用位移表示的， 那么方程(4．5)。就是位移方程(1．1)， 仅

 

仅是把其中的体积力换成惯性力一 罢了。这样虽然把时间l单独表成Hamiltonian形

 

式， 但由于(4．5) 中包括了位移对 ， ，z坐标的二阶导数， 和位移方程一样． 对实际

 

计算毫无好处 这也就是为什么长期以来对连续体弹性场Hamiltonian 表示没有什么实际

 

用处的缘故。

 

现在我们试走另外一条路，场采用前面的混台形式， 在(2．7)式中把第3行(列)和

 

第6行(列)对调， 同时令

 

一

 

， ～ 鲁， 一 ( 1-s)

(2．7)式就变成如下形式

 

告 一( ][ [ ⋯，，c-c

 

注意这里面采用了(3．4)和(4．4)式的记号。把解(4．5)。式改成解(4．7)式，遗时不

 

但对时间f， 同时电对场坐标z都保持了Hamiltonian表示．也许会带来一些好处。

 

5 应用和解法

 

Hamilton正则方程出现以后，曾经长时问被认为没有什么用处，以后才发现Hamiltonian

 

表述对很多物理规律是普遍而又带有本质意义，至于它的算法则是更后来的事。

 

笔者设想，(2．7)式可以用来解厚板的精确解，或半解析解(沿厚度z方向是解析的，

 

x-y平面是数值的)。把(2．7)式写成备向异性形式，文献[3]已经很巧妙的用它解决

 

了简支矩形层成板的精确解，(4．5)．式和(4．?)式～ 起也许可以解地层中波的传播问题，

 

以及接触问题等等。

 

对于解法， 近年来冯康教授领导的研究组已对波动方程采用辛差分格式的数值解法获得

 

有成效的结果 ， 特别是对于数值计算的适定问题。钟万勰教授则发展了Hamiltort体系

 

用本征函数展开的解析解法 。。

 

5

 

一

 

计算结构力学及其应用 B卷

 

顺便指出

 

l 中( ， )， B ( )

 

都是(2．7)式的解， 前者分离变量变成解中( ， )， 后者分离变量解 ( )， 其中 ，a，

 

6都是特征根， 可 是实数， 复数或重根

 

6 结束语

 

本文指出了弹性力学基本方程中混合方程的位置和重要性，证明了它们就是Hamilton

 

正则方程，并讨论了静、动力学问题。这是一个弹性力学的基本理论问题，笔者希望能抛砖

 

引玉， 开展这方面的理论和应用的研究。现在有关Hamiltonian表述的文献已经汗牛充

 

栋，关键问题是针对连续体弹性场还很不够， 特别是由此可能导致解决一些非常重要的工程

 

实际问题。

 

参 考 文献

 

Arnold V I．Mafhematical Methods of Classical Mechanics．Springer—Yerlag，

 

l984

 

冯康， 秦孟兆．Hamilton动力体系的Hamilton算法。自然科学进展一一国家重点

 

实验室通讯，1990， 试刊(2)： 】】O～ 120， (及其后所引文献)

 

Fang 3iarang and Ye Jianqiao． An exact solution for the statics and dynamics

 

of laminated thick plates with orthotropic layers．f埘． i．Solids Sfruetures

 

1990，Z6(sis)I 655～B62

 

钟万勰．哈密尔顿体系与弹性理论问题． 自然科学进展—— 国家重点实验室通讯，1991

 

(待发表)

 

Mixed Formulation and Hamilton Canonical Equations

 

of Theory of Elasticity

 

Tang Limin

 

(Dalian University f'l'e~hnol0gy)

 

AbstracL

 

The mixed formulation of basic equations of elasticity which is pointed

 

out in this paper is also the Hamiltoniaa representation of elasticity field．

 

Both the static and dynamic states and their possible applications are discussed．

 

Key wo rd sl theory 。f elasticity， mixed formulation， Hamilton canonical

 

equation